《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习-第九章-第3讲-二项式定理-轻松闯关

1．(2021·东北三校模拟)在(x2－eq\f(1,x))5的二项开放式中，其次项的系数为()A．10 B．－10C．5 D．－5解析：选D.开放式中的其次项为T2＝Ceq\o\al(1,5)(x2)5－1(－eq\f(1,x))1，所以其系数为－Ceq\o\al(1,5)＝－5.2．二项式(1－x)4n＋1(n∈N)的开放式中，系数最大的项为()A．第(2n＋1)或(2n＋2)项B．第(2n＋1)项C．第(2n＋2)项D．第2n或(2n＋1)项解析：选B.开放式中共有(4n＋2)项，其中第(2n＋1)项与第(2n＋2)项的系数确定值相等，但第(2n＋1)项的系数为正，而第(2n＋2)项的系数为负，故第(2n＋1)项的系数最大．3．(2021·黄冈模拟)设复数x＝eq\f(2i,1－i)(i是虚数单位)，则Ceq\o\al(1,2015)x＋Ceq\o\al(2,2015)x2＋Ceq\o\al(3,2015)x3＋…＋Ceq\o\al(2015,2015)x2015＝()A．i B．－iC．－1－i D．1＋i解析：选C.x＝eq\f(2i,1－i)＝－1＋i，Ceq\o\al(1,2015)x＋Ceq\o\al(2,2015)x2＋…＋Ceq\o\al(2015,2015)x2015＝(1＋x)2015－1＝i2015－1＝－i－1.4．已知(x－eq\f(a,x))8开放式中常数项为1120，其中实数a是常数，则开放式中各项系数的和是()A．28 B．38C．1或38 D．1或28解析：选C.由题意知Ceq\o\al(4,8)·(－a)4＝1120，解得a＝±2，令x＝1，得开放式各项系数和为(1－a)8＝1或38.5．(2021·江西临川一中等九校联考)二项式(ax＋eq\f(\r(3),6))6的开放式的其次项的系数为－eq\r(3)，则eq\i\in(－2,a,)x2dx的值为()A.eq\f(7,3) B．3C．3或eq\f(7,3) D．3或－eq\f(10,3)解析：选A.二项开放式的其次项T2＝Ceq\o\al(1,6)(ax)5×eq\f(\r(3),6)，则由题意有eq\f(\r(3),6)×Ceq\o\al(1,6)a5＝－eq\r(3)，解得a＝－1，所以eq\i\in(－2,－1,)x2dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(－1,－2)＝－eq\f(1,3)－(－eq\f(8,3))＝eq\f(7,3).6．(2021·贵阳市适应性考试)若(2x＋eq\f(a,x))4(a＞0)的开放式中常数项为96，则实数a等于________．解析：(2x＋eq\f(a,x))4的开放式通项为Ceq\o\al(r,4)(2x)4－r(eq\f(a,x))r＝24－rarCeq\o\al(r,4)x4－2r，令4－2r＝0，得r＝2，∴22a2Ceq\o\al(2,4)＝96，∴a2＝4，∴a＝2.答案：27．(2021·昆明市第一次调研)(eq\f(2,x)＋x)(1－eq\r(x))4的开放式中x的系数是________．解析：(1－eq\r(x))4开放式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(－eq\r(x))r＝(－1)rCeq\o\al(r,4)xeq\s\up6(\f(r,2))，(eq\f(2,x)＋x)(1－eq\r(x))4的开放式中含x的项为eq\f(2,x)·(－1)4Ceq\o\al(4,4)x2＋x·(－1)0Ceq\o\al(0,4)xeq\s\up6(\f(0,2))＝eq\f(2,x)·x2＋x·1＝3x，故系数是3.答案：38．(2021·福州质检)在(1－x2)20的开放式中，假如第4r项和第r＋2项的二项式系数相等，则r＝________．解析：由题意得，Ceq\o\al(4r－1,20)＝Ceq\o\al(r＋1,20)，故4r－1＝r＋1或4r－1＋r＋1＝20，即r＝eq\f(2,3)或r＝4.由于r为整数，故r＝4.答案：49．已知二项式(eq\r(3,x)＋eq\f(1,x))n的开放式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求开放式中的常数项．解：(1)由题意，得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)该二项开放式中的第r＋1项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(eq\r(3,x))8－r·(eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,8)·xeq\s\up6(\f(8－4r,3))，令eq\f(8－4r,3)＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝Ceq\o\al(2,8)＝28.10．已知(a2＋1)n开放式中各项系数之和等于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(5)的开放式的常数项，而(a2＋1)n开放式的二项式系数最大的项的系数等于54，求a的值．解：由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))eq\s\up12(5)，得Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)x2))eq\s\up12(5－r)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)))eq\s\up12(5－r)·Ceq\o\al(r,5)·xeq\s\up6(\f(20－5r,2)).