《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第九章-第4讲-随机事件的概率

第4讲随机大事的概率1．概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观看某一大事A是否毁灭，称n次试验中大事A毁灭的次数nA为大事A毁灭的频数，称大事A毁灭的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)为大事A毁灭的频率．(2)对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估量概率P(A)．2．大事的关系与运算定义符号表示包含关系假如大事A发生，则大事B确定发生，这时称大事B包含大事A(或称大事A包含于大事B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称大事A与大事B相等A＝B并大事(和大事)若某大事发生当且仅当大事A发生或大事B发生，则称此大事为大事A与大事B的并大事(或和大事)A∪B(或A＋B)交大事(积大事)若某大事发生当且仅当大事A发生且大事B发生，则称此大事为大事A与大事B的交大事(或积大事)A∩B(或AB)互斥大事若A∩B为不行能大事，那么称大事A与大事B互斥A∩B＝∅对立大事若A∩B为不行能大事，A∪B为必定大事，那么称大事A与大事B互为对立大事A∩B＝∅且A∪B＝Ω3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．(2)必定大事的概率：P(A)＝1．(3)不行能大事的概率：P(A)＝0．(4)概率的加法公式假如大事A与大事B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立大事的概率若大事A与大事B互为对立大事，则A∪B为必定大事．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．[做一做]1．若A、B为互斥大事，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________．答案：0.32．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为________．答案：0.741．辨明两个易误点(1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．(2)对立大事是互斥大事，是互斥中的特殊状况，但互斥大事不愿定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．集合方法推断互斥大事与对立大事(1)由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则大事互斥．(2)大事A的对立大事A所含的结果组成的集合，是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集．[做一做]3．甲：A1，A2是互斥大事；乙：A1，A2是对立大事，那么()A．甲是乙的充分但不必要条件B．甲是乙的必要但不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：选B.两个大事是对立大事，则它们确定互斥，反之不愿定成立．4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参与演讲竞赛，大事“至少有一名女生”与大事“全是男生”()A．是互斥大事，不是对立大事B．是对立大事，不是互斥大事C．既是互斥大事，也是对立大事D．既不是互斥大事与不是对立大事答案：Ceq\a\vs4\al(考点一)__随机大事的关系______________________一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设大事A表示向上的一面毁灭奇数点，大事B表示向上的一面毁灭的点数不超过3，大事C表示向上的一面毁灭的点数不小于4，则()A．A与B是互斥而非对立大事B．A与B是对立大事C．B与C是互斥而非对立大事D．B与C是对立大事[解析]A∩B＝{毁灭点数1或3}，大事A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故大事B，C是对立大事．[答案]D[规律方法]对互斥大事要把握住不能同时发生，而对于对立大事除不能同时发生外，其并大事应为必定大事，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把全部试验结果写出来，看所求大事包含哪些试验结果，从而断定所给大事的关系．1.某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记大事A为“只订甲报纸”，大事B为“至少订一种报纸”，大事C为“至多订一种报纸”，大事D为“一种报纸也不订”．推断下列每对大事是不是互斥大事；假如是，再推断它们是不是对立大事．(1)A与C；(2)B与D；(3)B与C；(4)C与D.解：(1)由于大事C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即大事A与大事C有可能同时发生，故A与C不是互斥大事．(2)大事B“至少订一种报纸”与大事D“一种报纸也不订”是不行能同时发生的，故B与D是互斥大事．由于大事B不发生可导致大事D确定发生，且大事D不发生会导致大事B确定发生，故B与D还是对立大事．(3)大事B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，大事C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个大事可能同时发生，故B与C不是互斥大事．(4)由(3)的分析，大事D“一种报纸也不订”是大事C的一种可能，即大事C与大事D有可能同时发生，故C与D不是互斥大事．eq\a\vs4\al(考点二)__随机大事的频率与概率________________(2022·高考陕西卷)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．[解](1)设A表示大事“赔付金额为3000元”，B表示大事“赔付金额为4000元”，以频率估量概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估量概率得P(C)＝0.24.[规律方法]频率是个不确定的数，在确定程度上频率可以反映大事发生的可能性大小，但无法从根本上刻画大事发生的可能性大小，但从大量重复试验中发觉，随着试验次数的增多，大事发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．2.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中10环次数m8194493178453击中10环频率eq\f(m,n)(1)计算表中击中10环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.90.eq\a\vs4\al(考点三)__互斥大事、对立大事的概率(高频考点)__随机大事的频率留意对互斥大事和对立大事的概率的考查，以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目．高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度：(1)依据互斥大事有一个发生求概率；(2)利用对立大事求概率．(1)(2021·太原模拟)抛掷一颗骰子，观看掷出的点数，设大事A为毁灭奇数点，大事B为毁灭2点，已知P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，则毁灭奇数点或2点的概率是________．(2)(2021·南通模拟)已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．[解析](1)由题意知抛掷一颗骰子毁灭奇数点和毁灭2点是互斥大事，由于P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(1,6)，所以依据互斥大事的概率公式得到毁灭奇数点或2点的概率P＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).