《状元之路》2022届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查-必修部分33-不等关系与不等式

开卷速查(三十三)不等关系与不等式A级基础巩固练1．若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是()A．a2＞b2 B.eq\f(b,a)＜1C．lg(a－b)＞0 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b解析：当a＝－1，b＝－2时，a2＜b2，eq\f(b,a)＞1，lg(a－b)＝0，排解A项，B项，C项，故选D.答案：D2．设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的()A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由不等式性质知当x≥1且y≥2时，x＋y≥3；而当x＝2，y＝eq\f(3,2)时满足x＋y≥3，但不满足x≥1且y≥2，故“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的充分而不必要条件．答案：A3．已知a＞b，则下列不等式成立的是()A．a2－b2≥0 B.ac＞bcC．|a|＞|b| D.2a＞2b解析：A项中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B项不成立；当0＞a＞b时，C项不成立；由a＞b知2a＞2b成立，故选D.答案：D4．已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的有()A．1个B.2个C．3个D.4个解析：运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案：C5．已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中不愿定能成立的是()A.eq\f(c,a)＜eq\f(b,a) B.eq\f(b－a,c)＞0C.eq\f(b2,c)＜eq\f(a2,c) D.eq\f(a－c,ac)＜0解析：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，∴eq\f(c,a)＜eq\f(b,a)，eq\f(b－a,c)＞0，eq\f(a－c,ac)＜0，但b2与a2的关系不确定，故eq\f(b2,c)＜eq\f(a2,c)不愿定成立．选C项．答案：C6．若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，则下列不等式：①eq\f(1,a＋b)＜eq\f(1,ab)；②|a|＋b＞0；③a－eq\f(1,a)＞b－eq\f(1,b)；④lna2＞lnb2.其中，正确的不等式是()A．①④B.②③C．①③D.②④解析：由于eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，所以可取a＝－1，b＝－2.eq\f(1,a＋b)＝－eq\f(1,3)，eq\f(1,ab)＝eq\f(1,2)，故①成立；又|a|＋b＝1－2＝－1＜0，故②错误；又a－eq\f(1,a)＝0，b－eq\f(1,b)＝－eq\f(3,2)＜0，故③成立；又lna2＝0，lnb2＝ln22＞0，故④错误，选C.答案：C7．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤eq\f(x2,y)≤9，则eq\f(x3,y4)的最大值是__________．解析：∵4≤eq\f(x2,y)≤9，∴eq\f(1,9)≤eq\f(y,x2)≤eq\f(1,4)，∴eq\f(1,81)≤eq\f(y2,x4)≤eq\f(1,16).又∵3≤xy2≤8，而eq\f(x3,y4)＝eq\f(1,\f(y4,x3))＝eq\f(1,xy2·\f(y2,x4))，且eq\f(1,27)≤xy2·eq\f(y2,x4)≤eq\f(1,2)，∴2≤eq\f(x3,y4)≤27.答案：278．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤eq\f(a,y)＞eq\f(b,x)这五个式子中，恒成立的全部不等式的序号是__________．解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，符合题设条件x＞y，a＞b，∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，∴a－x＝b－y，因此①不成立．又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不成立．又∵eq\f(a,y)＝eq\f(3,－3)＝－1，eq\f(b,x)＝eq\f(2,－2)＝－1，∴eq\f(a,y)＝eq\f(b,x)，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④9．对于实数a，b，c有下列命题：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b)；⑤若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＞0，b＜0.其中真命题是__________(把正确命题的序号写在横线上)．解析：若c＞0，则①不成立；由ac2＞bc2知c2≠0，则a＞b，②成立；由a＜b＜0知a2＞ab＞b2，③成立；由c＞a＞b＞0，得0＜c－a＜c－b，则eq\f(1,c－a)＞eq\f(1,c－b)，则eq\f(a,c－a)＞eq\f(b,c－b)，④成立；若a＞b，eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)＞0，则a＞0，b＜0，⑤成立．答案：②③④⑤10．若实数a、b、c满足b＋c＝5a2－8a＋11，b－c＝a2－6a＋9，试比较a、b、c的大小．解析：∵b－c＝a2－6a＋9＝(a－3)2≥0，∴b≥c.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝5a2－8a＋11，①,b－c＝a2－6a＋9，②))由①＋②得b＝3a2－7a＋10，∵b－a＝3a2－7a＋10－a＝3a2－8a＋10＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(4,3)))2＋eq\f(14,3)＞0，∴b＞a.由①－②得c＝2a2－a＋1，∴c－a＝2a2－2a＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)＞0，∴c＞a.综上：b≥c＞a.B级力气提升练11．若a、b∈R，则下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋eq\f(1,a)≥2中确定成立的是()A．①②③ B.①②④C．①② D.②④解析：①a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0；②a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；③a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，若a＝b，则上式＝0，不成立；④若a＜0，则a＋eq\f(1,a)＜0.∴①②确定成立，故选C.答案：C12．已知a、b、c∈R，则下列推理：①eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)⇒a＞b；②a3＞b3，ab＞0⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；③a2＞b2，ab＞0⇒eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；④0＜a＜b＜1⇒loga(1＋a)＞logbeq\f(1,1－a).其中正确的个数是()A．1个B.2个C．3个D.4个解析：由eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2)可知c2＞0，∴eq\f(a,c2)·c2＞eq\f(b,c2)·c2，即a＞b，∴①正确．由a3＞b3，ab＞0，可得a＞b＞0或b＜a＜0，∴eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，∴②正确．由a2＞b2，ab＞0可得a＞b＞0或a＜b＜0，a＞b＞0时，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，但a＜b＜0时，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故③不正确．∵0＜a＜b＜1，∴loga(1＋a)＞logb(1＋a)．又∵logb(1＋a)－logbeq\f(1,1－a)＝logb(1－a2)＞0，∴logb(1＋a)＞logbeq\f(1,1－a)，∴loga(1＋a)＞logbeq\f(1,1－a)，故④正确，故选C.答案：C13．已知x，y为正实数，满足1≤lgxy≤2,3≤lgeq\f(x,y)≤4，求lg(x4y2)的取值范围．解析：设a＝lgx，b＝lgy，则lgxy＝a＋b，lgeq\f(x,y)＝a－b，lgx4y2＝4a＋2b，设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴lgx4y2＝3lgxy＋lgeq\f(x,y).∵3≤3lgxy≤6,3≤lgeq\f(x,y)≤4，∴6≤lg(x4y2)≤10.14．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a＞b＞c，求eq\f(c,a)