令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，∴r＝4，∴常数项T5＝Ceq\o\al(4,5)×eq\f(16,5)＝16.又(a2＋1)n开放式的各项系数之和等于2n.由题意得2n＝16，∴n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)4开放式中二项式系数最大的项是中间项T3，∴Ceq\o\al(2,4)a4＝54，∴a＝±eq\r(3).1．(2022·高考浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的开放式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝()A．45 B．60C．120 D．210解析：选C.由于f(m，n)＝Ceq\o\al(m,6)Ceq\o\al(n,4)，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(0,6)Ceq\o\al(3,4)＝120.2．(2021·山东枣庄模拟)若(x＋y)9按x的降幂排列的开放式中，其次项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是()A．(－∞，eq\f(1,5)) B．[eq\f(4,5)，＋∞)C．(－∞，－eq\f(4,5)] D．(1，＋∞)解析：选D.二项式(x＋y)9的开放式的通项是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·x9－r·yr.依题意，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,9)·x9－1·y≤Ceq\o\al(2,9)·x9－2·y2,x＋y＝1,xy<0))，由此得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x8·（1－x）－4x7·（1－x）2≤0,x（1－x）<0))，解之得x>1，即x的取值范围为(1，＋∞)．3．(2021·荆州模拟)已知a＝4eq\i\in(0,\f(π,2),)cos(2x＋eq\f(π,6))dx，则二项式(x2＋eq\f(a,x))5的开放式中x的系数为________．解析：依题意得a＝4eq\i\in(0,\f(π,2),)cos(2x＋eq\f(π,6))dx＝2sin(2x＋eq\f(π,6))eq\x\le(\o(\s\do4(0),\s\up8(\f(π,2))))＝－2，即a＝－2，则Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(－2)rx10－3r，当r＝3时，T4＝－80x.故二项式(x2＋eq\f(a,x))5的开放式中x的系数为－80.答案：－804．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.答案：105．已知(eq\f(1,2)＋2x)n.(1)若开放式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求开放式中二项式系数最大项的系数；(2)若开放式前三项的二项式系数和等于79，求开放式中系数最大的项．解：(1)∵Ceq\o\al(4,n)＋Ceq\o\al(6,n)＝2Ceq\o\al(5,n)，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，当n＝7时，开放式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为Ceq\o\al(3,7)(eq\f(1,2))423＝eq\f(35,2)，T5的系数为Ceq\o\al(4,7)(eq\f(1,2))324＝70，当n＝14时，开放式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为Ceq\o\al(7,14)(eq\f(1,2))727＝3432.(2)∵Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，∵(eq\f(1,2)＋2x)12＝(eq\f(1,2))12(1＋4x)12，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(k,12)4k≥Ceq\o\al(k－1,12)4k－1,Ceq\o\al(k,12)4k≥Ceq\o\al(k＋1,12)4k＋1.))∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.∴开放式中系数最大的项为T11，T11＝Ceq\o\al(10,12)·(eq\f(1,2))2·210·x10＝16896x10.6．(选做题)某二项开放式中，相邻a项的二项式系数之比为1∶2∶3∶…∶a，求二项式的次数及a的值．解：设该二项式为(m＋t)n，其二项式系数为Ceq\o\al(r,n)(r＝0，1，2，…，n)．不妨设Ceq\o\al(r,n)∶Ceq\o\al(r＋1,n)∶Ceq\o\al(r＋2,n)∶…∶Ceq\o\al(r＋a－1,n)＝1∶2∶3∶…∶a，由Ceq\o\al(r,n)∶Ceq\o\al(r＋1,n)＝1∶2，得n＝3r＋2；由Ceq\o\al(r,n)∶Ceq\o\al(r＋2,n)＝1∶3，得eq\f(（r＋2）（r＋1）,（n－r）（n－r－1）)＝eq\f(1,