【2021届备考】2020全国名校数学试题分类解析汇编(12月第一期)：C3三角函数的图象与性质

C3三角函数的图象与性质【数学理卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】9.已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且函数f(x)＝eq\f(1＋2sin2x,sin2x)的最小值为b，若函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＜x＜\f(π,2))),8x2－6bx＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x≤\f(π,4)))))，则不等式g(x)≤1的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(π,2)))【学问点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】D∵x∈(0,)，∴tanx＞0．∴f(x)==(3tanx+)≥=．当且仅当tanx=，即x=时取等号．

因此b=．不等式g（x）≤1⇔①＜x＜或②，解②得≤x≤．

因此不等式f（x）≤1的解集为[,]∪(，)=[，)．故选D．【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f（x）的最小值即b．再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出．【数学理卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】7.函数是()A．最小正周期为，值域为的函数B．最小正周期为，值域为的函数C．最小正周期为，值域为的函数D．最小正周期为,值域为的函数【学问点】三角函数的周期；三角函数的值域.C3【答案】【解析】C解析：，最小正周期为,由于,所以,即值域为,故选C.【思路点拨】先把原函数化简整理，再利用周期公式求解即可，然后求出值域。【数学理卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（202211）(1)】18．（本小题满分14分）已知向量，其中．（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域．【学问点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（1）（2）（1）由于，所以所以即,由于，所以（2）由于，（所以当即时，当即时，,所以的值域为。【思路点拨】先利用向量的关系化简求出x值，再依据单调性最值。【数学理卷·2021届浙江省慈溪市慈溪中学高三上学期期中考试（202211）(1)】12．函数的最小正周期为▲．【学问点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】∵数y=3sin(3x+)-3，∴其最小正周期T=，故答案为：．【思路点拨】利用正弦函数的周期公式即可求得答案．【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】19.(本小题满分12分）若对任意x∈R，不等式＞sinθ-1恒成立，求θ的取值范围.【学问点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（2kπ-，2kπ+）k∈Z原不等式变形为：(cosθ-sinθ+1)x2-(cosθ-sinθ-4)x+cosθ-sinθ+4＞0令t＝cosθ-sinθ得：(t+1)x2-(t-4)x+t+4＞0∴cosθ-sinθ＞0cosθ＞sinθ2kπ-＜θ＜2kπ+k∈Z所以得范围是（2kπ-，2kπ+）k∈Z【思路点拨】依据三角函数的性质求出参数范围【数学理卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】18.(本小题满分12分）已知，其中，，且，若相邻两对称轴间的距离不小于。（1）求的取值范围.（2）在中，、、分别是角、、的对边，，，当最大时，,求的面积.【学问点】三角函数的图象与性质解三角形C3C8【答案解析】（1）（2）对称轴为，∴（1）由得得（2）由（1）知∴ ∵∴∵∴ 由得 ∴【思路点拨】依据三角函数的周期性求出参数范围，依据余弦定理求出边再求面积。【数学理卷·2021届安徽省“江淮十校”高三11月联考（202211）WORD版】16.(本题满分12分)已知函数的部分图像如图所示.(1)求的解析式；(2)求使不等式成立的的取值集合，其中为的导函数.【学问点】三角函数图像，函数的导数应用C3B12【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）又点是的一个对称中心，，令，得（2）【思路点拨】由图像先推断函数周期T，可求ω，再由点是的一个对称中心可求，从而就可以确定的解析式.【数学文卷·2021届辽宁省沈阳二中高三上学期期中考试（202211）】9.已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且函数f(x)＝eq\f(1＋2sin2x,sin2x)的最小值为b，若函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＜x＜\f(π,2))),8x2－6bx＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x≤\f(π,4)))))，则不等式g(x)≤1的解集为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(\r(3),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(π,2)))【学问点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】D∵x∈(0,)，∴tanx＞0．∴f(x)==(3tanx+)≥=．当且仅当tanx=，即x=时取等号．

