【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第3章-第4节-定积分与微积分基本定理(理)

第三章第四节一、选择题1．(2021·烟台市期中)若a＝sinxdx，b＝eq\i\in(0,1,)cosxdx，则a与b的关系是()A．a<b B．a>bC．a＝b D．a＋b＝0[答案]A[解析]解法一：如图知，y＝sinx与y＝cosx的交点为(eq\f(π,4)，eq\f(\r(2),2))，由对称性及定积分的几何意义知a<b.解法二：a＝sinxdx＝(－cosx)＝cos1，b＝eq\i\in(0,1,)cosxdx＝sinx|eq\o\al(1,0)＝sin1，∵1>eq\f(π,4)，∴cos1<sin1，∴a<b.2．(2021·石家庄五校联合体摸底)计算(1－cosx)dx＝()A．π＋2 B．π－2C．π D．－2[答案]B[解析](1－cosx)dx＝(x－sinx)＝(eq\f(π,2)－sineq\f(π,2))－[－eq\f(π,2)－sin(－eq\f(π,2))]＝π－2.3．(2021·北京朝阳区期中)曲线y＝eq\f(1,x)与直线x＝1，x＝e2及x轴所围成的图形的面积是()A．e2 B．e2－1C．e D．2[答案]D[解析]所求面积4．(2022·河南南阳第一中学月考)设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝()A．±1 B.eq\r(2)C．±eq\r(3) D．2[答案]C[解析]由于eq\i\in(0,3,)f(x)dx＝eq\i\in(0,3,)(ax2＋b)dx＝(eq\f(1,3)ax3＋bx)|eq\o\al(3,0)＝9a＋3b,3f(x0)＝3axeq\o\al(2,0)＋3b，所以9a＋3b＝3axeq\o\al(2,0)＋3b，所以xeq\o\al(2,0)＝3，x0＝±eq\r(3)，故选C.5.(2022·广东深圳调研)如图所示，在矩形OABC内：记抛物线y＝x2＋1与直线y＝x＋1围成的区域为M(图中阴影部分)．随机往矩形OABC内投一点P，则点P落在区域M内的概率是()A.eq\f(1,18) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,6) D．eq\f(1,3)[答案]B[解析]依据定积分学问可得阴影部分面积S＝eq\i\in(0,1,)[(x＋1)－(x2＋1)]dx＝eq\f(1,6)，点落在区域内的概率为面积型几何概型，所以由几何概型的概率计算公式得P＝eq\f(\f(1,6),2)＝eq\f(1,12)，故选B.6．(2022·广东中山试验高中段考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1－1≤x≤0,cosx0<x≤\f(π,2)))，则∫eq\f(π,2)－1f(x)dx＝()A.eq\f(3,2) B．1C．2 D．eq\f(1,2)[答案]A7.eq\i\in(0,2,)eq\r(4－x2)dx＝()A．4π B．2πC．π D．eq\f(π,2)[答案]C[解析]令y＝eq\r(4－x2)，则x2＋y2＝4(y≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S＝eq\f(1,4)×π×22＝π.8．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f(x)＝eq\i\in(1,x,)eq\f(1,t)dt，若f(x)<a3，则x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，＋∞)) B．(0，e21)C．(e－11，e) D．(0，e11)[答案]D[解析]f(x)＝eq\i\in(1,x,)eq\f(1,t)dt＝lnt|eq\o\al(x,1)＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx<11得，0<x<e11.二、填空题9．(2022·河北名校名师俱乐部模拟)已知在函数f(x)＝ex2＋aex图象上点(1，f(1))处切线的斜率为e，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝________.[答案]1－eq\f(2,3)e[解析]f′(x)|x＝1＝(2ex＋aex)|x＝1＝2e＋ae＝e⇒a＝－1，则eq\i\in(0,1,)(ex2－ex)dx＝(eq\f(1,3)ex3－ex)|eq\o\al(1,0)＝1－eq\f(2,3)e.10.(2022·山西高校附中月考)如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M(图中阴影部分)，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率为________.[答案]eq\f(4,π3)[解析]圆的面积S＝π3，区域M的面积S′＝2eq\i\in(0,π,)sinxdx＝2(－cosx)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(π,0)＝2(－cosπ＋cos0)＝4，故所求概率P＝eq\f(4,π3).一、选择题11．(2022·河源龙川一中月考)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝eq\r(x)围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,3)[答案]D[解析]依题意知，题中的正方形区域的面积为12＝1，阴影区域的面积等于eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x2)dx＝(eq\f(2,3)xeq\s\up10(\f(3,2))－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于eq\f(1,3)，选D.12．