【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：9.4

第九章9.4第4课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2))B．(－eq\r(2)，eq\r(2))C．(－eq\f(\r(2),4)，eq\f(\r(2),4))D．(－eq\f(1,8)，eq\f(1,8))答案C解析设l的方程y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.圆心为(1,0)．由已知有eq\f(|k＋2k|,\r(k2＋1))<1，∴－eq\f(\r(2),4)<k<eq\f(\r(2),4).2．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能答案B解析圆心到直线的距离d＝eq\f(|sinθ－2－sinθ|,\r(sin2θ＋cos2θ))＝2.所以直线与圆相切．3．平移直线x－y＋1＝0使其与圆(x－2)2＋(y－1)2＝1相切，则平移的最短距离为()A.eq\r(2)－1B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)D.eq\r(2)－1与eq\r(2)＋1答案A解析如图，圆心(2,1)到直线l0：x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(|2－1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，圆的半径为1，故直线l0与l1的距离为eq\r(2)－1，∴平移的最短距离为eq\r(2)－1，故选A.4．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4；O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，那么两圆的位置关系是()A．内含B．内切C．相交D．外切答案C解析由两圆方程易知其圆心坐标分别为O1(a，b)、O2(a＋1，b＋2)，经计算得：O1O2＝eq\r(5)，由于R－r＝1<O1O2＝eq\r(5)<R＋r＝3，故两圆相交．5．函数y＝f(x)的图象是圆心在原点的单位圆在Ⅰ、Ⅲ象限内的两段圆孤，如图，则不等式f(x)<f(－x)＋2x的解集为()A．(－1，－eq\f(\r(2),2))∪(0，eq\f(\r(2),2))B．(－1，－eq\f(\r(2),2))∪(eq\f(\r(2),2)，1)C．(－eq\f(\r(2),2)，0)∪(0，eq\f(\r(2),2))D．(－eq\f(\r(2),2)，0)∪(eq\f(\r(2),2)，1)答案D6．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为()A．1B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D．3答案C解析设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，∴|PM|最小值为2eq\r(2)，|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)＝eq\r(（2\r(2))）2－1)＝eq\r(7)，选C.7．若圆O1方程为：(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝0，圆O2方程为：(x－3)2＋(y－2)2－1＝0，则方程(x＋1)2＋(y＋1)2－4＝(x－3)2＋(y－2)2－1表示的轨迹是()A．线段O1O2的中垂线B．过两圆的公切线交点且垂直于线段O1O2的直线C．两圆公共弦所在的直线D．一条直线且该直线上的点到两圆的切线长相等答案D解析∵圆心距|O1O2|＝eq\r(（3＋1）2＋（2＋1）2)＝5>2＋1＝3，∴两圆相离．把所给的轨迹方程化简得4x＋3y－7＝0明显线段O1O2的中点不在直线4x＋3y－7＝0上，排解A、C，由计算知，到两圆的切线长相等的点的轨迹恰为直线4x＋3y－7＝0.8．已知圆C：x2＋y2＝1，点A(－2,0)及点B(2，a)，从A点观看B点，要使视线不被圆C拦住，则a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(－1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－eq\f(4,3)eq\r(3))∪(eq\f(4,3)eq\r(3)，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)答案C解析解法一：(直接法)写出直线方程，将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决．过A、B两点的直线方程为y＝eq\f(a,4)x＋eq\f(a,2)，即ax－4y＋2a＝0，则d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋16))＝1，化简后，得3a2＝16，解得a＝±eq\f(4\r(3),3).再进一步推断便可得到正确答案为C.解法二：设AB1直线方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k(x＋2),x2＋y2＝1))⇒(1＋k2)x2＋4k2x＋4k2－1＝0，Δ＝0，k＝±eq\f(\r(3),3)，直线AB1方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，直线AB2方程为y＝－eq\f(\r(3),3)(x＋2)，可得B1(2，eq\f(4\r(3),3))，B2(2，－eq\f(4\r(3),3))，要使从A看B不被圆拦住，B纵坐标即实数a的取值范围为(－∞，－eq\f(4\r(3),3))∪(eq\f(4\r(3),3)，＋∞)．9．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是()A．(4,6)B．[4,6)C．(4,6]D．[4,6]答案A二、填空题10．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|(其中O为坐标原点)，则实数a等于________．答案±2解析由|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))|知OA⊥OB，所以由题意可得eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(2)，所以a＝±2.11．