成都理科高考数学试卷

成都理科高考数学试卷一、选择题

1.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2-3x+4$，则函数的对称轴为：

A.$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\times\frac{1}{2}}=3$

B.$x=\frac{b}{2a}=\frac{-3}{2\times\frac{1}{2}}=-3$

C.$x=\frac{2a}{b}=\frac{2\times\frac{1}{2}}{-3}=-\frac{2}{3}$

D.$x=\frac{2a}{b}=\frac{2\times\frac{1}{2}}{3}=\frac{2}{3}$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，则第$n$项的值为：

A.$a_n=a_1+(n-1)d$

B.$a_n=a_1+(n+1)d$

C.$a_n=a_1-d+(n-1)d$

D.$a_n=a_1+d+(n-1)d$

3.已知一元二次方程$x^2-5x+6=0$的解为$x_1=2$，$x_2=3$，则方程$x^2-5x+6+2k=0$的解为：

A.$x_1=2$，$x_2=3$

B.$x_1=2$，$x_2=3+k$

C.$x_1=2+k$，$x_2=3$

D.$x_1=2+k$，$x_2=3+k$

4.已知直角坐标系中，点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，则线段$AB$的中点坐标为：

A.$(2,3)$

B.$(2,2)$

C.$(3,3)$

D.$(3,2)$

5.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+4x-1)$的值为：

A.$3x^2-6x+4$

B.$3x^2-6x-4$

C.$3x^2-6x+1$

D.$3x^2-6x-1$

6.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，首项为$a_1$，则第$n$项的值为：

A.$a_n=a_1q^{n-1}$

B.$a_n=a_1q^{n+1}$

C.$a_n=a_1q^{n-2}$

D.$a_n=a_1q^{n+2}$

7.已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+1})$的值为：

A.$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

B.$\frac{-x}{\sqrt{x^2+1}}$

C.$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

D.$\frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}$

8.已知一元二次方程$x^2-4x+4=0$的解为$x_1=2$，$x_2=2$，则方程$x^2-4x+4+k=0$的解为：

A.$x_1=2$，$x_2=2$

B.$x_1=2$，$x_2=2+k$

C.$x_1=2+k$，$x_2=2$

D.$x_1=2+k$，$x_2=2+k$

9.已知直角坐标系中，点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，则线段$AB$的长度为：

A.$\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{8}$

B.$\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{4}$

C.$\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{2}$

D.$\sqrt{(3-1)^2+(4-2)^2}=2$

10.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，则$f''(x)=\frac{d^2}{dx^2}(2x^3-3x^2+4x-1)$的值为：

A.$12x^2-6x+4$

B.$12x^2-6x-4$

C.$12x^2-6x+1$

D.$12x^2-6x-1$

二、判断题

1.在直角坐标系中，两点的坐标分别增加相同的数值，那么这两点之间的距离也会增加相同的数值。（）

2.对于任意实数$a$和$b$，不等式$(a-b)^2\geq0$总是成立的。（）

3.如果一个函数在其定义域内处处可导，那么它一定处处连续。（）

4.在平面直角坐标系中，一条直线的一般方程$Ax+By+C=0$中的系数$A$、$B$、$C$分别代表直线的斜率、$y$轴截距和斜率的倒数。（）

5.二项式定理可以用来计算任意两个整数的最大公约数和最小公倍数。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的导数$f'(x)$为______。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=2$，公差$d=3$，则第5项$a_5$的值为______。

