《互换性与几何量测量技术》课件第11章

11.1

尺寸链的基本概念

11.2

尺寸链的解算

第11章尺寸链基础

11.1尺寸链的基本概念

11.1.1尺寸链的定义

在设计各类机器及其零、部件时，除了对其进行运动、刚度、强度等分析与计算以外，还要进行几何精度的分析与计算。所谓几何精度的分析与计算，是指决定机器零件最终或工序间的合理的几何参数公差与极限偏差，使机器零件能顺利地加工和正确地进行装配，并保证在工作时满足精度方面的要求。本章将集中讨论几何精度的分析与计算，其根据是机械产品的技术规范(也称技术条件)，并由此合理地规定各零件最终或工序间的尺寸公差、形位公差。这对于保证产品质量，使产品获得最佳技术经济效益具有重要意义。几何精度的分析与计算可以运用尺寸链的理论与方法。

在设计机器和零、部件时，设计图上形成的封闭尺寸的组合叫设计尺寸链。设计尺寸链可分为零件尺寸链、部件尺寸链和总体尺寸链。

在加工工艺过程中，各工序的加工尺寸构成封闭的尺寸组合，或在某工序中工件、夹具、刀具、机床的有关尺寸形成了封闭的尺寸组合，这两种尺寸组合统称为加工工艺尺寸链。

在机器或零、部件装配的过程中，零件和部件间有关尺寸构成的互相有联系的封闭尺寸组合称为装配尺寸链。装配尺寸链有时和结构尺寸链一致，但有时因装配工艺方法不同，装配工艺尺寸链和总体结构尺寸链不一致，有时还由于采用不同的测量工具，使测量基准不一致，形成测量尺寸链，亦称检验尺寸链。

一般来说，在机器装配或零件加工过程中，由相互连接的尺寸形成封闭的尺寸组，称为尺寸链。在图11－1中，孔和轴的装配形成尺寸链；台阶轴的加工也形成尺寸链；设计弯臂图样时形成尺寸链；标注支架的形位公差时形成角度尺寸链；另外，复杂的零件也形成平面或空间尺寸链。

图11－1尺寸链11.1.2尺寸链的构成

1.尺寸链由环组成

列入尺寸链中的每一个尺寸称为环。例如，将台阶轴的加工尺寸抽象出来，如图11－2所示，就形成了尺寸链。其中，A0、A1、A2称做环。在图11－1所示的封闭尺寸组中，每一个尺寸都可称做环。环按几何特征可分为长度环和角度环，也称为线环和角环。如孔和轴的装配、台阶轴的加工，都属于线环；支架形位公差的标注形成角度环。按环的变动性质又可分为标量环和矢量环。标量环只有大小的变动，矢量环兼有大小与方向的变动。

图11－2抽象的尺寸链

2.封闭环

在装配和加工过程中，最后自然形成的环称为封闭环，亦称终结环。在零、部件的装配中，封闭环通常是对有关要素间的联系所提出的技术要求，如间隙、过盈、位置精度等。在图11－1中，孔、轴装配后，形成的间隙A0即为封闭环。在加工或设计过程中，封闭环通常是零件设计图样上未标注的尺寸或加工中最后形成的尺寸，即最不重要的尺寸。如在图11－1中，台阶轴A0的尺寸是最后自然形成的，是封闭环，加工者只需测量和保证A1、A2尺寸；弯臂A0在图样上不需要进行标注，是封闭环。在尺寸链的解算中，一定要正确确定封闭环，它是正确解算的第一步。

3.组成环

对封闭环有影响的全部环称为组成环。组成环中任一环的变动必然引起封闭环的变动。组成环是尺寸链中除封闭环以外的所有的环。图11－1中所有A1和A2尺寸，α1和α2均为组成环。依据组成环对封闭环的影响不同，可以进一步把组成环分为增环和减环。事实上，组成环的概念正是通过增环和减环来表示的。正确确定增环和减环也是解算尺寸链的关键步骤。

(1）增环：亦称正环，该环的变动引起的封闭环同向变动称为正变，这是确定增环的准则。在图11－2中，A1是增环。若其他环保持不变，A1增加，则封闭环亦增加；A1减少，则封闭环亦减少。这里规定,增环用Az来表示。

（2）减环:亦称负环,该环的变动引起的封闭环反向变动称为反变，这是确定减环的准则。同理，在图11－2中，A2是减环。若其他环保持不变，A2增加，则封闭环减少；A2减少，则封闭环增加。这里规定，减环用Aj来表示。

在尺寸链的解算中，为了得出正确的解算关系，往往选出某一组成环作为可调整的环，这个可调整的环称为补偿环，亦称协调环。补偿环可以是增环也可以是减环。

（3）补偿环：预先选定的某一组成环，通过改变它的大小或位置，可使封闭环达到规定的要求。

在尺寸链中，封闭环与组成环的关系表现为函数关系。封闭环是所有组成环的函数，用式子来表示，即

A0=f（A1，A2，…，Am）

（11－1）

式中:A0为封闭环；A1，A2，…，Am为组成环；m为组成环数。所有组成环的变动都将在封闭环上显示其影响。一般来说，各组成环彼此之间是互相独立的，即这一组成环的变动与其余组成环无关。显然，封闭环与组成环的性质是不同的，事实上，它们构成了尺寸链中的两个对立面。分析尺寸链就是分析所有组成环的变动对封闭环的影响，以及分析组成环的公差或极限偏差与封闭环的公差或极限偏差的关系。进一步地说，组成环变动对封闭环的影响可用传递系数来表示。

