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温馨提示:此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调整合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十)求曲线的方程(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知动点P到点(1,-2)的距离为3,则动点P的轨迹方程是()A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=9C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=3【解析】选B.设P(x,y),由题设得(x-1所以(x-1)2+(y+2)2=9.2.已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-3,0),B(3,0),顶点C的轨迹是()A.一条直线 B.一条直线去掉一点C.一个点 D.两个点【解析】选B.到两定点距离相等的点的轨迹为两点连线的垂直平分线.留意当点C与A,B共线时,不符合题意,应去掉.3.(2022·临沂高二检测)在△ABC中,若B,C的坐标分别是(-2,0),(2,0),中线AD的长度是3,则A点轨迹方程是()A.x2+y2=3 B.x2+y2=4C.x2+y2=9(y≠0) D.x2+y2=9(x≠0)【解析】选C.易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因△ABC中,A,B,C三点不共线,所以y≠0.所以选C.【变式训练】一动点到y轴的距离比到点(2,0)的距离小2,则此动点的轨迹方程为.【解析】设动点为P(x,y),则由条件得:(x-2)2当x≥0时,y2=8x;当x<0时,y=0.所以动点的轨迹方程为y2=8x(x≥0)或y=0(x<0).答案:y2=8x(x≥0)或y=0(x<0)4.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC→=αOA→+βOB→,其中α,A.3x+2y-11=0 B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0 D.x+2y-5=0【解题指南】利用向量的坐标运算,建立方程组,把α,β用动点坐标(x,y)表示后代入α+β=1,整理即可得出点C的轨迹方程或依据OC→=αOA→+βOB→及α+β=1,用【解析】选D.设C(x,y),由于OC→=αOA→所以(x,y)=α(3,1)+β(-1,3),所以(x,y)=(3α-β,α+3β),得x=3α-β,y=α+3β,由于α+β=1,所以3x+y10+整理得x+2y-5=0.【一题多解】选D.由OC→=αOA→+βOB→=α(3,1)+(1-α)(-1,3)=(3α,α)+(α-1,3-3α)=(4所以x=4α-1,y=3-2α,消去5.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若RA→=A.y=-2x B.y=2xC.y=2x-8 D.y=2x+4【解析】选B.由RA→=设P(x,y),R(x1,y1),由RA→=AP→,得(1-x得1-x1=x-1,-6.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP→=2PA→,且A.3x2+32y2B.3x2-32y2C.32x2-3y2D.32x2+3y2【解析】选D.设A(x0,0),B(0,y0),则BP→=(x,y-y0),PA由于BP→=2所以(x,y-y0)=2(x0-x,-y),所以x=2x因此A点坐标为32又由于点Q与点P关于y轴对称,所以Q(-x,y),由OQ→·AB→即32x2+3y2又P点在第一象限,所以x>0,y>0.故选D.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2022·温州高二检测)已知点M到定点F(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距离的比是常数12,设点M的轨迹为曲线C,则曲线C的轨迹方程是【解析】设点M(x,y),则据题意有(x-1)2则4[(x-1)2+y2]=(x-4)2,即3x2+4y2=12,所以x24+故曲线C的方程为x24+答案:x24+8.(2022·珠海高二检测)动点P与平面上两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率的积为定值-12,则动点P的轨迹方程为【解析】设P(x,y),由题意知,x≠±2,kAP=yx+kBP=yx-2,由条件知kAP·kBP=-所以yx+2×yx-整理得x2+2y2-2=0(x≠±2).答案:x2+2y2-2=0(x≠±2)【误区警示】解答本题时简洁漏掉“x≠±2”这个条件.这是由于忽视了直线斜率的存在性所导致.所以做题时理解要到位,避开因隐含条件未挖掘出来而导致错误发生.9.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB,切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为.【解析】如图.|PA|=|PB|,连接PO.则∠OPB=30°.由于|OB|=1.所以|PO|=2.所以P点的轨迹是以O为圆心以2为半径的圆,即x2+y2=4.答案:x2+y2=4三、解答题(每小题10分,共20分)10.(2022·唐山高二检测)设点P是圆x2+y2=4上任意一点,由点P向x轴作垂线PP0,垂足为P0,且MP0→【解析】设点M(x,y),P(x0,y0),则由题意知P0(x0,0).由MP0→=(x0-x,-y),PP0→=(0,-y0),且MP0→所以x0-x=0,又x02+所以x2+43y2所以,点M的轨迹C的方程为x24+【变式训练】若长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,动点C(x,y)满足AC→=2【解析】设A,B两点的坐标分别为(a,0),(0,b),则AC→=(x-a,y),由于AC→=2所以x-a=-2x,y=2b-2y,又由于|AB|=3,所以a2+b2=9,即9x2+94y2=9,即x2+y故动点C的轨迹方程为x2+y211.