3.在直角坐标系中，点$(2,3)$关于直线$y=x$的对称点的坐标为______。

4.若函数$f(x)=x^2+4x+4$的图像的顶点坐标为$(h,k)$，则$h=$______，$k=$______。

5.二项式$(a+b)^4$展开后的项中，$x^3$的系数为______。

四、简答题

1.简述一元二次方程的判别式$D=b^2-4ac$的意义及其应用。

2.请说明如何利用配方法将一元二次方程$x^2+bx+c=0$转化为$(x+\frac{b}{2})^2=\frac{b^2-4ac}{4}$的形式。

3.解释为什么在直角坐标系中，两个点的坐标差的绝对值等于这两点之间的距离。

4.说明如何利用二项式定理展开$(a+b)^n$，并给出展开式中$x^k$的系数的一般公式。

5.简述函数$f(x)=\frac{1}{x}$的单调性，并说明在什么条件下，函数$f(x)=\sqrt{x}$在其定义域内是增函数。

五、计算题

1.计算下列函数的导数：

$f(x)=\frac{3x^2-2x+1}{x-1}$

2.解下列一元二次方程：

$x^2-5x+6=0$

3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2-3n$，求第10项$a_{10}$。

4.在直角坐标系中，已知点$A(1,3)$和点$B(4,-2)$，求线段$AB$的中点坐标。

5.已知函数$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求$f'(x)$，并计算$f'(2)$。

六、案例分析题

1.案例分析：

某班级的学生在进行数学测验后，成绩分布如下：

成绩区间|学生人数

---|---

90-100分|5人

80-89分|10人

70-79分|15人

60-69分|10人

0-59分|5人

请根据以上数据，计算该班级学生的平均成绩和成绩的标准差。

2.案例分析：

在一次数学竞赛中，参赛学生的成绩分布如下：

成绩区间|学生人数

---|---

90-100分|8人

80-89分|15人

70-79分|20人

60-69分|12人

0-59分|5人

请分析这次竞赛的成绩分布，并讨论可能的原因。

七、应用题

1.应用题：

一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了2小时后，因为故障停了下来。修车后，汽车以80公里/小时的速度继续行驶了3小时。求这辆汽车在整个行程中的平均速度。

2.应用题：

一个长方体的长、宽、高分别为$a$、$b$、$c$，求长方体的表面积$S$和体积$V$，并说明如何通过长方体的表面积和体积来推导出其体积公式。

3.应用题：

一名学生参加数学竞赛，已知他答对的题目得分为5分，答错的题目扣分为2分，未答的题目得分为0分。如果这名学生在这次竞赛中总共得到了100分，且答错的题目比答对的题目多10道，求他答对的题目数、答错的题目数和未答的题目数。

4.应用题：

一个班级有40名学生，其中有30名学生喜欢数学，20名学生喜欢物理，有10名学生既喜欢数学又喜欢物理。求这个班级中不喜欢数学或物理的学生人数。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A

2.A

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

二、判断题

1.×

2.√

3.√

4.×

5.×

三、填空题

1.$6x-2$

2.37

3.$(2,3)$

4.$-2$，$-4$

5.70

四、简答题

1.判别式$D=b^2-4ac$用于判断一元二次方程的根的性质。当$D>0$时，方程有两个不相等的实数根；当$D=0$时，方程有两个相等的实数根；当$D<0$时，方程没有实数根。

2.配方法是将一元二次方程$x^2+bx+c=0$通过添加和减去同一个数，使得左边变成一个完全平方的形式。具体步骤是：$x^2+bx+c=x^2+bx+\frac{b^2}{4}-\frac{b^2}{4}+c=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}+c$。

3.在直角坐标系中，两个点的坐标差的绝对值等于这两点之间的距离，因为距离可以通过勾股定理计算，即$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，而坐标差的绝对值就是$x_2-x_1$和$y_2-y_1$的绝对值。

4.二项式定理展开$(a+b)^n$的通项公式为$T_{r+1}=C_n^ra^{n-r}b^r$，其中$x^k$的系数为$C_n^k$。

5.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在其定义域内（$x\neq0$）是减函数，因为导数$f'(x)=-\frac{1}{x^2}<0$。函数$f(x)=\sqrt{x}$在其定义域内（$x\geq0$）是增函数，因为导数$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}>0$。

五、计算题

1.$f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{3x^2-2x+1}{x-1}\right)=\frac{(6x-2)(x-1)-(3x^2-2x+1)}{(x-1)^2}=\frac{6x^2-6x-2-3x^2+2x-1}{(x-1)^2}=\frac{3x^2-4x-3}{(x-1)^2}$

2.$x^2-5x+6=0$可以通过因式分解得到$(x-2)(x-3)=0$，所以$x_1=2$，$x_2=3$。

3.等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=2$和$S_n=4n^2-3n$，得到$4n^2-3n=\frac{n}{2}(2+a_n)$，解得$a_n=8n-4$，所以$a_{10}=8\times10-4=76$。

4.线段$AB$的中点坐标为$\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)=\left(\frac{1+4}{2},\frac{3+(-2)}{2}\right)=(\frac{5}{2},\frac{1}{2})$。

5.$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^3-6x^2+9x)=3x^2-12x+9$，所以$f'(2)=3\times2^2-12\times2+9=12-24+9=-3$。

六、案例分析题

1.平均成绩为$\frac{5\times90+10\times80+15\times70+10\times60+5\times0}{5+10+15+10+5}=76$分，标准差为$\sqrt{\frac{(90-76)^2\times5+(80-76)^2\times10+(70-76)^2\times15+(60-76)^2\times10+(0-76)^2\times5}{5+10+15+10+5}}\approx8.48$。

2.成绩分布显示，喜欢物理的学生比喜欢数学的学生多，这可能是因为物理课程的教学方法更吸引学生，或者物理课程的内容更符合学生的兴趣。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括：

-函数及其导数

-一元二次方程

-数列

-直角坐标系与直线方程

-二项式定理

-标准差

-案例