【全程复习方略】2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：3.8应-用-举-例

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十三)一、选择题1.线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200km,汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开头几小时后，两车的距离最小()（A）（B）1（C）（D）22.某水库大坝的外斜坡的坡度为，则坡角α的正弦值为()3.在△ABC中，A=60°，且最大边和最小边是方程x2-7x+11=0的两个根，则第三边长为()(A)2(B)3(C)4(D)54.（2021·广州模拟）据新华社报道，强台风“珍宝”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风、降雨给灾区带来严峻的灾难，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°的角，树干也倾斜为与地面成75°的角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()5.(2021·天津模拟)在△ABC中,角A，B,C所对应的边分别为a，b，c,若角A，B，C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC=()6.某爱好小组要测量电视塔AE的高度H（单位：m).如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值，算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,则H=()(A)100m(B)110m(C)124m(D)144m二、填空题7.（2021·揭阳模拟）若△ABC的面积为3，BC=2,C=60°，则边长AB的长度等于_______.8.某人站在60米高的楼顶A处测量不行到达的电视塔的高度，测得塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_______米.9.如图，在坡度确定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ=_______.三、解答题10.（2022·山东高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.（1）求证：a,b,c成等比数列.（2）若a=1,c=2，求△ABC的面积S.11.（2021·湛江模拟）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海疆被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ(其中sinθ=,0°＜θ＜90°)且与点A相距10海里的位置C.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）.（2）若该船不转变航行方向连续行驶，推断它是否会进入警戒水域，并说明理由.12.（力气挑战题）如图，摄影爱好者S在某公园A处，发觉正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为米（将眼睛距地面的距离SA按米处理）.（1）求摄影者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB.（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转.在彩杆转动的任意时刻，摄影者观看彩杆MN的视角∠MSN（设为θ）是否存在最大值？若存在，恳求出∠MSN取最大值时cosθ的值；若不存在，请说明理由.答案解析1.【解析】选C.如图所示，设过xh后两车距离为ykm，则BD=200-80x，BE=50x，∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos60°，整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5)，∴当x=时y2最小，即y最小.2.【思路点拨】坡角的正切值是坡度，故利用此关系可解.【解析】选B.由tanα=，得sinα=cosα，代入sin2α+cos2α=1，得sinα=.3.【解析】选C.由A=60°知△ABC中最大边和最小边分别为b,c，故b+c=7，bc=11.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=72-3×11=16,∴a=4.4.【解析】选A.如图，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°,∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，∴AO＝(米).5.【思路点拨】由角A，B，C成等差数列可得B，由正弦定理得A，从而得C，再用面积公式求解即可.【解析】选C.∵角A，B，C成等差数列,∴A+C=2B,∴B=60°.又a=1,b=,∴∴sinA=又∵a＜b,∴A＜B,∴A=30°,∴C=90°.∴S△ABC=【变式备选】在△ABC中三条边a，b，c成等比数列，且b=，B=，则△ABC的面积为()【解析】选C.由已知可得b2=ac，又b=，则ac=3,又B=，∴S△ABC=6.【思路点拨】用H，h表示AD，AB，BD后利用AD=AB+BD即可求解.【解析】选Ｃ.由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD，得解得H==124（m）.因此，算出的电视塔的高度H是124m.【方法技巧】测量高度的常见思路解决高度的问题主要是依据条件确定出所利用的三角形，精确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特殊留意高度垂直地面构成的直角三角形.7.【解析】由△ABC面积为3，得absin60°=3，得ab=4,又BC=a=2,故b=2,∴c2=a2+b2-2abcosC=4+12-2×2×2×=16-4，∴c=.答案：8.【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，由于∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,则AE＝在Rt△AEC中，CE＝AE·tan30°=(120+60)×=60+40,∴BC=CE+BE=60+40+60=120+40,所以塔高为(120+40)米.答案：120+409.【解析】在△ABC中，BC=在△BCD中，sin∠BDC==又∵cosθ=sin∠BDC，∴cosθ=-1.答案：-110.【思路点拨】（1）先利用切化弦，将已知式子化简，再利用和角公式，三角形内角和定理，正弦定理化成b2=ac.（2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形面积公式求解.【解析】(1)由已知得:sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC,sinBsin(A+C)=sinAsinC,sin2B=sinAsinC.由正弦定理可得：b2=ac，所以a,b,c成等比数列.(2)若a=1,c=2,则b2=ac=2,∴cosB=sinB=∴△ABC的面积S=11.【解析】（1）如图，AB=40，AC=10，∠BAC=θ,sinθ=.由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=由余弦定理得BC=所以船的行驶速度为（海里/小时）.(2)船会进入警戒水域.方法一：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B，C的坐标分别是B（x1,y1),C(x2,y2),BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ)=30,y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ)=20.所以过点B，C的直线l的斜率k==2，直线l的方程为y=2x-40.又点E(0,-55)到直线l的距离d=所以船会进入警戒水域.方法二：如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于Q.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC=从而sin∠ABC=在△ABQ中，由正弦定理得，AQ=由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中，PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×＜7.所以船会进入警戒水域.【变式备选】如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船马上前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（已知sin41°≈，角度精确到1°）?【解析】连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.所以BC=10.∵∴sin∠ACB=,∵∠ACB<90°,∴∠ACB≈41°.∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.12.【解析】（1）如图，作SC⊥OB于C,依题意∠CSB=30°,∠ASB=60°.又SA=,故在Rt△SAB中，可求得AB==3,即摄影者到立柱的水平距离AB为3米.在Rt△SCO中，SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan30°=,又BC=SA=，故OB=2,即立柱的高度OB为2米.（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系，连接SM,SN,设M(cosα,sinα)，α∈［0,2π),则N(-cosα,-sinα)，由(1)知S(3,-).故=(cosα-3,sinα+)，=(-cosα-3,-sinα