【创新设计】2021高考数学(四川专用-理科)二轮专题整合：1-2-3平面向量

第3讲平面对量一、选择题1．(2022·重庆卷)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝ A．－eq\f(9,2) B．0C．3 D．eq\f(15,2)解析由于2a－3b＝(2k－3，－6)，且(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3，选C.答案C2．(2022·河南十所名校联考)在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若eq\o(CM,\s\up8(→))＝－2eq\o(CA,\s\up8(→))＋λeq\o(CB,\s\up8(→))，则λ＝ ()．A．1 B．2C．3 D．4解析由点A，B，M三点共线知：－2＋λ＝1，所以λ＝3.答案C3．(2022·吉林省试验中学模拟)在△ABC中，D是AB中点，E是AC中点，CD与BE交于点F，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，eq\o(AF,\s\up8(→))＝xa＋yb，则(x，y)为 ()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,2)))解析由题意知点F为△ABC的重心，设H为BC中点，则eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AH,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，所以x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(1,3).答案C4．(2022·龙岩期末考试)在平面直角坐标系中，菱形OABC的两个顶点为O(0,0)，A(1,1)，且eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝1，则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))等于 ()．A．－1 B．1C.eq\r(2) D．eq\r(3)解析依题意，|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OC,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))||eq\o(OC,\s\up8(→))|cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝eq\f(1,2)，∠AOC＝eq\f(π,3)，则|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(π,3)，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AC,\s\up8(→))|cos∠BAC＝1.答案B5．(2022·浙江卷)记max{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥y，,y，x<y，))min{x，y}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y，x≥y，,x，x<y，))设a，b为平面对量，则 ()．A．min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}B．min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}C．max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2D．max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2解析对于min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}，相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较，它们的大小关系不定，因此A、B均错；而|a＋b|，|a－b|中的较大者与|a|，|b|可构成非锐角三角形的三边，因此有max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，因此选D.答案D二、填空题6．(2022·山东卷)在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝tanA，当A＝eq\f(π,6)时，△ABC的面积为________．解析由A＝eq\f(π,6)，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝tanA，得|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·cosA＝tanA，即|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\f(2,3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|·sinA＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).答案eq\f(1,6)7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足eq\o(BM,\s\up8(→))＝2eq\o(MA,\s\up8(→))，则eq\o(CM,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝________.解析法一如图建立平面直角坐标系．由题意知：A(3,0)，B(0,3)，设M(x，y)，由eq\o(BM,\s\up8(→))＝2eq\o(MA,\s\up8(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝23－x，,y－3＝－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝1，))即M点坐标为(2,1)，所以eq\o(CM,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝(2,1)·(0,3)＝3.法二eq\o(CM,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝(eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→)))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))2＋eq\o(CB,\s\up8(→))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BA,\s\up8(→))))＝eq\o(CB,\s\up8(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up8(→))·(eq\o(CA,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up8(→))2＝3.答案38．(2022·杭州质量检测)在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝6，则|eq\o(OG,\s\up8(→))|的最小值是________．解析如图，在△AOB中，eq\o(OG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))，又eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝|eq\o(OA,\s\up8(→))||eq\o(OB,\s\up8(→))|·cos60°＝6，∴|eq\o(OA,\s\up8(→))||eq\o(OB,\s\up8(→))|＝12，∴|eq\o(OG,\s\up8(→))|2＝eq\f(1,9)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)))2＝eq\f(1,9)(|eq\o(OA,\s\up8(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up8(→))|2＋2eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→)))＝eq\f(1,9)(|eq\o(OA,\s\up8(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up8(→))|2＋12)≥eq\f(1,9)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2|\o(OA,\s\up8(→))||\o(OB,\s\up8(→))|＋12))＝eq\f(1,9)×36＝4(当且仅当|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|Oeq\o(B,\s\up8(→))|时取等号)．∴|eq\o(OG,\s\up8(→))|≥2，故|eq\o(OG,\s\up8(→))|的最小值是2.答案2三、解答题9．(2021·江苏卷)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.(1)若|a－b|＝eq\r(2)，求证：a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．(1)证明由|a－b|＝eq\r(2)，即(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2，整理得cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，即a·b＝0，因此a⊥b.(2)解由已知条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosα＋cosβ＝0，,sinα＋sinβ＝1，))cosβ＝－cosα＝cos(π－α)，由0<α<π，得0<π－α<π，又0<β<π，故β＝π－α.则sinα＋sin(π－α)＝1，即sinα＝eq\f(1,2)，故α＝eq\f(π,6)或α＝eq\f(5π,6).当α＝eq\f(π,6)时，β＝eq\f(5π,6)(舍去)，当α＝eq\f(5π,6)时，β＝eq\f(π,6).所以，α，β的值分别为eq\f(5π,6)，eq\f(π,6).10．已知向量m＝(sinx，－1)，n＝(cosx,3)．(1)当m∥n时，求eq\f(sinx＋cosx,3sinx－2cosx)的值；(2)已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，eq\r(3)c＝2asin(A＋B)，函数f(x)＝(m＋n)·m，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,8)))的取值范围．解(1)由m∥n，可得3sinx＝－cosx，于是tanx＝－eq\f(1,3)，∴eq\f(sinx＋cosx,3sinx－2cosx)＝eq\f(tanx＋1,3tanx－2)＝eq\f(－\f(1,3)＋1,3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))－2)＝－eq\f(2,9).(2)在△ABC中A＋B＝π－C，于是sin(A＋B)＝sinC，由正弦定理，得eq\r(3)sinC＝2sinAsinC，∵sinC≠0，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).又△ABC为锐角三角形，∴A＝eq\f(π,3)，于是eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2).∵f(x)＝(m＋n)·m＝(sinx＋cosx,2)·(sinx，－1)＝sin2x＋sinxcosx－2＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(1,2)sin2x－2＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－eq\f(3,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,8)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,8)))－\f(π,4)))－eq\f(3,2)＝eq\f(\r(2),2)sin2B－eq\f(3,2).由eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2)，得eq\f(π,3)<2B<π，∴0<sin2B≤1，－eq\f(3,2)<eq\f(\r(2),2)sin2B－eq\f(3,2)≤eq\f(\r(2),2)－eq\f(3,2)，即f(B＋eq\f(π,8))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(2),2)－\f(3,2))).11．(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)若eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，求|eq\o(OP,\s\up8(→))|；(2)设eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋neq\o(AC,\s\up8(→))(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解(1)法一∵eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝0，又eq\o(PA,\s\up8(→))＋eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))＝(1－x,1－y)＋(2－x,3－y)＋(3－x,2－y)＝(6－3x,6－3y)，∴eq\b\lc\{\