【全程复习方略】2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第五章-第五节数列的综合应用

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十三)一、选择题1.(2021·铜川模拟)数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an,若b3=-2,b2=12,则a8=()(A)0 (B)-109 (C)-78 (D)112.(2022·海淀模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an>0,QUOTE-QUOTE=1(n∈N+),那么使an<5成立的n的最大值为()(A)4 (B)5 (C)24 (D)253.已知向量a=(an,2),b=(an+1,QUOTE),且a1=1,若数列{an}的前n项和为Sn,且a∥b,则Sn=()(A)QUOTE[1-(QUOTE)n] (B)QUOTE[1-(QUOTE)n](C)QUOTE[1-(QUOTE)n-1] (D)QUOTE[1-(QUOTE)n-1]4.等差数列{an}的前n项和为Sn,若(S8-S5)(S8-S4)<0,则()(A)|a6|>|a7| (B)|a6|<|a7|(C)|a6|=|a7| (D)a6=05.(2021·石家庄模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的QUOTE是较小的两份之和,问最小一份为()(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE6.已知数列{an}为等差数列,公差为d,若QUOTE<-1,且它的前n项和Sn有最大值,则使得Sn<0的n的最小值为()(A)11 (B)19 (C)20 (D)217.(2021·商洛模拟)已知函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,若数列{QUOTE}的前n项和为Sn,则S2012的值为()(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE8.(力气挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2022年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2022年11月份发觉两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2022年6月份的月产值大小,则有()(A)甲的产值小于乙的产值(B)甲的产值等于乙的产值(C)甲的产值大于乙的产值(D)不能确定二、填空题9.设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列{QUOTE}的前n项和Sn等于.10.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此连续下去,则至少应倒次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.11.设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项an=.12.(力气挑战题)数列{an}的前n项和记为Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线y=2x+1上,n∈N+,若数列{an}是等比数列,则实数t=.三、解答题13.(2021·西安模拟)设x1，x2是方程anx2-an+1x-(3n+1)=0(n∈N+)的两个根，x1+x2+x1x2=2，a1=4.在{an}中，a2=32，a8=QUOTE，an+1<an.(1)求证:数列{an-3n+1}是等比数列.(2)设数列{QUOTE}的前n项的和为Sn，证明:QUOTE<Sn<QUOTE.14.(2022·安徽高考)设函数f(x)=QUOTE+sinx的全部正的微小值点从小到大排成的数列为{xn}.(1)求数列{xn}的通项公式.(2)设{xn}的前n项和为Sn,求sinSn.15.(2021·新余模拟)已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=anan+1,数列{an}的前n项和为Sn.(1)求证:数列{QUOTE}为等差数列.(2)设Tn=S2n-Sn,求证:Tn+1>Tn.答案解析1.【解析】选B.数列{bn}的公差为-14,故b1=26,a8-a1=b1+b2+…+b7=7×26+QUOTE×(-14)=-112,故a8=-109.2.【解析】选C.由a1=1,an>0,QUOTE-QUOTE=1(n∈N+)可得QUOTE=n,即an=QUOTE,要使an<5,则n<25,故选C.3.【解析】选A.由向量a∥b,得QUOTEan=2an+1,即QUOTE=QUOTE,数列{an}是公比为QUOTE的等比数列,则Sn=QUOTE=QUOTE[1-(QUOTE)n].4.【解析】选A.由(S8-S5)(S8-S4)<0知S8-S5>0且S8-S4<0或S8-S5<0且S8-S4>0,当S8-S5>0且S8-S4<0时,有QUOTE∴QUOTE∴|a6|>|a7|.当S8-S5<0且S8-S4>0时,有QUOTE∴QUOTE∴|a6|>|a7|,故选A.5.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20.由QUOTE(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d),∴24d=11a,∴d=QUOTE,所以,最小的一份为a-2d=20-=QUOTE.6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“QUOTE<-1”及“Sn有最大值”如何使用,从而列出关于a1,d的不等式组,求出QUOTE的取值范围,进而求出访得Sn<0的n的最小值,或者依据等比数列的性质求解.【解析】选C.方法一:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,由QUOTE得-QUOTE<QUOTE<-9.