【全程复习方略】2020年人教A版数学理(广东用)课时作业：第八章-第九节直线与圆锥曲线的位置关系

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(五十八)一、选择题1.(2021·清远模拟)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()(A)QUOTE(B)1(C)QUOTE(D)QUOTE2.设F1,F2为椭圆QUOTE+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作始终线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,QUOTE·QUOTE的值等于()(A)0 (B)2 (C)4 (D)-23.已知A,B为抛物线C:y2=4x上的两个不同的点,F为抛物线C的焦点,若QUOTE=-4QUOTE,则直线AB的斜率为()(A)±QUOTE(B)±QUOTE(C)±QUOTE(D)±QUOTE4.(2021·西安模拟)已知任意k∈R,直线y-kx-1=0与椭圆QUOTE+QUOTE=1恒有公共点,则实数m的取值范围是()(A)(0,1) (B)(0,5)(C)[1,5)∪(5,+∞) (D)[1,5)5.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()(A)3 (B)4 (C)3QUOTE (D)4QUOTE6.(力气挑战题)已知椭圆E:QUOTE+QUOTE=1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长不行能相等的是()(A)kx+y+k=0 (B)kx-y-1=0(C)kx+y-k=0 (D)kx+y-2=0二、填空题7.(2021·珠海模拟)已知椭圆QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直长轴的弦长为1,则椭圆方程为.8.已知曲线QUOTE-QUOTE=1(ab≠0,且a≠b)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且QUOTE·QUOTE=0(O为原点),则QUOTE-QUOTE的值为.9.设直线l:2x+y-2=0与椭圆x2+QUOTE=1的交点为A,B,点P是椭圆上的动点,则使得△PAB的面积为QUOTE的点P的个数为.三、解答题10.(2022·北京高考)已知椭圆C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的一个顶点A(2,0),离心率为QUOTE,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(1)求椭圆C的方程.(2)当△AMN的面积为QUOTE时,求k的值.11.(2021·佛山模拟)斜率为QUOTE的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,A,B的中点M的纵坐标为2.(1)求抛物线的方程.(2)若|OM|=QUOTE|AB|,求直线l的方程.12.(力气挑战题)椭圆E:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的一个焦点F1(-2,0),点P(1,)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程.(2)设点C的坐标为(1,0),椭圆E的另一个焦点为F2.试问:是否存在椭圆上的点Q及以C为圆心的一个圆,使圆C与直线QF1,QF2都相切,如存在,求出Q点坐标及圆C的方程,如不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选C.依据抛物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为:QUOTE(|AF|+|BF|)-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE.2.【思路点拨】数形结合利用几何法求解.【解析】选D.易知当P,Q分别在椭圆短轴端点时,四边形PF1QF2的面积最大,此时F1(-QUOTE,0),F2(QUOTE,0),不妨设P(0,1),∴QUOTE=(-QUOTE,-1),QUOTE=(QUOTE,-1),∴QUOTE·QUOTE=-2.3.【解析】选D.由题意知焦点F(1,0),直线AB的斜率必存在,且不为0,故可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),代入y2=4x中化简得ky2-4y-4k=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=QUOTE①y1y2=-4②又由QUOTE=-4QUOTE可得y1=-4y2③联立①②③式解得k=±QUOTE.4.【解析】选C.直线y=kx+1过定点(0,1),只要(0,1)在椭圆QUOTE+QUOTE=1上或其内部即可.从而m≥1,又由于椭圆QUOTE+QUOTE=1中m≠5,所以m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞).【误区警示】本题易误选D,根本缘由是误认为椭圆的焦点在x轴上,得1≤m<5,而忽视其焦点可能在y轴上.5.【思路点拨】转化为过A,B两点且与x+y=0垂直的直线与抛物线相交后求弦长问题.【解析】选C.