【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：B3函数的单调性与最值

B3函数的单调性与最值【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】14.若且，则的最小值为.【学问点】函数的单调性与最值B3【答案解析】∵x，y为非负数且x+2y=1，∴x=1-2y≥0，解得0≤y≤．

∴f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，因此f（y）在[0，]上单调递减，∴当y=，x=0时，函数f（y）取得最小值，f()=．故答案为．【思路点拨】x，y为非负数且x+2y=1，可得x=1-2y≥0，解得0≤y≤．可得f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，再利用二次函数的单调性即可得出．【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】14、设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是．【学问点】函数奇偶性、单调性的应用.B3B4【答案】【解析】解析：由于当x≥0时，f（x）=，所以f(x)是的增函数，又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数，所以若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即对任意x∈[a，a+2]，由于函数2x+1是[a，a+2]上的增函数，所以2x+1有最大值2a+5,所以.【思路点拨】先依据已知判定函数f(x)是R上的单调增函数，然后把命题转化为对任意x∈[a，a+2],a2x+1恒成立问题求解.【数学理卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】5.已知函数是上的奇函数,且在区间上单调递增,若,则（）A.B.C.D.【学问点】函数单调性的应用；数值大小的比较.B3E1【答案】【解析】B解析：∵，∴<0,又，∴，∵函数是上的奇函数,且在区间上单调递增，∴函数是上的增函数，∴.故选B【思路点拨】先推断的大小关系，再利用函数的奇偶性、单调性确定结论.【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】19.（本小题满分13分）已知（1）求的最小值和的最大值；（2）若，问是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正数都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【学问点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域．B1B3【答案】【解析】（1）,（2）存在满足题设条件.解析：（1）…………（2分）由于，∴，当x=1时等号成立.……………（4分）故即x=1时，f(x)的最小值.…………………………（6分）又.故时，g(x)的最大值..…………………（8分）（2）∵，∴若能构成三角形，只需对恒成立.…………………（10分）由（1）知……………（11分）…………………（12分）综上，存在满足题设条件.……（13分）【思路点拨】（1）先考虑，再说明函数与在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，从而求出函数的最小值．（2）利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用（1）的结论可确定．【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】10.已知函数，若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是()A. B.C. D. 【学问点】函数的单调性.B3【答案】【解析】A解析：由题意可得对恒成立由于所以当时函数在R上是减函数,函数的值域为故(1)当时函数在R上是增函数,函数的值域为故(2)由(1)(2)知,故选A.【思路点拨】先把原函数分别常数，结合对恒成立，然后对m分类争辩即可。【数学理卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（202211）(1)】21．（本小题满分15分）已知函数，为常数．（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【学问点】函数的单调性与最值B3【答案解析】（1）当时，最大值为，最小值为1。（2）（1）当时，所以当时，当时，所以在上的最大值为，最小值为1。（2）由于而在上单调递增所以当时，必单调递增，得即当时，亦必单调递增，得即且恒成立故所求实数的取值范围为。【思路点拨】先争辩去确定值依据单调性求出最值，依据二次函数的单调性求出a值。【数学理卷·2021届河北省衡水中学高三上学期期中考试（202211）】9、函数，在上的最大值为2，则的取值范围是（）A．B．C．D．【学问点】函数的最值.B3【答案】【解析】D解析：由题意，当x≤0时，f（x）=2x3+3x2+1，可得f′（x）=6x2+6x，解得函数在[-1，0]上导数为负，在[-∞，-1]上导数为正，故函数在[-2，0]上的最大值为f（-1）=2；要使函数在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必需小于等于2，即e2a≤2，解得．故答案为：．【思路点拨】当x∈[-2，0]上的最大值为2；

欲使得函数在[-2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必需小于等于2，从而解得a的范围【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】20.(本小题满分13分)设二次函数集合.(1)若求函数的解析式；(2)若且且在上单调递增，求实数的取值范围.【学问点】集合运算，函数的单调性A1B3【答案】【解析】(1)(2)或解析：(1)(2)且，1-a+b=0,b=a-11.当Δ≤0，即－eq\f(2\r(5),5)≤a≤eq\f(2\r(5),5)时，则必需⇒－eq\f(2\r(5),5)≤a≤0.2.当Δ>0，即a<－eq\f(2\r(5),5)或a>eq\f(2\r(5),5)时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1<x2)．若≥1，则x1≤0，即⇒；若≤0，则x2≤0，即⇒－1≤a<－eq\f(2\r(5),5)；综上所述：或.【思路点拨】是的解，代入即可求；是一个含有参数的二次函数，一般分和两种状况进行争辩。【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】17.(本小题满分12分)已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【学问点】函数的奇偶性和单调性B3B4【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）令,.∴,∴.(2)在[-1，1]上递增，∴,∴,.【思路点拨】由函数为奇函数，可求时的解析式，即可求出；再利用函数在上递增，可得，即可求出.【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】10.设函数的定义域为，且，且对任意若是直角三角形的三边长，且也能成为三角形的三边长，则的最小值为()A.B.C.D.【学问点】三角形的外形推断，函数的值C8B3【答案】【解析】A解析：不妨设为斜边，则，由题意可得即即所以选A.【思路点拨】不妨设为斜边，则，可得结合题意可得，结合可求的范围，进而可求的范围，即可求解.【数学理卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）(1)】10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的取值范围是（）A、B、C、D、或【学问点】函数的单调性；奇偶性；周期性；不等式恒成立问题.B3B4E8【答案】【解析】D解析：由①②得函数是R上的偶函数，的增函数；是周期为，且当时，的函数.所以命题为关于的不等式：，对恒成立.而在上最大值为，所以或.故选D.【思路点拨】依据已知条件确定函数g(x)的奇偶性单调性，及函数f(x)的周期性，由此把命题关于的不等式对恒成立，转化为，对恒成立.所以只需求在上最大值，利用导数求得此最大值为2，所以或.【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】10.函数的值域为（）A.B.C.D.【学问点】函数的单调性与最值B3【答案解析】B令2x=t（t＞0），则函数y=4x+2x+1+1可化为：y=t2+2t+1=（t+1）2，

