平抛运动-圆周运动经典讲义

第五章：曲线运动之平抛运动与圆周运动一、平抛运动1、运动的合成与分解是平抛运动的研究依据，对平抛运动的研究也将进一步提高运用运动的合成方法解决问题的能力。平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。这两个分运动同时存在，按各自的规律独立进行，水平初速度的大小不会影响竖直方向的分运动。一般情况下，竖直方向的分运动决定着平抛物体。的运动的时间。（1）平抛运动基本规律（结合下图分析）①速度：分速度：，合速度：方向：tanθ=②位移和轨迹方程：分位移：x=voty=合位移大小：s=方向：tanα=设物体做平抛运动到某点P（，），如图所示，则水平方向位移：竖直位移：上两式消去参数，得轨迹方程为：（抛物线方程）。③加速度：分加速度：合加速度大小：方向竖直向下。④时间由y=得t=（即时间只由下落的高度y决定）⑤竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。（2）平抛物体经一段时间，其速度方向和位移方向是不相同的，如上图所示。，，即。如上图所示，曲线上任一点P（，）的速度方向反向延长线交于轴上的A点，由图可知，所以-----这是一个有用的推论。平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。此结论可应用到类平抛运动中，如带电粒子在匀强电场中偏转。平抛物体在相同时间内，速度变化量相同，，且方向为竖直向下，如右图所示。题型一：平抛运动的位移【例1】（★★★）物块从光滑曲面上的P点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的Q点，若传送带的皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图所示，再把物块放到P点自由滑下则（）（例4）A．物块将仍落在Q点（例4）B．物块将会落在Q点的左边C．物块将会落在Q点的右边D．物块有可能落不到地面上解析物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速运动，离开传送带时做平抛运动。当传送带逆时针转动时物体相对传送带都是向前运动，受到滑动摩擦力方向仍与运动方向相反，物体仍做匀减速运动，离开传送带时，也仍做平抛运动，且与传送带不动时的抛出速度相同，故落在Q点，所以A选项正确。6．离地1000m的高空以100m/s速度水平飞行的飞机进行投弹训练，地面的靶子以一定的速度运动，不计空气阻力，g取10m/s2，若要使炸弹击中靶子，求：(1)地面的靶子以15m/s的速度与飞机同向运动时，炸弹离开飞机时，飞机与靶子的水平距离s1(2)地面的靶子以15m/s的速度与飞机反向运动时，炸弹离开飞机时，飞机与靶子的水平距离s2答案：⑴m⑵m二、圆周运动1．基本公式及概念1）向心力：定义：做圆周运动的物体所受的指向圆心的力，是效果力。方向：向心力总是沿半径指向圆心，大小保持不变，是变力。★匀速圆周运动的向心力，就是物体所受的合外力。★向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力★匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件。★变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向．合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。2）运动参量：线速度：角速度：周期(T)频率(f)向心加速度：向心力：2．竖直平面内的圆周运动问题的分析方法竖直平面内的圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况。在最高点和最低点，合外力就是向心力。（1）“绳模型”如右图所示为没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力。即式中的v0小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度②能过最高点的条件：v>v0，此时绳对球产生拉力F③不能过最高点的条件：v<v0，实际上球还没有到最高点就脱离了轨道。（2）“杆模型”有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动的情况：①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v0＝0②右图中(a)所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力的情况：当0<v<，杆对小球的支持力的方向竖直向上。当v＝，FN=0。当v>时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大．③右图(b)所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况与硬杆对小球的弹力类似。（3）圆锥摆的情况：如图所示，圆锥摆的情况是水平面内的圆周运动情况，将绳的拉力竖直分解与重力平衡，水平分解提供向心力，即：，∴，∴由可以看出，反之例题：如图所示，两根长度均为的细线，将质量为m的小球系在竖直转轴上，当两细线拉直时，与竖直方向的夹角均为，求在下列条件下，两线受到的拉力（1）转轴转动角速度为；（2）转轴转动角速度为。解：由受力分析知，小球受上段线拉力和重力的作用，其合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，即：，得。（1）当时，恰好等于临界角速度，所以；（2）当时，两线均拉紧，即对小球都有拉力，由受力分析知：联立解得：，3．对火车转弯问题的分析方法在火车转弯处，如果内、外轨一样高，外侧轨道作用在外侧轮缘上的弹力F´指向圆心，使火车产生向心加速度，由于火车的质量和速度都相当大，所需向心力也非常大，则外轨很容易损坏，所以应使外轨高于内轨．如右图所示，这时支持力N不再与重力G平衡，它们的合力指向圆心．如果外轨超出内轨高度适当，可以使重力G与支持力的合力，刚好等于火车所需的向心力．另外，锥摆的向心力情况与火车相似。竖直方向：水平方向：得：由图可知，铁轨外内轨高度差很小，即很小，所以有：由以上各式得火车转弯的最佳速度为：【讨论】：若，则内外轨均无挤压，；若，不足以提供所需的向心力，此时火车向外甩，外侧轮缘挤压外轨，外轨给轮缘一指向圆心方向的弹力，以补充向心力，所以向心力；若，大于所需要的向心力，此时火车被向里拉，内侧轮缘挤压内轨，内轨给轮缘一远离圆心方向的弹力，这时向心力为。4．