(2022·抚顺六校联合体期中)设(eq\f(1,x)＋x2)3的开放式中的常数项为a，则直线y＝ax与直线y＝x2围成图形的面积为()A.eq\f(27,2) B．9C.eq\f(9,2) D．eq\f(27,4)[答案]C[解析](eq\f(1,x)＋x2)3，即(x2＋eq\f(1,x))3的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)(x2)3－r(eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,3)x6－3r，令6－3r＝0，得r＝2，∴常数项为3.则直线y＝3x与曲线y＝x2围成图形的面积为S＝eq\i\in(0,3,)(3x－x2)dx＝(eq\f(3,2)x2－eq\f(1,3)x3)|eq\o\al(3,0)＝eq\f(9,2).故选C.13．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1－1≤x<0，,cosx0≤x<\f(π,2)，))的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为()A.eq\f(2＋π,4) B.eq\f(1,2)C．1 D．eq\f(3,2)[答案]D[解析]由图可知a＝eq\f(1,2)＋cosxdx＝eq\f(1,2)＋sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝eq\f(3,2).14．(2021·遵义航天中学二模)在由y＝0，y＝1，x＝0，x＝π四条直线围成的区域内任取一点，这点没有落在y＝sinx和x轴围成区域内的概率是()A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(2,π)C.eq\f(1,2) D．eq\f(3,π)[答案]A[解析]四条直线围成区域的面积S＝π，其中曲线y＝sinx与x轴围成区域的面积S1＝eq\i\in(0,π,)sinxdx＝(－cosx)|eq\o\al(π,0)＝2，∴所求概率P＝eq\f(S－S1,S)＝eq\f(π－2,π)，故选A.15．(2021·莆田市仙游一中期中)若函数f(x)，g(x)满足eq\i\in(－1,1,)f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1,1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)＝sineq\f(1,2)x，g(x)＝coseq\f(1,2)x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1,1]的正交函数的组数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]①eq\i\in(－1,1,)sineq\f(1,2)xcoseq\f(1,2)xdx＝eq\f(1,2)eq\i\in(－1,1,)sinxdx＝(－eq\f(1,2)cosx)|eq\o\al(1,－1)＝0，∴①中f(x)与g(x)为正交函数；②eq\i\in(－1,1,)(x＋1)(x－1)dx＝eq\i\in(－1,1,)(x2－1)dx＝(eq\f(1,3)x3－x)|eq\o\al(1,－1)＝－eq\f(4,3)，∴②中f(x)与g(x)不是正交函数；③eq\i\in(－1,1,)(x·x2)dx＝eq\i\in(－1,1,)x3dx＝(eq\f(1,4)x4)|eq\o\al(1,－1)＝0，∴③中f(x)与g(x)为正交函数．二、填空题16．(2022·豫东、豫北十所名校联考)设a＝eq\i\in(－π,0,)(sinx－cosx)dx，则二项式(eq\r(x)－eq\f(a,\r(x)))8开放式中的常数项是________．(用数字作答)[答案]1120[解析]a＝eq\i\in(－π,0,)(sinx－cosx)dx＝(－cosx－sinx)eq\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(,,,))eq\o\al(0,－π)＝－2，∴二项式(eq\r(x)－eq\f(a,\r(x)))8＝(eq\r(x)＋eq\f(2,\r(x)))8，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(x))8－r(eq\f(2,\r(x)))r＝2rCeq\o\al(r,8)x4－r，令4－r＝0，∴r＝4∴常数项为24×Ceq\o\al(4,8)＝16×70＝1120.三、解答题17．已知函数f(x)＝ex－1，直线l1：x＝1，l2：y＝et－1(t为常数，且0≤t≤1)．直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案](eq\r(e)－1)2[解析]由题意得S1＋S2＝eq\i\in(0,t,)(et－1－ex＋1)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－1－et＋1)dx＝eq\i\in(0,t,)(et－ex)dx＋eq\i\in(t,1,)(ex－et)dx＝(xet－ex)|eq\o\al(t,0)＋(ex－xet)|eq\o\al(1,t)＝(2t－3)et＋e＋1，