【全程复习方略】2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：6.4-基本不等式-

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十五)基本不等式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列不等式:①a2+1>2a;②a+bab≤2;③x2+1xA.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.①②不正确,③正确,x2+1x2+1=(x2+1)+12.(2021·福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2 B.C.-2,+∞ D.【解析】选D.22x+y≤2x+2y=1,所以2x+y≤14,即2x+y≤2-2,所以x+y3.(2021·济南模拟)设a>0,b>1,若a+b=2,则2a+1b-1A.3+22 B.6 C.42 D.22【解析】选A.由题可知a+b=2,a+b-1=1,所以2a+1b-1=2+2(b-1)a+ab-1+1≥3+22,当且仅当a=2-24.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是()A.-∞,14 C.-14,0 【解题提示】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故ab≤a+b225.若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是()A.[-1,2] B.[1,2]C.[-1,1] D.[-2,2]【解析】选A.由于(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0,所以x2+y2+z2≥xy+xz+yz,所以xy+yz+zx≤2;又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)≥0,所以xy+xz+yz≥-12(x2+y2+z2综上可得:-1≤xy+xz+yz≤2.故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2021·青岛模拟)下列命题中正确的是(填序号).①y=2-3x-4x(x>0)的最大值是2-43②y=sin2x+4si③y=2-3x-4x(x<0)的最小值是2-43【解析】①正确,由于y=2-3x-4x=2-3x+4x≤2-2当且仅当3x=4x,即x=2②不正确,令sin2x=t,则0<t≤1,所以g(t)=t+4t明显g(t)在(0,1]上单调递减,故g(t)min=g(1)=1+4=5.③不正确,由于x<0,所以-x>0,最小值为2+43,而不是2-43.答案:①【误区警示】此题简洁毁灭答案为①②,是由于做题时只看到了形式,而看不到基本不等式成立的条件而造成的.7.(2021·四川高考)已知函数f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=【解析】由题f(x)=4x+ax(x>0,a>0),依据基本不等式4x+ax≥4a,当且仅当4x=答案:368.已知x,y为正实数,3x+2y=10,3x+2y的最大值为【解析】由a+b2得3x+2y=23x+2y=25当且仅当x=53,y=5答案:25【一题多解】此题还可以这样解:设W=3x+2W2=3x+2y+23x·2y=10+23x·2y≤10+(3x)2所以W≤20=25,当且仅当x=53,y=5答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知a,b是正数,求证:a+1b【证明】由于a,b是正数,利用均值不等式,a+1b2b+=2ab+12ab+52≥2+所以a+1b10.(2021·淄博模拟)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽视不计)?【解析】方法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=kab依题意,即所求的a,b值使y最小.据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),所以b=30-a所以ab=a×30-a2+a=30=34-(a+2+64a+2)≤34-2(当a+2=64a+2此时解得a=6,b=3.答:当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.方法二:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=kab依题意,即所求的a,b值使y最小.据题意有:4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),即2b+ab+a=30,由于a+2b≥22ab所以30-ab=a+2b≥22ab所以ab+22ab-30≤由于a>0,b>0,所以0<ab≤18,当a=2b时取等号,ab达到最大值18.此时解得a=6,b=3.答:当a为6米,b为3米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.【加固训练】(1)若a>0,b>0,且ln(a+b)=0,求1a+1(2)求x(8-3x)(0<x<83)【解析】(1)依题意a+b=1,且a>0,b>0,所以1a+1b=a+ba+a≥2+2ba当且仅当a=b=12故1a+1(2)由于0<x<83,所以x(8-3x)=3x(8-3x)·13≤·13=当且仅当3x=8-3x,即x=43故x(8-3x)的最大值是163(20分钟40分)1.(5分)(2021·合肥模拟)已知a,b为正实数,函数y=2aex+b的图象经过点(0,1),则1a+1A.3+22 B.3-2 C.4 D.2【解析】选A.由已知得2a+b=1,又由于a,b为正实数,所以1a+1b=(2a+b)1a+≥3+22ab·当且仅当a=1-22,b=2【加固训练】(2021·山东高考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1yA.0 B.1 C.94 【解析】选B.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2.所以xyz=x≤12当且仅当xy=4yx,即x=2y时取等号,此时z=2y22x+1y-2z=22y+1y2y1-12y2.(5分)(2021·池州模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得aman=4a1,则1mA.32 B.53 C.94 【解析】选A.由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,所以q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去).由于aman=4a1所以2m+n-2=24所以1m+4n=1=1≥16(5+4)=3当且仅当nm=4故1m+4n的最小值等于3.(5分)(2021·福州模拟)正数a,b满足1a+9b=1,若不等式a+b≥-x2A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.(-∞,6] D.[6,+∞)【解析】选D.由于a>0,b>0,1a+9所以a+b=(a+b)1=10+ba+9ab≥由题意,得16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立,而x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.【加固训练】(2022·闵行模拟)若不等式(x+y)ax+4y≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为【解析】由于不等式(x+y)ax+4y≥令f(x)=(x+y)ax则f(x)=a+4+ayx+4xy≥a+4+2当且仅当xy=a所以a+4a+4≥16,解得a≥4,因此正实数a的最小值为4.答案:44.(12分)若a>0,b>0,且1a+1b=(1)求a3+b3的最小值.(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)由于a>0,b>0,且1a+1b=所以ab=1a+1b≥21当且仅当a=b=2时取等号.由于a3+b3≥2(ab)3≥22当且仅当a=b=2时取等号,所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)可知,2a+3b≥22=26ab≥43故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.5.(13分)(力气挑战题)为了降低能耗,新建住宅的屋顶和外墙都要求建筑隔热层.某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层,每厘米的隔热层建筑成本为6万元.该建筑物每年的能耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=k3x+5(0≤x≤(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总