【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-5

第十章10.5第5课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)答案D解析分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b>a的有3种取法，故所求大事的概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).2．羊村村长慢羊羊打算从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为()A.eq\f(3,10)B.eq\f(6,7)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)答案C解析从5只羊中任选两只，有Ceq\o\al(2,5)＝10种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)＝6种，故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为eq\f(C\o\al(1,2)·C\o\al(1,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).选C.3．袋中装有1个白球和3个黑球，从中摸出2个球正好一白一黑的概率是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)答案B解析白球记作A,3个黑球分别记为a，b，c.基本大事为Aa，Ab，Ac，ab，ac，bc，一白一黑共有3个基本大事．∴P＝eq\f(1,2).4．从甲地到乙地有A1、A2、A3共3条路线，从乙地到丙地有B1、B2共2条路线，其中A2B1是从甲到丙的最短路线，某人任选了1条从甲地到丙地的路线，它正好是最短路线的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)答案D解析基本大事，等可能大事的概率．n＝3×2＝6，m＝1.∴P(A)＝eq\f(1,6).5．投掷两颗骰子，得到其向上点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)答案C解析复数(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，则n2－m2＝0⇒m＝n，∴投掷两颗骰子得到点数相同的状况只有6种，∴所求概率为eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6)，故选C.6．某公司规定，每位职工可以在每周的7天中任选2天休息(如选定星期一、星期三)，其余5天工作，以后不再改动，则甲、乙、丙三位职工恰好同时工作、同时休息的概率是()A.eq\f(2,7)B.eq\f(1,21)C.eq\f(1,441)D.eq\f(1,147)答案C解析甲、乙、丙三位职工恰好同时工作、同时休息就是指三个人选定的休息日相同．由于每位职工从每周的7天中任选2天，有Ceq\o\al(2,7)种不同选法，所以甲、乙、丙三人一共有Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,7)·Ceq\o\al(2,7)种不同的选法，而他们选择的休息日相同的选法有C27，所以所求概率为P＝eq\f(C\o\al(2,7),C\o\al(2,7)·C\o\al(2,7)·C\o\al(2,7))＝eq\f(1,441).7．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A.eq\f(3,18)B.eq\f(4,18)C.eq\f(5,18)D.eq\f(6,18)答案C解析甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有eq\f(6×6,2)＝18(对)，而相互垂直的有5对，故依据古典概型概率公式得P＝eq\f(5,18).二、填空题8．2022年伦敦奥运会我国将派5名正式运动员和3名替补运动员参与体操竞赛，最终将有3人上场竞赛，其中甲、乙两名替补运动员均不上场竞赛的概率是__________.答案eq\f(5,14)解析由等可能大事知概率为eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,14).9．在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球的个数的概率为________．答案eq\f(2,7)解析依题意，白球的个数多于黑球的个数的状况有2白1黑、3白两种，其概率为eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,3)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(2,7).10．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5的下方的概率为________．答案eq\f(1,6)解析点P在直线x＋y＝5下方的状况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故P＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).11．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是________．答案eq\f(1,2)解析从五种不同属性物质中抽取两种共有如下所示10种状况．其中相克的(金，木)，(金，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)五种状况，故所求的大事的概率为1－eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).三、解答题12．为了对某课题进行争辩，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成争辩小组，有关数据见下表(单位：人)．高校相关人数抽取人数A18xB362C54y(1)求x，y；(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．解析(1)由题意可得，eq\f(x,18)＝eq\f(2,36)＝eq\f(y,54)，所以x＝1，y＝3.(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本大事有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．设选中的2人都来自高校C的大事为X，则X包含的基本大事有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3种．因此P(X)＝eq\f(3,10).故选中的2人都来自高校C的概率为eq\f(3,10).13．有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直径1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；(2)从一等品零件中，随机抽取2个．(ⅰ)用零件的编号列出全部可能的抽取结果；(ⅱ)求这2个零件直径相等的概率．解析(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个，设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为大事A，则P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)(ⅰ)一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，全部可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．(ⅱ)“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为大事B)的全部可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).14．一个袋中装有四个外形大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n<m＋2的概率．解析(1)从袋中随机取出两个球，其一切可能的结果组成的基本条件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的大事共有1和2,1和3两个．因此所求大事的概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(2)先从袋中随机取一个球，登记编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，登记编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．又满足条件n≥m＋2的大事为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n≥m＋2的大事的概率为P1＝eq\f(3,16).故满足条件n<m＋2的大事的概率为1－P1＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).15．从2009年夏季入学的高二新生开头，我省一般高中全面实施新课程．新课程的一个最大亮点就是实行课程选修制．现在某校开出语文、数学、英语三门学科的选修课各一门，假如有4位同学，每位同学选语文、数学、英语选修课的概率均为eq\f(1,3)，求：①有三位同学选择数学选修课的概率；②这4位同学中有几个人选数学选修课的概率最大．解析(1)设“有三位同学选择数学选修课”为大事A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(3,4)·2,34)＝eq\f(8,81).(2)设ξ的全部可能的取值为0,1,2,3,4由等可能性大事的概率公式可得：P(ξ＝0)＝(eq\f(2,3))4＝eq\f(16,81)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·23,34)＝eq\f(32,81)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·22,34)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·2,34)＝eq\f(8,81)，P(ξ＝4)＝(eq\f(1,3))4＝eq\f(1,81)所以这4位同学中只有1个同学选数学选修课的概率最大．拓展练习·自助餐1．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点分别为x，y，则log2xy＝1的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)答案C解析要使log2xy＝1，则要求2x＝y，∴毁灭的基本大事数为3，∴概率为eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).2．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“10”和“北京”的字块，假如婴儿能够排成“2010北京”或者“北京2010”，则他们就给婴儿嘉奖．假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到嘉奖的概率是(A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)答案C3．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000块大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀搅混在一起，任取一个，其两面涂有油漆的概率是()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,10)C.eq\f(3,25)D.eq\f(12,125)答案D解析每条棱上有8块，共8×12＝96块，∴P＝eq\f(96,1000)＝eq\f(12,125)4．三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．答案eq\f(1,3)解析BE1E2E2E1E1BE2E2BE2BE1E1B基本大事总数为6，所含基本大事个数为2，所以所求的概率是P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).老师备选题1．若随机从集合{2,22,23，…，210}中选出两个不同的元素a、b，则logab为整数的概率为__________．答案eq\f(17,90)解析a＝2时，有9个；a＝22时，b＝24或26或28或210，共4个；a＝24时，b＝28有1个；a＝23时，b＝26或29有2个；a＝25时，b＝210有1个；使logab为整数的有17个，∴概率为eq\f(17,A\o\al(2,10))＝eq\f(17,90).2．现有7名数理化成果优秀者，其中A1，A2，A3的数学成果优秀，B1，B2的物理成果优秀，C1，C2的化学成果优秀．从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛．(1)求C1被选中的概率；(2)求A1和B1不全被选中的概率．解析(1)从7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本大事为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．C1恰被选中有6个基本大事：(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)．因而C1被选中的概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).(2)用N表示“A1，B1不全被选中”这一大事，则其对立大事eq\x\to(N)表示“A1，B1全被选中”，由于eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以大事eq\x\to(N)由两个基本大事组成，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，由对立大事的概率公式得P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).3．在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点，在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外(不含边界)的概率为________．答案eq\f(3,4)