【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第2章-第5节-对数与对数函数

其次章第五节一、选择题1．(文)(2022·四川泸州一诊)2lg2－lgeq\f(1,25)的值为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]B[解析]2lg2－lgeq\f(1,25)＝lg(22÷eq\f(1,25))＝lg100＝2，故选B．(理)(2021·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x＋1，x>3,2x－3＋1，x≤3))满足f(a)＝3，则f(a－5)的值为()A．log23 B．eq\f(17,16)C．eq\f(3,2) D．1[答案]C[解析]∵f(a)＝3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤3，,2a－3＋1＝3，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>3，,log2a＋1＝3.))②①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝eq\f(3,2)，选C．2．(文)(2021·山东威海期末)下列四个数中最大的是()A．(ln2)2 B．ln(ln2)C．lneq\r(2) D．ln2[答案]D[解析]由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于y＝lnx为增函数，因此lneq\r(2)<ln2；那么最大的只能是A或D；由于0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.(理)若x∈(eq\f(1,10)，1)，a＝lgx，b＝lg2x，c＝eq\f(1,2)lgx，则a、b、c的大小关系是()A．a<b<c B．a<c<bC．c<a<b D．b<c<a[答案]B[解析]∵eq\f(1,10)<x<1，∴－1<lgx<0，∴0<lg2x<1，∵a－c＝lgx－eq\f(1,2)lgx＝eq\f(1,2)lgx<0，∴a<c，故a<c<b，故选B．[点评]比较对数式的值大小的方法：①利用中间量0、1.(2022·河北石家庄一模)已知a＝3eq\f(1,2)，b＝logeq\f(1,3)eq\f(1,2)，c＝log2eq\f(1,3)，则()A．a>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c[答案]A[解析]由于3eq\f(1,2)>1,0<logeq\f(1,3)eq\f(1,2)<1，c＝log2eq\f(1,3)<0，所以a>b>c，故选A．②指数互化(2022·湖北省重点中学联考)∀α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，x＝(sinα)logπcosα，y＝(cosα)logπsinα，则x与y的大小关系为()A．x>y B．x<yC．x＝y D．不确定[答案]C[解析]由于logπx＝logπsinαlogπcosα，logπy＝logπsinα·logπcosα，所以logπx＝logπy，所以x＝y，故选C．③作差法(2022·山东临沂市重点中学月考)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则()A．a<b<c B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a[答案]C[解析]由于x＝(e－1,1)，所以－1<a＝lnx<0，而b－a＝lnx<0，故b<a，而c－a＝(ln2x－1)·lnx>0，故c>a，综上b<a<c.④化同真借助图象(2021·新课标Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则()A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c[答案]D[解析]本题考查了对数的运算性质．∵a＝log36＝1＋log32；b＝log510＝1＋log52；c＝log714＝1＋log72.∵log32>log52>log72，∴a>b>c.⑤用单调性(2022·吉林长春质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则()A．f(3)<f(－2)<f(1) B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3) D．f(3)<f(1)<f(－2)[答案]B[解析]由于f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数f(x)＝loga|x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．⑥转化法若函数f(x)＝log2(x＋1)且a>b>c>0，则eq\f(fa,a)、eq\f(fb,b)、eq\f(fc,c)的大小关系是()A．eq\f(fa,a)>eq\f(fb,b)>eq\f(fc,c) B．eq\f(fc,c)>eq\f(fb,b)>eq\f(fa,a)C．eq\f(fb,b)>eq\f(fa,a)>eq\f(fc,c) D．eq\f(fa,a)>eq\f(fc,c)>eq\f(fb,b)[答案]B[解析]∵eq\f(fa,a)、eq\f(fb,b)、eq\f(fc,c)可看作函数图象上的点与原点所确定的直线的斜率，结合函数f(x)＝log2(x＋1)的图象及a>b>c>0可知eq\f(fc,c)>eq\f(fb,b)>eq\f(fa,a).故选B．