设直线AB的方程为y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由QUOTE⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,得AB的中点M(-QUOTE,-QUOTE+b).又M(-QUOTE,-QUOTE+b)在直线x+y=0上,可求出b=1,则|AB|=QUOTE·QUOTE=3QUOTE.6.【思路点拨】选取k的特殊值验证所得直线与已知直线l的关系,进而得答案.【解析】选D.A选项中,当k=-1时,两直线关于y轴对称,两直线被椭圆E截得的弦长相等;B选项中,当k=1时,两直线平行,两直线被椭圆E截得的弦长相等;C选项中,当k=1时,两直线关于y轴对称,两直线被椭圆E截得的弦长相等.【变式备选】斜率为1的直线l与椭圆QUOTE+y2=1交于不同两点A,B,则|AB|的最大值为()(A)2 (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE【解析】选C.设直线l的方程为y=x+t,代入QUOTE+y2=1,消去y,得QUOTEx2+2tx+t2-1=0,由题意得Δ=(2t)2-5(t2-1)>0,即t2<5,弦长|AB|=QUOTE·QUOTE≤QUOTE.7.【解析】∵椭圆QUOTE+QUOTE=1的右顶点为A(1,0),∴b=1,焦点坐标为(0,c),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,即1=2|x|=2bQUOTE=QUOTE=QUOTE,a=2,则椭圆方程为QUOTE+x2=1.答案:QUOTE+x2=18.【解析】将y=1-x代入QUOTE-QUOTE=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE.QUOTE·QUOTE=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1.所以QUOTE-QUOTE+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a=2ab,所以QUOTE-QUOTE=2.答案:29.【思路点拨】先求出弦长|AB|,进而求出点P到直线AB的距离,再求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,最终数形结合求解.【解析】由题知直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1,0),(0,2),故|AB|=QUOTE,要使△PAB的面积为QUOTE,即QUOTE·QUOTE·h=QUOTE,所以h=QUOTE.联立y=-2x+m与椭圆方程x2+QUOTE=1得8x2-4mx+m2-4=0,令Δ=0得m=±2QUOTE,即平移直线l到y=-2x±2QUOTE时与椭圆相切,它们与直线l的距离d=QUOTE都大于QUOTE,所以一共有4个点符合要求.答案:410.【解析】(1)a=2,e=QUOTE=QUOTE,c=QUOTE,b=QUOTE,椭圆C:QUOTE+QUOTE=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则由QUOTE,消y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,∵直线y=k(x-1)过椭圆内点(1,0),∴Δ>0恒成立,由根与系数的关系得x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE,S△AMN=QUOTE×1×|y1-y2|=QUOTE×|kx1-kx2|=QUOTE=QUOTE=QUOTE.即7k4-2k2-5=0,解得k=±1.11.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),∵A,B在抛物线上,∴QUOTE=2px1,QUOTE=2px2,∴x1=QUOTE,x2=QUOTE,∴k=QUOTE=QUOTE=QUOTE.∵A,B的中点M的纵坐标为2,∴y1+y2=4,∴QUOTE=QUOTE,∴2p=5,∴抛物线的方程为y2=5x.(2)∵|OM|=QUOTE|AB|,∴QUOTE·QUOTE=0.∴x1x2+y1y2=0.设直线l的方程为y=QUOTEx+b,代入y2=5x中整理得,y2-4y+4b=0,Δ=16-16b>0,∴b<1,y1y2=4b,∴x1x2=QUOTE×QUOTE=QUOTE=QUOTE,∴x1x2+y1y2=QUOTE+4b=0,∴b=0或b=-QUOTE.∴所求直线l的方程为y=QUOTEx或y=QUOTEx-QUOTE.12.【解析】(1)方法一:椭圆E的一个焦点F1(-2,0),故另一焦点F2(2,0),点P(1,QUOTE)在椭圆E上,所以2a=|PF1|+|PF2|=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=4QUOTE,所以a=2QUOTE.又c=2,所以b2=a2-c2=4.所以椭圆的方程为QUOTE+QUOTE=1.方法二:椭圆E的一个焦点F1(-2,0),所以c=2,即a2-b2=4①又点P(1,QUOTE)在椭圆E上,所以=1,②由①②解得a2=8,b2=4,所以椭圆的方程为QUOTE+QUOTE=1.(2)假设存在椭圆上的一点Q(x0,y0),使得直线QF1,QF2与以C为圆心的圆相切,则C到直线QF1,QF2的距离相等.由于F1(-2,0),F2(2,0),所以直线QF1为y0x-(x0+2)y+2y0=