《金版学案》2022届高考数学理科一轮复习课时作业-2-15用导数解决生活中的优化问题-

第十五节用导数解决生活中的优化问题题号1234答案1.把长100cm的铁丝分成两段，各围成一个正方形，当两正方形面积之和最小时，两段长分别为()A．20cm，80cmB．40cm，60cmC．50cm，50cmD．30cm，70cm解析：设一段长为x，则另一段长为100－x，∴S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100－x,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)[x2＋(100－x)2]＝eq\f(1,16)(2x2－200x＋10000)．令S′＝0，得eq\f(1,16)(4x－200)＝0，∴x＝50.故选C.答案：C2．已知一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱的侧面积最大值为()A．2πr2B．3πr2C．4πr2D.eq\f(1,2)πr2解析：设圆柱高h,圆柱底半径x，则(2x)2＋h2＝(2r)2；S侧＝2πxh＝2πxeq\r(4r2－4x2)，令y＝S侧2＝16π2(－x4＋r2x2)，y′＝0得唯一极值点x＝eq\f(\r(2),2)r，所以h＝eq\r(2)r.所以S侧最大值2πr2，故选A.答案：A3．进货原价为80元的商品400个，按90元一个售出时，可全部卖出．已知这种商品每个涨价一元，其销售数就削减20个，所获得利润最大时售价应为()A．90元B．95元C．100元D．105元解析：设售价为90＋x元时利润为y，此时售量为400－20x.y＝f(x)＝(90＋x)(400－20x)－(400－20x)×80＝20(20－x)(10＋x)，求导得：y′＝20(－2x＋10)，令y′＝0，得x＝5，所以当x＝5时，ymax＝4500(元)，即售价为95元时获利最大，其最大值为4500元，故选B.答案：B4．用长为90cm、宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图)，当容器的容积最大时，该容器的高为()A．8cmB．9cmC．10cmD．12cm解析：设容器的高为xcm，容器的容积为V(x)cm3，则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，∵V′(x)＝12x2－552x＋4320，由V′(x)＝12x2－552x＋4320＝0⇒x2－46x＋360＝0，解得x1＝10，x2＝36(舍去)．∵当0<x<10时，V′(x)>0；当10<x<24时，V′(x)<0，∴当x＝10时，V(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，24))内有唯一极值，且取极大值．∴容器高x＝10cm时，容器容积V(x)最大．故选C.答案：C5．有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，当其下端离开墙脚1.4m时，梯子上端下滑的速度为____________．解析：设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s＝5－eq\r(25－9t2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤t≤\f(5,3)))，当下端移开1.4m时，t0＝eq\f(1.4,3)＝eq\f(7,15)，又s′＝－eq\f(1,2)(25－9t2)－eq\f(1,2)·(－9·2t)＝eq\f(9t,\r(25－9t2))，所以s′(t0)＝9×eq\f(7,15)×eq\f(1,\r(25－9×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,15)))\s\up12(2)))＝0.875(m/s)．答案：0.875m/s6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)．解析：如图为圆木的横截面，∵b2＋h2＝d2，∴bh2＝b(d2－b2)．设f(b)＝b(d2－b2)，∴f′(b)＝－3b2＋d2.令f′(b)＝0，由于b＞0，∴b＝eq\f(\r(3),3)d，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)d))上f′(b)＞0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)d，d))上，f′(b)＜0.∴函数f(b)在b＝eq\f(\r(3),3)d处取得极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝eq\f(\r(6),3)d.答案：eq\f(\r(6),3)d7．高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台．市场分析的结果表明，假如笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月销售量削减的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时，电脑企业的月利润是y元．(1)写出月利润y与x的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，可使得该公司的月利润最大？解析：(1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x)元/台，月销售量为a(1－x2)台，则y＝a(1－x2)[6000(1＋x)－4500]，即y＝1500a(－4x3－x2＋4x＋1)，0<x<1.(2)由(1)知y′＝1500a(－12x2－2x＋4)，令y′＝0，得6x2＋x－2＝0，解得x＝eq\f(1,2)或x＝－eq\f(2,3)(舍去)．当0<x<eq\f(1,2)时，y′>0；当eq\f(1,2)<x<1时，y′<0.故当x＝eq\f(1,2)时，y取得最大值．此时销售价为6000×eq\f(3,2)＝9000(元)．故笔记本电脑的销售价为9000元/台时，该公司的月利润最大．8．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点．已知AB＝3米，AD＝2米．(1)设AN＝x(单位：米)，要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求x的取值范围；(2)若x∈[3，4)(单位：米)，则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．解析：由于eq\f(DN,AN)＝eq\f(DC,AM)，则AM＝eq\f(3x,x－2)，故SAMPN＝AN·AM＝eq\f(3x2,x－2).(1)由SAMPN＞32得eq\f(3x2,x－2)＞32，由于x＞2，所以3x2－32x＋64＞0，即(3x－8)(x－8)＞0，从而2＜x＜eq\f(8,3)或x＞8，即x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))∪(8，＋∞)．(2)令y＝eq\f(3x2,x－2)，则y′＝eq\f(6x（x－2）－3x2,（x－2）2)＝eq\f(3x（x－4）,（x－2）2)，由于当x∈[3，4)时，y′＜0，所以函数y＝eq\f(3x2,x－2)在[3，4)上为单调递减函数，从而当x＝3时，y＝eq\f(3x2,x－2)取得最大值，即花坛AMPN的面积最大为27平方米，此时AN＝3米，AM＝9米．9．某商场估量2022年从1月起前x个月顾客对某种商品的需求总量P(x)(单位：件)与月份x的近似关系是：P(x)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*)．(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x月的销售量g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）－21x，1≤x<7，,\f(x2,ex)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2－10x＋96))，7≤x≤12，))(x∈N*)．(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝eq\f(1000ex－6,x)，该商场销售该商品，估量第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(参考数据：e6≈403)解析：(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39；当x≥2时，f(x)＝P(x)－P(x－1)＝eq\f(1,2)x(x＋1)(41－2x)－eq\f(1,2)(x－1)x(43－2x)＝－3x2＋42x.又f(1)＝－3×12＋42×1＝39，∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(2)h(x)＝q(x)·g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000ex－6（7－x），1≤x<7，,\f(1000,e6)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－10x2＋96x))，7≤x≤12，))h′(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3000ex－6（6－x），1≤x＜7，,\f(1000,e6)（x－8）（x－12），7≤x≤12，))(x∈N*)．∵当1≤x≤6时，h′(x