⑦综合法(2021·宣城二模)若a＝eq\f(ln26,4)，b＝ln2·ln3，c＝eq\f(ln2π,4)，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>a>c[答案]A[解析]∵ln6>lnπ>1，∴a>c，排解B，C；b＝ln2·ln3<(eq\f(ln2＋ln3,2))2＝eq\f(ln26,4)＝a，排解D，故选A．3．(2022·宁夏银川质检)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\f(1,2)－x，x<0.))若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)[答案]C[解析]f(a)>f(－a)化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>log\f(1,2)a，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,log\f(1,2)－a>log2－a.))∴a>1或－1<a<0，故选C．4．(文)(2022·石家庄调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3(1＋x)，则f(－2)＝()A．－1 B．－3C．1 D．3[答案]A[解析]由条件知f(－2)＝－f(2)＝－log3(1＋2)＝－1.(理)(2021·开封一模)已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈(2,3)时，f(x)＝log2(x－1)，则当x∈(1,2)时，f(x)＝()A．－log2(4－x) B．log2(4－x)C．－log2(3－x) D．log2(3－x)[答案]C[解析]依题意得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．当x∈(1,2)时，x－4∈(－3，－2)，4－x∈(2,3)，故f(x)＝f(x－4)＝－f(4－x)＝－log2(4－x－1)＝－log2(3－x)，选C．5．(2022·安徽皖南八校第一次联考)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－1)}，B＝{y|y＝(eq\f(1,2))x－1}，则A∩B＝()A．(eq\f(1,2)，1) B．(1,2)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)[答案]D[解析]A＝{x|y＝log2(x2－1)}＝{x|x2－1>0}＝{x|x>1或x<－1}，B＝{y|y＝(eq\f(1,2))x－1}＝{y|y>0}，∴A∩B＝{x|x>1}．6．(文)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．其中全部的正确结论的序号是()A．① B．①②C．②③ D．①②③[答案]D[解析]本题考查不等式性质，比较大小．eq\f(c,a)－eq\f(c,b)＝eq\f(cb－a,ab)，∵a>b>1，c<0，∴eq\f(cb－a,ab)>0，eq\f(c,a)>eq\f(c,b)，①正确；a>b>1，ac<bc，②正确；∵a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>logb(b－c)>loga(b－c)，③正确．[点评]比较大小的方法有作差法、单调性法等．(理)(2021·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x－1，y＝xeq\f(1,2)，y＝(x－1)2，y＝x3中有3个是增函数；②若logm3<logn3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；④已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2，x≤2,log3x－1，x>2))，则方程f(x)＝eq\f(1,2)有2个实数根，其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]C[解析]命题①中，在(0，＋∞)上只有y＝xeq\f(1,2)，y＝x3为增函数，故①不正确；②中第1个不等式等价于log31>log3m>log3n，故0<n<m<1，②正确；③中函数y＝f(x－1)的图象是把y＝f(x)的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y＝f(x)的图象关于坐标原点对称，故函数y＝f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，③正确；④中当3x－2＝eq\f(1,2)时，x＝2＋log3eq\f(1,2)<2，当log3(x－1)＝eq\f(1,2)时，x＝1＋eq\r(3)>2，故方程f(x)＝eq\f(1,2)有2个实数根，④正确．故选C．二、填空题7．(文)函数y＝eq\r(log\f(2,3)2－x2)的定义域为________．[答案]{x|1≤x<eq\r(2)或－eq\r(2)<x≤－1}[解析]要使函数有意义，应满足logeq\f(2,3)(2－x2)≥0，∵y＝logeq\f(2,3)x为减函数，∴0<2－x2≤1，∴1≤x2<2，∴1≤x<eq\r(2)或－eq\r(2)<x≤－1.(理)函数f(x)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x－1)))的定义域是________．[答案](－∞，0)∪(1，＋∞)[解析]要使f(x)有意义，应有1＋eq\f(1,x－1)>0，∴eq\f(x,x－1)>0，∴x<0或x>1.8．(文)(2022·南京模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数．假照实数t满足f(lnt)＋f(lneq\f(1,t))≤2f(1)，那么t的取值范围是________．