【原创】江苏省2020-2021学年高二数学1-1随堂练习及答案：第二章-07抛物线的几何性质

抛物线的几何性质1．M为抛物线x2＝2py(p>0)上任意一点，F为焦点，则以MF为直径的圆与x轴的位置关系是________．2．若抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为________．3．若点P在y2＝x上，点Q在(x－3)2＋y2＝4上，则PQ的最小值为________．4．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则当eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最小值时，点P的坐标是________．5．已知抛物线y2＝8x，以坐标原点为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，OA＝OB，若焦点F是△OAB的重心，则△OAB的周长为________．6．在抛物线y＝4x2上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________．7．等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是________．8．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足的坐标为(2,1)．能使抛物线的方程为y2＝10x的条件是________．(填写适合条件的全部序号)9．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点(2p,0)作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：①OA⊥OB；②△AOB的最小面积是4p2；③x1x2＝－4p2，其中正确结论的序号是________．10．求过定点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．11．在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围．12．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，始终角边所在直线的方程是y＝x，斜边长为5eq\r(3)，求抛物线的方程．答案1解析：如图所示，设C为线段MF的中点，即C为圆的圆心，则CC′＝eq\f(1,2)(MM′＋OF)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(yM＋\f(p,2)))＝eq\f(1,2)MF，∴该圆与x轴相切．答案：相切2解析：将(1,2)代入y2＝2px(p>0)和ax＋y－4＝0得p＝2，a＝2，∴y2＝4x,2x＋y－4＝0.∵焦点为(1,0)，∴d＝eq\f(|2＋0－4|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)3解析：设P(x，y)，圆心C(3,0)，半径r＝2，∵PC2＝(x－3)2＋y2＝(x－3)2＋x＝x2－5x＋9＝(x－eq\f(5,2))2＋eq\f(11,4)≥eq\f(11,4)，当x＝eq\f(5,2)时，|PC|2＝eq\f(11,4)<r2＝4，∴抛物线与圆相交，∴PQmin＝0.答案：04解析：设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)，y))，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－2，y))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－4，y))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(y2,4)－4))＋y2＝eq\f(y4,16)＋eq\f(5,2)y2＋8≥8，当且仅当y＝0时，等号成立，此时P(0,0)．答案：(0,0)5解析：如图所示．由OA＝OB可知AB⊥x轴，垂足为点M，又F是△OAB的重心，则OF＝eq\f(2,3)OM.∵F(2,0)，∴OM＝eq\f(3,2)OF＝3.∴M(3,0)，故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，∴m＝2eq\r(6)或m＝－2eq\r(6).∴A(3,2eq\r(6))．∴OA＝OB＝eq\r(33).∴△OAB的周长为2eq\r(33)＋4eq\r(6).答案：2eq\r(33)＋4eq\r(6)6解析：设该点为A(x0，y0)，那么有y0＝4xeq\o\al(2,0)(x0∈R)．设点A到直线y＝4x－5的距离为d，则d＝eq\f(|4x0－y0－5|,\r(42＋1))＝eq\f(1,\r(17))|－4xeq\o\al(2,0)＋4x0－5|＝eq\f(1,\r(17))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,2)))2－4))＝eq\f(4,\r(17))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(1,2)))2＋1)).当x0＝eq\f(1,2)时，d取最小值，此时y0＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝1，所以点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))7解析：设点A(x，y)在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x(x≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p，))即点A(2p,2p)，B(2p，－2p)，所以AB＝4p，所以S△ABO＝eq\f(1,2)AB·2p＝eq\f(1,2)·4p·2p＝4p2.答案：4p28解析：由抛物线方程y2＝10x知，焦点在x轴上，所以②适合；对于③，由焦半径公式知，1＋eq\f(p,2)＝6，所以p＝10，此时y2＝20x，不符合条件；对于④，2p＝5，此时y2＝5x，不符合题意；又由于抛物线y2＝10x的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，0))，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，所以⑤也适合．因此应填序号为②⑤.答案：②⑤9解析：当直线AB的斜率存在时，设直线的方程为y＝k(x－2p)(k≠0)，与抛物线的方程联立，得k2x2－(4pk2＋2p)x＋4p2k2＝0，所以x1x2＝4p2，y1y2＝－eq\r(4p2·4p2)＝－4p2，所以x1x2＋y1y2＝0，即OA⊥OB，①正确，易证当直线AB的斜率不存在时，①也正确；由抛物线的图形可知，AB⊥x轴时，S△AOB取最小值，所以S△AOBmin＝eq\f(1,2)×2p|y1－y2|＝4p2，所以②正确；③不正确．答案：①②10解：(1)若直线的斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y2＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0.))直线x＝0与抛物线只有一个公共点(0,0)．(2)若直线的斜率存在，设为k，则过点P(0,1)的直线方程为y＝kx＋1.由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x))消去y，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.当k＝0时，则得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1.))即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；当k≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，所以k＝eq\f(1,2).所以直线方程为y＝eq\f(1,2)x＋1.综上所述，所求的直线方程为x＝0，y＝1，y＝eq\f(1,2)x＋1.11解：设抛物线上的点B，C关于直线y＝kx＋3对称，直线BC的方程为x＝－ky＋m，代入y2＝4x，得y2＋4ky－4m设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，则y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－2k，x0＝eq\f(－ky1＋y2＋2m,2)＝2k2＋m.由于点M(x0，y0)在直线y＝kx＋3上，所以－2k＝k(2k2＋m)＋3，所以m＝－eq\f(2k3＋2k＋3,k).又由于直线BC与抛物线交于不同两点，所以Δ＝16k2＋16m>0，把m代入化简，得eq\f(k3＋2k＋3,k)<0，即eq\f(k＋1k2－k＋3,k)<0，解得－1<k<0.12解：设△AOB是抛物线的内接直角三角形，直角的顶点是O，边AO所在直线的方程是y＝x，则边OB所在直线的方程是y＝－x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px，))