(2021·陕西高考改编)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.【解题指南】由弦长的一半、半径和弦心距构成直角三角形列出方程,化简后得出轨迹C的方程.【解析】A(4,0),设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图象知ME=MN2,CA2=CM2=ME2+EC2⇒(x-4)2+y2=42+x2⇒y(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2022·长沙高二检测)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足|MN→|·|MP→|+A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x【解析】选B.依题意可得,4(x+2)22.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-3=0对称的曲线方程为()A.f(x-3,y)=0 B.f(y+3,x)=0C.f(y-3,x+3)=0 D.f(y+3,x-3)=0【解题指南】求对称曲线上任意一点关于直线x-y-3=0的点的坐标(x′,y′),又(x′,y′)满足方程f(x,y)=0,由此可得对称曲线方程.【解析】选D.设P′为对称曲线上任意一点,其坐标为(x,y),它关于直线x-y-3=0对称点的坐标为(x′,y′),依题意有y-y'x-x'又(x′,y′)适合方程f(x,y)=0,故所求对称曲线方程为f(y+3,x-3)=0,故选D.3.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则Q点的轨迹方程是()A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0【解析】选D.设Q(x,y),则P为(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.【举一反三】若题中直线方程和点的坐标不变,其他条件改为“Q是PM的中点”,则结论如何?【解析】设Q(x,y),P(x0,y0),则x=x0-12所以x0=2x+1,y0=2y-2.由于点P在直线2x-y+3=0上,所以2(2x+1)-(2y-2)+3=0.整理得4x-2y+7=0,即点Q的轨迹方程为4x-2y+7=0.4.(2022·哈尔滨高二检测)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于13()A.x2-3y2=-2 B.x2-3y2=-2(x≠±1)C.x2-3y2=2 D.x2-3y2=2(x≠±1)【解析】选B.设P(x,y),由于点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以B(1,-1).kPA=y-1x+1(x≠-1),kPB=y+1由于kPA·kPB=13,所以y-1x+1·y整理得x2-3y2=-2(x≠±1).【变式训练】定长为6的线段,其端点分别在x轴,y轴上移动,则AB中点M的轨迹方程是()A.x2+y2=9 B.x+y=6C.2x2+y2=12 D.x2+2y2=12【解析】选A.设M点坐标为(x,y),A(0,y0),B(x0,0),由于M为AB中点,所以x=得x0所以(2x-0整理得:x2+y2=9.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2022·成都高二检测)如图,动点M和两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,设动点M的轨迹为C,则轨迹C的方程为.【解析】设M的坐标为(x,y),明显有x>0,且y≠0,当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,±3),当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=2tan∠MAB将tan∠MBA=y2-x,tan∠MAB=y化简可得3x2-y2-3=0,而点(2,±3)在曲线3x2-y2-3=0上,综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1).答案:3x2-y2-3=0(x>1)6.已知sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,则点P(a,b)的轨迹方程为.【解题指南】依据sinθ,cosθ是方程x2-ax+b=0的两根,建立a,b与sinθ,cosθ的关系,再通过消参,消去sinθ,cosθ得到a,b的关系式.【解析】由根与系数的关系知sin由①2-②×2得a2-2b=1.由于a=sinθ+cosθ=2sinθ+所以-2≤a≤2,b=12sin2θ所以-12≤b≤1所以点P的轨迹方程为:a2=2b+12(-2≤a答案:a2=2b+12(-2≤x【学问拓展】参数法的定义及消参的方法(1)参数法的定义求曲线方程时,若x,y的关系不明显或难以查找,可借助中间量(即参数)使x和y建立起联系,然后再从式子中消去参数得到曲线方程,这种方法叫做参数法求曲线的方程.(2)消去参数的常用方法①代入法:从所给的一个式子中解出所要消的参数,代入另外的式子,从而消去参数;②加、减、乘、除法:通过对所给式子乘以某一常数后,再借助于加、减、乘、除,消去参数;③平方法:通过平方,整体代入消去参数.三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2022·南京高二检测)△ABC的顶点B,C的坐标分别为(0,0),(4,0),AB边上的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程.【解析】设A的坐标为(x,y),AB的中点D的坐标为(x1,y1).由中点坐标公式可知x1由于AB边上
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