[答案][eq\f(1,e)，e][解析]由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(lnt)＝f(lneq\f(1,t))，由f(lnt)＋f(lneq\f(1,t))≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，－1≤lnt≤1，故eq\f(1,e)≤t≤e.(理)(2022·浙江温州八校联考)设函数f(x)的定义域为R，且是以3为周期的奇函数，|f(1)|>2，f(2)＝loga4(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．[答案]eq\f(1,2)<a<1或1<a<2[解析]由条件知，|f(1)|＝|f(－1)|＝|f(2)|＝|loga4|>2，∴loga4>2或loga4<－2，∴1<a<2或eq\f(1,2)<a<1.9．(文)方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是________．[答案]x＝5[解析]原方程化为log3(x2－10)＝log3(3x)，由于y＝log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x2－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.(理)(2022·广东韶关调研)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．[答案]a>1[解析]如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．三、解答题10．(文)(2022·江西南昌其次中学第一次月考)已知f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－mx－m)．(1)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)在区间(－∞，1－eq\r(3))上是增函数，求实数m的取值范围．[解析](1)设g(x)＝x2－mx－m，要使得函数f(x)的值域为R，则g(x)＝x2－mx－m能取遍全部的正数，则有(－m)2－4×(－m)≥0，解得m≥0或m≤－4.(2)函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－mx－m)的底数是eq\f(1,2)，那么若函数f(x)在区间(－∞，1－eq\r(3))上是增函数，则函数g(x)＝x2－mx－m在区间(－∞，1－eq\r(3))上是减函数，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)≥1－\r(3)，,1－\r(3)2－m1－\r(3)－m≥0，))解得2－2eq\r(3)≤m≤2.(理)(2021·北京朝阳期末)已知f(x)＝log3eq\f(x2＋ax＋b,x)，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是1.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．[解析]假设存在实数a，b使命题成立，∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1时，f(x)取得最小值1，∴log3eq\f(1＋a＋b,1)＝1，∴a＋b＝2.∵f(x)在(0,1)上是减函数，设0<x1<x2<1，∴f(x1)>f(x2)恒成立，即eq\f(x\o\al(2,1)＋ax1＋b,x1)>eq\f(x\o\al(2,2)＋ax2＋b,x2)恒成立，整理得eq\f(x1－x2x1x2－b,x1x2)>0恒成立．∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0，x1x2>0，∴x1x2－b<0恒成立，即x1x2<b恒成立，而x1x2<1，∴b≥1.同理，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，可得b≤1，∴b＝1.又∵a＋b＝2，∴a＝1.故存在a＝1，b＝1同时满足题中条件．一、选择题11．(文)(2022·山东德州期末)函数y＝eq\f(xax,|x|)(0<a<1)的图象的大致外形是()[答案]D[解析]由于y＝eq\f(xax,|x|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax，x>0，,－ax，x<0，))且0<a<1，所以依据指数函数的图象和性质，当x∈(0，＋∞)时，函数为减函数，图象下降；当x∈(－∞，0)时，函数是增函数，图象上升，故选D．(理)函数y＝ln|eq\f(1,x)|与y＝－eq\r(x2＋1)在同一平面直角坐标系内的大致图象为()[答案]C[解析]y＝ln|eq\f(1,x)|为偶函数，当x>0时，y＝lneq\f(1,x)＝－lnx为减函数，故排解A、B；y＝－eq\r(x2＋1)≤0，其图象在x轴下方，排解D，故选C．12．(文)已知符号函数sgn(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则函数f(x)＝sgn(lnx)－ln2x的零点个数为()A．4 B．3C．2 D．1[答案]C[解析]由题意得f(x)＝sgn(lnx)－ln2x＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－ln2x，x>1，,－ln2x，x＝1，,－1－ln2x，0<x<1，))则令1－ln2x＝0⇒x＝e或x＝eq\f(1,e)(舍去)；令－ln2x＝0⇒x＝1；当－1－ln2x＝0时，方程无解，所以f(x)＝sgn(lnx)－ln2x有两个零点，故选C．