【2022决胜高考】人教A版(文)数学一轮复习导练测：第8讲-第二章-集合与常用逻辑用语-函数与方程

第8讲函数与方程一、选择题1．“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0”A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析当a<－2时，函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上单调递减，此时f(－1)＝3－a>0，f(2)＝3＋2a<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0；当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0有f(－1)f(2)<0，即2a2－3解得a>3或a<－eq\f(3,2).答案A2．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()解析能用二分法求零点的函数必需在含零点的区间(a，b)内连续，并且有f(a)·f(b)＜0.A、B、D中函数不符合．答案C3．函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是 ()．A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)解析由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0<a<3.答案C4．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为()．A．6 B．7 C．8 D．9解析当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1.依据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2，可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点，又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0，∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7.答案B5．函数f(x)＝eq\r(x)－cosx在[0，＋∞)内 ()．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点解析令f(x)＝0，得eq\r(x)＝cosx，在同一坐标系内画出两个函数y＝eq\r(x)与y＝cosx的图象如图所示，由图象知，两个函数只有一个交点，从而方程eq\r(x)＝cosx只有一个解．∴函数f(x)只有一个零点．答案B6．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是()．A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点B．函数f(x)必有一个零点是正数C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点解析f(x)＝0⇔ex＝a＋eq\f(1,x)在同一坐标系中作出y＝ex与y＝eq\f(1,x)的图象，可观看出A、C、D选项错误，选项B正确．答案B二、填空题7．用二分法争辩函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0可得其中一个零点x0∈______，其次次应计算________．解析∵f(x)＝x3＋3x－1是R上的连续函数，且f(0)<0，f(0.5)>0，则f(x)在x∈(0,0.5)上存在零点，且其次次验证时需验证f(0.25)的符号．答案(0,0.5)f(0.25)8．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0，))则函数y＝f[f(x)]＋1的全部零点所构成的集合为________．解析本题即求方程f[f(x)]＝－1的全部根的集合，先解方程f(t)＝－1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t≤0，,t＋1＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t>0，,log2t＝－1，))得t＝－2或t＝eq\f(1,2).再解方程f(x)＝－2和f(x)＝eq\f(1,2).即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x＋1＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,log2x＝－2))和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x＋1＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,log2x＝\f(1,2).))得x＝－3或x＝eq\f(1,4)和x＝－eq\f(1,2)或x＝eq\r(2).答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)，\f(1,4)，\r(2)))9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．解析由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．答案(－∞，2ln2－2]10．若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P、Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P、Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋4x＋1，x<0，,\f(2,ex)，x≥0，))则f(x)的“友好点对”的个数是________．解析设P(x，y)、Q(－x，－y)(x>0)为函数f(x)的“友好点对”，则y＝eq\f(2,ex)，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，∴eq\f(2,ex)＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐标系中作函数y1＝eq\f(2,ex)、y2＝－2x2＋4x－1的图象，y1、y2的图象有两个交点，所以f(x)有2个“友好点对”，故填2.答案2三、解答题11．设函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))(x>0)．(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，求eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值；(3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解(1)如图所示．(2)∵f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x)))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1，x∈0，1]，,1－\f(1,x)，x∈1，＋∞，))故f(x)在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，且eq\f(1,a)－1＝1－eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根．12．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．思路分析由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．解析∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.当Δ＝0时，即m2－4＝0，∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，∴2x＝1，x＝0符合题意．当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点．∴这种状况不符合题意．综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.13．已知二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.(1)若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t,10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12－t(视区间[a，b]的长度为b－a)．解(1)∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0，,f－1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－16＋q＋3≤0，,1＋16＋q＋3≥0，))∴－20≤q≤12.(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0,8]上是减函数，在区间[8,10]上是增函数，且对称轴是x＝8.①当0≤t≤6时，在区间[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，解得t＝eq\f(15±\r(17),2)，∴t＝eq\f(15－\r(17),2)；②当6<t≤8时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；③当8<t<10时，在区间[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，∴t＝9.综上可知，存在常数t＝eq\f(15－\r(17),2)，8,9满足条件.14．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．解(1)法一：∵g(x)＝x＋eq\f(e2,x)≥2eq\r(e2)＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．法二：作出g(x)＝x＋eq\f(e2,x)(x>0)的大致图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.法三：由g(x)＝m得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)>0,Δ＝m2－4e2≥0))等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,m≥2e或m≤－2e))