因此b=．不等式g（x）≤1⇔①＜x＜或②，解②得≤x≤．

因此不等式f（x）≤1的解集为[,]∪(，)=[，)．故选D．【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f（x）的最小值即b．再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出．【数学文卷·2021届湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中三校高三联考（202211）】7、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象是A．关于直线对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于点对称【学问点】三角函数的图像C3【答案】【解析】A解析：依题意得，故，所以，，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称.故选【思路点拨】依据题意可求出再依据解析式判定函数的对称关系.【数学文卷·2021届湖南省岳阳一中高三上学期第三次月考（202211）】17.（本小题满分12分）函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的部分图象如图所示．(1)求f(x)的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上的最大值和最小值．【学问点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值.C3C4【答案】【解析】(1)T＝π，f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,6))；(2)1，－eq\f(1,2)。解析：(1)由图可得A＝1，eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝π.所以ω＝2.当x＝eq\f(π,6)时，f(x)＝1，可得sin(2×eq\f(π,6)＋φ)＝1.由于|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)，所以f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,6))．(2)g(x)＝f(x)－cos2x＝sin(2x＋eq\f(π,6))－cos2x＝sin2xcoseq\f(π,6)＋cos2xsineq\f(π,6)－cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＝sin(2x－eq\f(π,6))．由于0≤x≤eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6).当2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)时，g(x)有最大值，最大值为1；当2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0时，g(x)有最小值，最小值为－eq\f(1,2).【思路点拨】(1)由图可得A=1，一个周期内最高点与最低点的横坐标之差的确定值为半个周期，得最小正周期T，进而得ω，代入最高点坐标求φ，得f（x）的解析式；(2)由(1)知f（x）的解析式，代入求出g（x）的解析式，用两角和的正弦公式把式中的第一项开放，合并，再逆用两角差的正弦公式把式子变形为一个角的一个三角函数值，由x的范围，得到2x﹣eq\f(π,6)的范围，由正弦函数的图象得到sin（2x﹣eq\f(π,6)）的最大值和最小值．【数学文卷·2021届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】18．（本小题满分14分）已知向量，其中．（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域．【学问点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（1）（2）（1）由于，所以所以即,由于，所以（2）由于，（所以当即时，当即时，,所以的值域为。【思路点拨】先利用向量的关系化简求出x值，再依据单调性最值。【数学文卷·2021届浙江省慈溪市（慈溪中学）、余姚市（余姚中学）高三上学期期中联考（202211）】2．函数的最小正周期为A．B．C．D．【学问点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】B∵数y=3sin(3x+)-3，∴其最小正周期T=，故答案为：B．【思路点拨】利用正弦函数的周期公式即可求得答案．【数学文卷·2021届河南省试验中学高三上学期期中考试（202211）】17．（本小题满分12分）已知向量，，函数．（Ⅰ）求函数的对称中心；（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，，且，求的值．【学问点】三角函数的图象与性质解三角形C3C8【答案解析】（Ⅰ）（k∈z）（Ⅱ）（Ⅰ）对称中心为（k∈z）（Ⅱ）是三角形内角∴∴即：∴即：将代入k式可得：解之得：∴∴【思路点拨】依据三角函数图像性质求出对称中心，依据余弦定理求出边长。【数学文卷·2021届江西省赣州市十二县（市）高三上学期期中联考（202211）】17.（本小题满分12分）已知函数为常数）．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若时，求函数的值域。【学问点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．C3C4【答案】【解析】（1），单调递增区间为（2）解析：(1)2分………3分∴的最小正周期.………4分令,即时，故的单调递增区间为……………6分(2)当时，则………………8分………………10分………………12分【思路点拨】（1）首先通过恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出单调区间和最小正周期．（2）利用第一步结论利用定义域依据函数的单调性求值域．【数学文卷·2021届江西省师大附中高三上学期期中考试（202211）】18.（本小题12分）已知向量=（），=（,）,,函数，其最小正周期为.（1）求函数的表达式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，若=1，b=l，S△ABC=，求a的值．【学问点】向量的数量积三角函数的性质解三角形F3C3C【答案】【解析】(1)，单调递增区间为；(2).解析：(1)由于，由于最小正周期为，所以，得，所以，由,得，所以函数的单调递增