(理)已知函数f(x)＝(eq\f(1,5))x－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值()A．不小于0 B．恒为正数C．恒为负数 D．不大于0[答案]B[解析]若实数x0是方程f(x)＝0的解，即x0是函数y＝(eq\f(1,5))x和y＝log3x的图象的交点的横坐标，由于0<x1<x0，画图易知(eq\f(1,5))x1>log3x1，所以f(x1)恒为正数．13．(文)(2021·湖南张家界一模)若logmn＝－1，则m＋3n的最小值是()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3)C．2 D．eq\f(5,2)[答案]B[解析]由logmn＝－1，得m－1＝n，则mn＝1.由于m>0，n>0，∴m＋3n≥2eq\r(3mn)＝2eq\r(3).故选B．(理)(2021·广东肇庆检测)已知函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为N.若M＋N＝a，则实数a的值为()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4[答案]B[解析]由于y＝ax与y＝loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上单调，故M＋N＝f(0)＋f(1)＝a，即1＋a＋loga2＝a，解得a＝eq\f(1,2).14．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2022x＋log2022x，则方程f(x)＝0的实根的个数为()A．1 B．2C．3 D．5[答案]C[解析]当x>0时，f(x)＝0即2022x＝－log2022x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2022x，f2(x)＝－log2022x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又由于f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.二、填空题15．(2022·河南郑州模拟)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，则f(3)＝________.[答案]－2[解析]由题意y＝f(x)的图象与函数y＝2－x－1的图象关于直线y＝x对称，令f(3)＝a，则点(a,3)必在函数y＝2－x－1的图象上，所以2－a－1＝3，解得a＝－2，即f(3)＝－2.16．(文)(2021·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝x＋m＋lnx的保值区间是[e，＋∞)，则m的值为________．[答案]－1[解析]由题意得，g(x)的值域为[e，＋∞)，由x≥e时，g′(x)＝1＋eq\f(1,x)>0，所以当x≥e时，g(x)为增函数，由题意可得g(e)＝e＋m＋1＝e，解得m＝－1.(理)(2022·山东郯城一中月考)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))则函数f(x)＝logeq\f(1,2)(3x－2)*log2x的值域为________．[答案](－∞，0][解析]易知函数f(x)的定义域为(eq\f(2,3)，＋∞)，在同始终角坐标系中画出函数y＝logeq\f(1,2)(3x－2)和y＝log2x的图象，由a*b的定义可知，f(x)的图象为图中实线部分，∴由图象可得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，\f(2,3)<x≤1，,log\f(1,2)3x－2，x>1.))的值域为(－∞，0]．三、解答题17．(文)(2022·吉林长春模拟)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定义域；(2)求f(x)在区间[0，eq\f(3,2)]上的最大值．[解析](1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,3－x>0，))得x∈(－1,3)，∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，函数f(x)在[0，eq\f(3,2)]上的最大值是f(1)＝log24＝2.(理)已知函数f(x)＝logeq\f(1,2)eq\f(2－ax,x－1)(a是常数且a<2)．(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围．[解析](1)∵eq\f(2－ax,x－1)>0，∴(ax－2)(x－1)<0，①当a<0时，函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,a)))∪(1，＋∞)；②当a＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；③当0<a<2时，函数的定义域为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2,a))).(2)∵f(x)在(2,4)上是增函数，∴只要使eq\f(2－ax,x－1)在(2,4)上是减函数且恒为正即可．令g(x)＝eq\f(2－ax,x－1)，即当x∈(2,4)时g′(x)≤0恒成立且g(4)≥0.解法一：g′(x)＝eq\f(－ax－1－2－ax,x－12)＝eq\f(a－2,x－12)，∴当a－2<0，即a<2时，g′(x)≤0.g(4)≥0，即1－2a≥0，∴a≤eq\f(1,2)，∴a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).解法二：∵g(x)＝eq\f(2－