离心运动①做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只足由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如下图所示．②当产生向心力的合外力消失，F=0，物体便沿所在位置的切线方向飞}II去，如右图A所示．③当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，，即合外力不足提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动．如右图B所示．题型一：圆周运动的概念理解例1.（★★★）如图所示一皮带轮传动装置，右轮半径为r，a是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则 A．a点与b点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等 C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点与d点的向心加速度大小相等 解析：匀速圆周运动中各参量的关系，即，，，，。在皮带传动中这些参量的特殊制约和联系是：皮带上各点线速度大小相等；同轴的轮上各点角速度相等。由题意可知，再经过简单运算可得出正确选项是C、D。 例2：（★★★）下列说法正确的是 A．匀速圆周运动是一种匀速运动B．匀速圆周运动是一种匀变速运动 C．匀速圆周运动是一种变加速运动 D．因为物体有向心力存在，所以才使物体不断改变速度的方向而做圆周运动 解析：匀速圆周运动的加速度大小不变而方向在时刻改变，因此属于变加速运动。力是改变物体运动状态的原因，向心力对速度大小的改变没有贡献，它作用只是不断改变速度方向，所以正确选项是C、D。小试牛刀：匀速圆周运动特点是()A.速度不变，加速度不变B.速度不变，加速度变化C.速度变化，加速度不变D.速度和加速度的大小不变，方向时刻在变下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法正确的是()A.它们的线速度相等，角速度一定相等B.它们的角速度相等，线速度一定相等C.它们的周期相等，角速度一定相等D.它们的周期相等，线速度一定相等题型二：圆周运动的相关量计算(例3)例3（★★★★）如图所示是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放着很多半成品产品。A轮处装有光电计数器，它可以记录通过A处的产品数目。已知测得轮A、B的半径分别为rA=20cm，rB=10cm，相邻两产品距离为30cm，1min内有41个产品通过A处。求：(例3)(1)产品随传输带移动的速度大小；(2)A、B轮轮缘上的两点P、Q及A轮半径中点M的线速度和角速度大小，并在图中画出线速度方向；(3)如果A轮是通过摩擦带动C轮转动，且rC=5cm，在图中描出C轮的转动方向，求出C轮的角速度(假设轮不打滑)。解析首先明确产品与传送带保持相对静止的条件下，产品速度的大小就等于传送带上每一点速度的大小，在传送带不打滑的条件下，传送带上各点运动速度的大小都等于A、B轮缘上点的线速度的大小。由传送带相邻产品的间距及单位时间内通过A处的产品的个数可以确定出皮带上点的速度，进而知道A、B轮缘上的两点P、Q线速度的大小，然后由线速度与角速度的关系，求出A、B两轮的角速度及A轮半径中点M的线速度及C轮的角速度。由题意知，1分钟内有41个产品通过A处，说明1分钟内传输带上每点运动的路程为两产品间距的40倍。设传输带运动速度大小为v，则(1)v==m/s=0.2m/s(2)vP=vQ=0.2m/s，.A轮半径上的M点与P点的角速度相等，故vM=vP=×0.2m/s=0.1m/sωP=ωM==rad/s=1rad/s，ωQ=2ωP=2rad/s(例3答图)(3)C轮的转动方向如图所示，如果两轮间不打滑，则它们的接触处是相对静止的，即它们轮缘的线速度大小是相等的，所以ωCrC=ωArA(例3答图)C轮的角速度ωC=ωA=×1rad/s=4rad/s答案(1)0.2m/s(2)vP=vQ=0.2m/s，vM=0.1m/s，ωP=ωM=1rad/sωQ=2rad/s(3)ωC=4rad/s点评本题旨在考查学生对传动装置中各物理量的联系的理解，并能熟练地运用匀速圆周运动的规律解决问题。小试牛刀小试牛刀：如图所示，在轮B上固定一同轴小轮A，轮B通过皮带带动轮C，皮带和两轮之间没有滑动，A、B、C三轮的半径依次为r1、r2和r3。绕在A轮上的绳子，一端固定在A轮边缘上，另一端系有重物P，当重物P以速率v匀速下落时，C轮转动的角速度为_____。小试牛刀答案：题型三：圆周运动的相遇问题例4（★★★★）如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？(例4)解析设P球自由落体到圆周最高点的时间为t，由自由落体可得(例4)gt2=h求得t=Q球由图示位置转至最高点的时间也是t，但做匀速圆周运动，周期为T，有t=(4n+1)(n=0，1，2，3……)两式联立再由T=得(4n+1)=所以ω=(4n+1)(n=0，1，2，3……)答案ω=(4n+1)，(n=0，1，2，3……)小试牛刀：小试牛刀如图所示，半径为R的圆板做匀速转动，当半径OB转到某一方向时，在圆板中心正上方高h处以平行于OB的方向水平抛出一球。要使小球与圆板只碰撞一次，且落点为B，则小球的初速度是多大?圆板转动的角速度是多大?小试牛刀答案：v0=R，ω=nπ，(n∈N)练习1．关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A．线速度的方向保持不变B．线速度的大小保持不变C．角速度大小不断变化D．线速度和角速度都保持不变2．下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是()A．是速度不变的运动B.是角速度不变的运动C．是角速度不断变化的运动D．是相对圆心位移不变的运动3．一个物体以角速度ω做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是()A．轨道半径越大线速度越大B．轨道半径越大线速度越小C．轨道半径越大周期越大D．轨道半径越大周期越小4．正常走动的钟表，其时针和分针都在做匀速转动，下列关系中正确的有()(第5题)A．时针和分针角速度相同B．分针角速度是时针角速度的12倍(第5题)C．时针和分针的周期相同D．分针的周期是时针周期的12倍5．如图所示，球体绕中心线OO’转动，则下列说法中正确的是( )A．A、B两点的角速度相等 B．A、B两点的线速度相等C．A、B两点的转动半径相等 D．A、B两点的转动周期相等6．做匀速圆周运动的物体，相同时间内物体转过的弧长________，线速度的大小_________，线速度的方向____________。7．—个物体做半径恒定的匀速圆周运动，周期越小其线速度数值则