【创新设计】2020-2021学年高中数学人教A版必修三分层训练2.1.3-分层抽样

2.1.3分层抽样一、基础达标1．(2021·洛阳高一检测)某学校高一、高二、高三三个班级共有同学3500人，其中高三同学数是高一同学数的两倍，高二同学数比高一同学数多300人，现在按eq\f(1,100)的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一同学数为()A．8B．11C．16D．10答案A解析若设高三同学数为x，则高一同学数为eq\f(x,2)，高二同学数为eq\f(x,2)＋300，所以有x＋eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋300＝3500，解得x＝1600.故高一同学数为800，因此应抽取高一同学数为eq\f(800,100)＝8.2．在1000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，假如用分层抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球 ()A．33个 B．20个 C．5个 D．10个答案C解析eq\f(100,1000)＝eq\f(x,50)，则x＝5.3．为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必需要求()A．每层不等可能抽样B．每层抽取的个体数相等C．每层抽取的个体可以不一样多，但必需满足抽取ni＝neq\f(Ni,N)(i＝1，2，…，k)个个体．(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体的容量)D．只要抽取的样本容量肯定，每层抽取的个体数没有限制答案C解析A不正确．B中由于每层的容量不肯定相等，每层抽同样多的个体数，明显从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B也不正确．C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确．D不正确．4．(2021·湖南高考)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝ ()A．9 B．10 C．12 D．13答案D解析依题意得eq\f(3,60)＝eq\f(n,120＋80＋60)，故n＝13.5．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．答案12解析设抽取男运动员人数为n，则eq\f(n,48)＝eq\f(21,48＋36)，解之得n＝12.6．将一个总体分为A、B、C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．答案20解析由题意可设A、B、C中个体数分别为5k，3k，2k，所以C中抽取个体数为eq\f(2k,5k＋3k＋2k)×100＝20.7．某市的3个区共有高中同学20000人，且3个区的高中同学人数之比为2∶3∶5，现要从全部同学中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中同学的视力状况，试写出抽样过程．解用分层抽样来抽取样本，步骤是：(1)分层：按区将20000名高中生分成三层；(2)确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的同学数目分别是40、60、100.(3)在各层分别按随机数法抽取样本；(4)综合每层抽样，组成样本．二、力量提升8．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查它们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是()A．简洁随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样答案D解析总体总人数为28＋54＋81＝163(人)．样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，考虑用分层抽样．若按36∶163取样本，无法得到整解．故考虑先剔除1人，抽取比例变为36∶162＝2∶9.则中年人取54×eq\f(2,9)＝12(人)，青年人取81×eq\f(2,9)＝18(人)，先从老年人中剔除1人，老年人取27×eq\f(2,9)＝6(人)，组成容量为36的样本．9．100个个体分成10组，编号后分别为第一组：00，01，02，03，…09；其次组：10，11，12，…，19；……；第十组：90，91，92，…，99.现在从第k组中抽取其号码的个位数字与(k＋m－1)的个位数字相同的个体，其中m是第一组随机抽取的号码的个位数字，则当m＝5时，从第七组中抽取的号码是()A．71 B．61 C．75 D．65答案B解析第七组中的10个号码分别为60，61，62，63，64，65，66，67，68，69，我们会发觉十位数字都是6，只需确定个位数字即可．由题设可知个位数字与7＋5－1＝11的个位数字相同，故被抽取的号码是61.10．有甲、乙两种产品共120件，现按肯定的比例用分层抽样的方法共抽取10件进行产品质量调查，假如所抽取的甲产品的数量是乙产品的2倍还多1件，那么甲、乙产品的总件数分别为________、________．答案8436解析设抽取乙产品x件，则抽取甲产品2x＋1件，由x＋(2x＋1)＝10，得x＝3.∴2x＋1＝7.∴共有甲产品120×eq\f(7,10)＝84(件)，乙产品120×eq\f(3,10)＝36(件)．11．某公司共有职工302名，其中老年职工30名，中年职工150名，青年职工122名．为调查他们对工资改革的看法，从中抽取一个60人的样本．请写出抽样过程．解①把122名青年职工编号，利用随机数表法剔除2个个体．②由于eq\f(60,300)＝eq\f(1,5)，30×eq\f(1,5)＝6，150×eq\f(1,5)＝30，120×eq\f(1,5)＝24，所以可将老年职工30名，中年职工150名，青年职工120名编号后，运用随机数表法，分别从中抽取6，30，24个个体，合在一起即为要抽取的60人的样本．三、探究与创新12．某校有在校高中生共1600人，其中高一班级同学520人，高二班级同学500人，高三班级同学580人．假如想通过抽查其中的80人来调查同学的消费状况，考虑到不同班级同学的消费状况有明显差别，而同一班级内消费状况差异较小，问应接受怎样的抽样方法？高三班级同学中应抽查多少人？解因不同班级的同学消费状况有明显差别，所以应接受分层抽样．由于520∶500∶580＝26∶25∶29，于是将80分成比例为26∶25∶29的三部分．设三部分各抽个体数分别为26x，25x，29x，由26x＋25x＋29x＝80，得x＝1.所以高三班级同学中应抽查29人．13．某中学进行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名学校生、4000名高中生中作问卷调查，假如要在全部答卷中抽出120份用于评估．(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3000份学校生的答卷中抽取一个容量为48的样本，假如接受简洁随机抽样，应如何操作？(3)为了从4000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？解(1)由于这次活动对教职员工、学校生和高中生产生的影响不会相同，所以应当实行分层抽样的方法进行抽样．由于样本容量＝120，总体个数＝500＋3000＋4000＝7500，则抽样比：eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8，3000×eq\f(2,125)＝48，4000×eq\f(2,125)＝64，所以在教职员工、学校生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.分层抽样的步骤是：①分层：分为教职员工、学校生、高中生，共三层．②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、学校生、高中生中抽取的个体数分别是8，48，64.③各层分别按简洁随机抽样或系统抽样的方法抽取样本．④综合每层抽样，组成样本．这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．(2)由于简洁随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法．假如用抽签法，要作3000个号签，费时费劲，因此接受随机数表法抽取样本，步骤是：①编号：将3000份答卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000.②在随机数表上随机选取一个起始位置．③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，假如读取的4位数大于3000，则去掉，假如遇到相同号码则只取一个，这样始终到取满48个号码为止．(3)由于4000÷64＝62.5不是整数，则应先使用简