【创新设计】2022届-数学一轮(理科)北师大版-第五章-平面向量-课时作业5-2

第2讲平面对量基本定理及坐标表示基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2022·福建卷)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是 ()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解析由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.答案B2．(2022·南昌质量监测)已知在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,8)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,4)，对角线AC与BD相交于点M，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝ ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－6)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，6))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－6)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，6))解析由于在▱ABCD中，有eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)×(－1,12)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，6))，故选B.答案B3．(2022·青岛质量检测)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的 ()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.答案A4．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于 ()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B．eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)bC．－eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b解析设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＝λ＋μ，,2＝λ－μ，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,μ＝－\f(3,2)，))∴c＝eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b.答案B5.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，则 ()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)解析由题意知eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，又eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).答案A二、填空题6．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．解析由于a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又由于u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值为________．解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－2，－2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)8.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝________.解析以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)，∴a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，即－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，∴eq\f(λ,μ)＝4.答案4三、解答题9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3c，eq\o(CN,\s\up6(→))＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量eq\o(MN,\s\up6(→))的坐标．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))(3)设O为坐标原点，∵eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝3c，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝3c＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2b，∴eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2b＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．10．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，试用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→)).解法一设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则a＝eq\o(AN,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)b))， ①b＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MD,\s\up6(→))＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a)). ②将②代入①，得a＝d＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a))))，∴a＝eq\f(4,3)d－eq\f(2,3)c＝eq\f(2,3)(2d－c)， ③将③代入②，得b＝c＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(2,3)(2d－c)＝eq\f(2,3)(2c－d)．∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．法二设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b.因M，N分别为CD，BC的中点，所以eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，因而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2d－c，,b＝\f(2,3)2c－d，))即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．力量提升题组(建议用时：25分钟)11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为 ()A．30° B．60°C．90° D．120°解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理得b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1,2)，又0°<C<180°，∴C＝60°.答案B12．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝eq\f(π,4)，且|OC|＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝ ()A．2eq\r(2) B．eq\r(2)C．2 D．4eq\r(2)解析由于|OC|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).答案A13．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3，－4)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0，－3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．解析由题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠eq\f(5,4).答案m≠eq\f(5,4)14.如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．解如图所示，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种状况：①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC.设D的坐标为(x，y)，①若是▱ABCD，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－x＝－1，,－2－y＝2，))∴x＝0，y＝－4.∴D点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D1)．②若是▱ADBC，由e