过点M(1,2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l的方程为________．答案x－2y＋3＝0解析设圆心为N(2,0)，由圆的性质得直线l⊥MN时，形成的劣弧最短，由点斜式得直线l的方程为x－2y＋3＝0.12．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2eq\r(3)，则k的取值范围是________．答案[－eq\f(3,4)，0]解析如图，记题中圆的圆心为C(3,2)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝eq\f(|3k＋1|,\r(1＋k2))，于是有|MN|＝2|MD|＝2eq\r(|CM|2－|CD|2)＝2eq\r(4－\f(9k2＋6k＋1,1＋k2))≥2eq\r(3)，即4－eq\f(9k2＋6k＋1,1＋k2)≥3，解得－eq\f(3,4)≤k≤0.13．若直线y＝x＋b与曲线x＝eq\r(1－y2)恰有一个公共点，则b取值范围是__________．答案－1＜b≤1或b＝－eq\r(2)解析x＝eq\r(1－y2)⇔x2＋y2＝1(x≥0)方程x2＋y2＝1(x≥0)所表示的曲线为半圆(如图)当直线与圆相切时或在l2与l3之间时，适合题意．三、解答题14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的确定值相等，求此切线的方程．解析∵切线在两坐标轴上截距的确定值相等，∴切线的斜率是±1.设切线方程为y＝－x＋b或y＝x＋c，分别代入圆C的方程得2x2－2(b－3)x＋(b2－4b＋3)＝0或2x2＋2(c－1)x＋(c2－4c＋3)＝0，由于相切，则方程有等根，即b＝3或b＝－1，c＝5或c＝1.故所求切线方程为：x＋y－3＝0，x＋y＋1＝0，x－y＋5＝0，x－y＋1＝0.15．已知圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点．(1)求圆C的方程；(2)若eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－2，求实数k的值；(3)过点(0,1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．解设圆心C(a，a)，半径为r.由于圆C经过点A(－2,0)，B(0,2)，所以|AC|＝|BC|＝r，易得a＝0，r＝2，所以圆C的方程是x2＋y2＝4.(2)由于eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝2×2×cos〈eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))〉＝－2，且eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OQ,\s\up6(→))的夹角为∠POQ，所以cos∠POQ＝－eq\f(1,2)，∠POQ＝120°，所以圆心到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝1，又d＝eq\f(1,\r(k2＋1))，所以k＝0.(3)设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.由于直线l，l1都经过点(0,1)，且l⊥l1，依据勾股定理，有deq\o\al(2,1)＋d2＝1.又易知|PQ|＝2×eq\r(4－d2)，|MN|＝2×eq\r(4－d\o\al(2,1))，所以S＝eq\f(1,2)·|PQ|·|MN|，即S＝eq\f(1,2)×2×eq\r(4－d2)×2×eq\r(4－d\o\al(2,1))＝2eq\r(16－4(d\o\al(2,1)＋d2)＋d\o\al(2,1)·d2)＝2eq\r(12＋d\o\al(2,1)·d2)≤2eq\r(12＋(\f(d\o\al(2,1)＋d2,2))2)＝2eq\r(12＋\f(1,4))＝7，当且仅当d1＝d时，等号成立，所以S的最大值为7.老师备选题1．点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y－1＝0上，则|PQ|的最小值是________．答案3eq\r(5)－3－eq\r(6)解析转化为一个圆上的动点到另一个圆圆心距离的最小值．2．已知：过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点．(1)求实数k的取值范围；(2)求证：eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))为定值；(3)若O为坐标原点，且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，求k的值．解析(1)解法一：∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为y＝kx＋1.将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0①由题意：△＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).解法二：同解法一得直线方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，又圆心到直线距离d＝eq\f(|2k－3＋1|,\r(k2＋1))＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))，∴d＝eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).(2)设过A点的圆的切线为AT，T为切点，则|AT|2＝|AM|·|AN|，|AT|2＝(0－2)2＋(1－3)2－1＝7，∴|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝7.依据向量的运算：eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|·cos0°＝7为定值．(3)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(4＋4k,1＋k2),