∵函数y在t＞0上递增，∴y＞1，即函数的值域为（1，+∞），故答案为：B.【思路点拨】令2x=t（t＞0），将原不等式转化为y=t2+2t+1求出函数y在t＞0时的值域即可．

【数学理卷·2021届吉林省长春外国语学校高三上学期期中考试（202211）】4.下列函数既是奇函数，又是上的增函数的是（）A.B.C.D.【学问点】函数的奇偶性函数的单调性B3B4【答案解析】DA选项是偶函数，B选项为奇函数但是为减函数，C选项既不是奇函数也不是偶函数，故选D。【思路点拨】依据奇函数偶函数的定义确定，再用增减性求出结果。【数学文卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】14.若且，则的最小值为.【学问点】函数的单调性与最值B3【答案解析】∵x，y为非负数且x+2y=1，∴x=1-2y≥0，解得0≤y≤．

∴f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，因此f（y）在[0，]上单调递减，∴当y=，x=0时，函数f（y）取得最小值，f()=．故答案为．【思路点拨】x，y为非负数且x+2y=1，可得x=1-2y≥0，解得0≤y≤．可得f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，再利用二次函数的单调性即可得出．【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】21.（本小题满分14分）.已知函数，（a为实数）．(Ⅰ)当a=5时，求函数在处的切线方程；(Ⅱ)求在区间[t，t+2]（t>0）上的最小值；(Ⅲ)若存在两不等实根，使方程成立，求实数a的取值范围．【学问点】导数；导数与函数的最值；导数与函数的单调性.B3,B11【答案】【解析】(I)(II)当时(III)解析：(Ⅰ)当时,.………1分，故切线的斜率为.………2分所以切线方程为:,即.………4分(Ⅱ),………6分①当时,在区间上为增函数,所以………7分②当时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,所以………8分(Ⅲ)由，可得：，………9分,令,.………10分,,..实数的取值范围为.………14分【思路点拨】依据导数求出切线斜率，再列出切线方程，再依据函数的导数判定函数的单调性，争辩t的取值范围求出函数的最小值，第三问利用导数与已知条件可解出a的取值范围.【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】3、定义在R上的函数满足，且时，，则A．1B．C．D．【学问点】函数的奇偶性与单调性B3,B4【答案】【解析】C解析：由，由于，所以，，所以.故选【思路点拨】把所求的值利用函数的奇偶性与单调性导入已知的区间，再求出结果.【数学文卷·2021届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】22．（本小题满分15分）已知函数，为常数．（1）当时，求函数在上的最小值和最大值；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．【学问点】函数的单调性与最值B3【答案解析】（1）当时，最大值为，最小值为1。（2）（1）当时，所以当时，当时，所以在上的最大值为，最小值为1。（2）由于 而在上单调递增所以当时，必单调递增，得即当时，亦必单调递增，得即且恒成立故所求实数的取值范围为。【思路点拨】先争辩去确定值依据单调性求出最值，依据二次函数的单调性求出a值。【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】16．已知函数是定义在上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题(1)(2)在[-2，2]上有5个零点(3)点(2022，0)是函数的一个对称中心(4)直线是函数图象的一条对称轴．则正确的是【学问点】奇函数函数的单调性函数的其图像B3B4B10【答案】【解析】(1)(2)(3)解析：由奇函数的性质知所以(1)正确；由得，所以f(1)=0，又f(0)=f(2)=0，且函数的周期为2，又当且时，有，所以函数在区间(0,1)上单调递减，可作函数模型如图：由函数模型知(2)(3)也正确，所以正确的序号为(1)(2)(3).【思路点拨】抓住函数的性质特征，利用函数模型结合其图像特征解题即可..【数学文卷·2021届四川省成都外国语学校高三11月月考（202211）】10.已知R上的连续函数g(x)满足：①当时，恒成立(为函数的导函数)；②对任意的都有，又函数满足：对任意的，都有成立。当时，。若关于的不等式对恒成立,则的