(2)设“命中9环以上(含9环)”为大事A，“命中8环”为大事B，“命中7环”为大事C，“命中6环以下(含6环)”为大事D，则D与(A＋B＋C)对立，又P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.由于A，B，C三个大事互斥，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，所以P(D)＝1－0.8＝0.2.[答案](1)eq\f(2,3)(2)0.2[规律方法](1)推断两个大事是否为互斥大事，就是推断它们能否同时发生，若不能同时发生，则是互斥大事，不然就不是互斥大事．若两个大事互斥，且必有一个发生，则其为对立大事．(2)互斥大事的概率加法公式必需在各个大事彼此互斥的前提下使用，即A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；A，B对立，P(A)＝1－P(B)．3.某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？解：(1)设中靶为大事A，则不中靶为eq\x\to(A).则由对立大事的概率公式可得，P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.(2)设命中10环为大事B，命中9环为大事C，命中8环为大事D，由题意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.记至少命中8环为大事E，则P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.记至少命中9环为大事F，则P(F)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21＝0.48.故不够9环为eq\x\to(F)，则P(eq\x\to(F))＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.

方法思想——正难则反思想求对立大事的概率某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)[解](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为eq\f(1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10,100)＝1.9(分钟)．(2)记A为大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，P(A2)＝eq\f(10,100)＝eq\f(1,10).P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(1,10)＝eq\f(7,10).故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为eq\f(7,10).[名师点评]求某些较简洁的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的大事的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此大事A的对立大事A的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解．本题第(2)问利用对立大事求解，计算相对削减．某工厂的产品分为合格品和次品两类，而合格品又分为一级品，二级品，三级品三档，在正常生产的条件下，毁灭“一级品”的概率为0.5，毁灭“二级品或三级品”的概率为0.45，求毁灭次品的概率．解：设A＝{毁灭一级品}，B＝{毁灭二级品或三级品}，C＝{毁灭合格品}，D＝{毁灭次品}，由于C＝A∪B且A∩B＝∅(互斥)，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.45＝0.95，P(D)＝1－P(C)＝1－0.95＝0.05.故毁灭次品的概率为0.05.1．(2021·河南安阳模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设大事A＝{抽到一等品}，大事B＝{抽到二等品}，大事C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则大事“抽到的产品不是一等品”的概率为()A．0.7 B．0.65C．0.35 D．0.5解析：选C.“抽到的产品不是一等品”与大事A是对立大事，∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.2．设条件甲：“大事A与大事B是对立大事”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若大事A与大事B是对立大事，则A∪B为必定大事，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，大事A：“至少毁灭一次正面”，大事B：“3次毁灭正面”，则P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立大事．3．从3个红球、2个白球中随机取出2个球，则取出的2个球不全是红球的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(3,10)C.eq\f(7,10) D.eq\f(3,5)解析：选C.“取出的2个球全是红球”记为大事A，则P(A)＝eq\f(3,10).由于“取出的2个球不全是红球”为大事A的对立大事，所以其概率为P(A)＝1－P(A)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10).4．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，都是白子的概率是eq\f(12,35).则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.eq\f(1,7) B.eq\f(12,35)C.eq\f(17,35) D．1解析：选C.设“从中取出2粒都是黑子”为大事A，“从中取出2粒都是白子”为大事B，“任意取出2粒恰好是同一色”为大事C，则C＝A∪B，且大事A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即任意取出2粒恰好是同一色的概率为eq\f(17,35).5．掷一个骰子的试验，大事A表示“小于5的偶数点毁灭”，大事B表示“小于5的点数毁灭”，则一次试验中，大事A＋B发生的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(5,6)解析：选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，∴P(B)＝1－P(B)＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3).∵B表示“毁灭5点或6点”的大事，因此大事A与B互斥，从而P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).6．某城市2022年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为略微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为P＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)7．假如大事A与B是互斥大事，且大事A∪B发生的概率是0.64，大事B发生的概率是大事A发生的概率的3倍，则大事A发生的概率为________．解析：设P(A)＝x，P(B)＝3x，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.∴P(A)＝x＝0.16.答案：0.168．抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6)，大事A表示“朝上一面的数是奇数”，大事B表示“朝上一面的数不超过2”，则P(A＋B)＝________．解析：将大事A＋B分为：大事C“朝上一面的数为1，2”与大事D“朝上一面的数为3，5”，则C，D互斥，且P(C)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,3)，∴P