∵Sn=na1+QUOTEd=QUOTEn2+(a1-QUOTE)n,由Sn=0得n=0或n=1-QUOTE.∵19<1-QUOTE<20,∴Sn<0的解集为{n∈N+|n>1-QUOTE},故使得Sn<0的n的最小值为20.方法二:由题意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,由a10>0知S19>0,由a11<0知S21<0,由a10+a11<0知S20<0,故选C.7.【解析】选D.由函数f(x)=x2+2bx过(1,2)点,得b=QUOTE,∴QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTE,S2022=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=(1-QUOTE)+(QUOTE-QUOTE)+…+(QUOTE-QUOTE)=QUOTE.8.【解析】选C.设甲各个月份的产值构成数列{an},乙各个月份的产值构成数列{bn},则数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=b1,a11=b11,故a6=QUOTE≥QUOTE=QUOTE=QUOTE=b6,由于在等差数列{an}中的公差不等于0,故a1≠a11,上面的等号不能成立,故a6>b6,即6月份甲的产值大于乙的产值.9.【解析】∵y'=nxn-1-(n+1)xn,∴y'|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,∴切线方程为y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),令x=0得y=(n+1)·2n,即an=(n+1)·2n,∴QUOTE=2n,∴Sn=2n+1-2.答案：2n+1-210.【解析】设开头纯酒精体积与总溶液体积之比为1,操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比a1=QUOTE,设操作n次后,纯酒精体积与总溶液体积之比为an,则an+1=an·QUOTE,∴an=a1qn-1=(QUOTE)n,∴(QUOTE)n<QUOTE,得n≥4.答案：4【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题,首先分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系,然后构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还是其他数学问题,最终通过建立的关系求出相关量.11.【解析】∵a1=2,an+1=an+n+1,∴an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,an-2=an-3+(n-3)+1,…,a3=a2+2+1,a2=a1+1+1,a1=2=1+1,将以上各式相加得:an=[(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1]+n+1=QUOTE+n+1=QUOTE+n+1=QUOTE+1.答案：QUOTE+112.【思路点拨】得出关于an+1,Sn的式子,降低一个角标再得一个关于an,Sn-1的式子,两个式子相减后得出an+1,an的关系,可得数列{an}中,a2,a3,a4,…为等比数列,只要QUOTE等于上面数列的公比即可.【解析】由题意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2),所以当n≥2时,{an}是等比数列,要使n≥1时,{an}是等比数列,则只需QUOTE=QUOTE=3,从而t=1.答案：113.【证明】(1)QUOTE-QUOTE=2，an+1=2an+3n+1，an+1-3n+1+1=2an+3n+1-3n+1+1=2(an-3n+1)，∵a1=4，∴an-3n+1≠0，∴QUOTE=2，∴{an-3n+1}是首项为2，公比为2的等比数列.(2)an=3n+2n-1，∵当n=1时，a1=4，∴QUOTE<S1<QUOTE.∵当n≥2时，QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE，∴Sn<QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=QUOTE-QUOTE<QUOTE.∵QUOTE=QUOTE>QUOTE=QUOTE·QUOTE，∴Sn>QUOTE(QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE)=QUOTE(1-QUOTE)>QUOTE(1-QUOTE)=QUOTE.∴综上，QUOTE<Sn<QUOTE(n∈N+)成立.14.【思路点拨】(1)依据导数,xn的左侧导函数小于0,xn的右侧导函数大于0,求出微小值点.(2)由(1)求出{xn}的前n项和为Sn,再代入sinSn求解.【解析】(1)f(x)=QUOTE+sinx,令f'(x)=QUOTE+cosx=0,得x=2kπ±QUOTE(k∈Z),f'(x)>0⇒2kπ-QUOTE<x<2kπ+QUOTE(k∈Z),f'(x)<0⇒2kπ+QUOTE<x<2kπ+QUOTE(k∈Z),当x=2kπ-QUOTE(k∈Z)时,f(x)取微小值,xn=2nπ-QUOTE(n∈N+).(2)由(1)得:xn=2nπ-QUOTE,Sn=x1+x2+x3+…+xn=2π(1+2+3+…+n)-QUOTE=n(n+1)π-QUOTE.当n=3k(k∈N+)时,sinSn=sin(-2kπ)=0,当n=3k-1(k∈N+)时,sinSn=sinQUOTE=QUOTE,当n=3k-2(k∈N+)时,sinSn=sinQUOTE=-QUOTE.所以sinSn=QUOTE15.【解析】(1)易知an≠0,由an-an+1=anan+1,从而得QUOTE-QUOTE=1.∵a1=1,∴数列{QUOTE}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)∵QUOTE=n,则an=QUOTE,∴Sn=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.