(4）传递系数ξi：第i个组成环对封闭环的影响大小的系数。

传递系数是组成环在封闭环上引起的变动量与该组成环本身变动量之比，即（11－2）

例如，在图11-2中，有函数关系A0=A1－A2，依据式11-2，则有：ξ1=1，ξ2=－1。在弯臂尺寸链中，也有函数关系A0=A1+A2COSα，同理，依据式11-2，又有：ξ1=1，ξ2=COSα。其中，ξi

为正值是增环；ξi

为负值是减环。11.1.3尺寸链的特征

尺寸链具有以下四个特征。

(1)封闭性：各环必须依次连接封闭，不封闭不成为尺寸链，如图11－1所示的各尺寸链。

(2)关联性（函数性）：任一组成环尺寸或公差的变化都必然引起封闭环尺寸或公差的变化。例如，增环或减环的变动都将引起封闭环的相应的变动。

(3)惟一性：一个尺寸链只有一个封闭环，不能没有也不能出现两个或两个以上的封闭环。例如，在图11－3中，同一个零件的加工顺序不同，不能增加或减少封闭环数，只能改变封闭环A0的位置。

(4)最少三环：一个尺寸链最少有三环，少于三环的尺寸链不存在。图11－3加工顺序不同

11.1.4尺寸链的种类

1.按功能要求分类

尺寸链有各种不同的形式，按功能要求可分为设计尺寸链、装配尺寸链和工艺尺寸链。

(1）设计尺寸链：全部组成环为同一零件设计尺寸所形成的尺寸链，如图11－1(c)所示的弯臂尺寸链。

(2）装配尺寸链：全部组成环为不同零件设计尺寸所形成的尺寸链，如图11－1(a)所示的孔、轴装配尺寸链。

(3）工艺尺寸链：全部组成环为同一零件工艺尺寸所形成的尺寸链，如图11－4所示。

图11－4工艺尺寸链

2.按相互位置分类

尺寸链按相互位置可分为直线尺寸链、平面尺寸链和空间尺寸链。

(1）直线尺寸链：全部组成环平行于封闭环的尺寸链，如图11－1(a)所示的装配和加工工艺尺寸链。

(2）平面尺寸链：全部组成环位于一个或几个平行平面内，如图11－1(e)所示的弯臂尺寸链。

(3）空间尺寸链：组成环位于几个不平行平面内的尺寸链，如用于飞机起落架中的空间连杆机构，建筑业中的金属结构桁架等。

3.按几何特征分类

尺寸链按几何特征可分为长度尺寸链、角度尺寸链。

(1）长度尺寸链：全部环为长度尺寸的尺寸链，如图11－4所示的工艺尺寸链。

(2）角度尺寸链：全部环为角度尺寸的尺寸链，如图11－1所示的支架尺寸链。

4.按环的变动性质分类

尺寸链按环的变动性质可分为标量尺寸链、矢量尺寸链。

(1）标量尺寸链：全部组成环为标量尺寸所形成的尺寸链，如图11－4所示的尺寸链。

(2）矢量尺寸链：全部组成环为矢量尺寸所形成的尺寸链，如图11－5所示的偏心机构。偏心机构用矢量尺寸链来表示最容易解算。

图11－5偏心机构

5.按链与链间的包容关系分类

尺寸链按链与链间的包容关系可分为基本尺寸链和派生尺寸链。

(1）基本尺寸链：全部组成环(即直接影响封闭环)的尺寸，如图11－6所示的基本尺寸链A。

(2）派生尺寸链：一个尺寸链的封闭环为另一个尺寸链组成环的尺寸链，如图11－6所示的派生尺寸链L。

图11－6派生尺寸链

11.1.5尺寸链图

要进行尺寸链的解算，首先必须画出尺寸链图。所谓尺寸链图，就是从具体的零件或部件装配关系中，抽象出由封闭环和组成环构成的一个封闭回路。具体可分以下两步：

(1)绘制尺寸链图。从加工（装配）某一基准出发，按加工（装配）顺序，依次画出各环，环与环之间不得间断，最后用封闭环构成一个封闭回路，如图11－7所示。

(2)判断增、减环。用尺寸链图很容易确定封闭环并断定组成环中的增环或减环。首先，可按定义判断，对组成环逐个分析其尺寸的增减对封闭环尺寸的影响，以判断其为增环还是减环。此法比较麻烦，在环数较多，链的结构较为复杂时，容易出错。但这是一种基本方法。其次，按箭头方向来判断。生产实践中常用此法。先在封闭环上，按任意指向画一箭头，如图11－7所示的A0箭头，然后沿A0箭头的相反方向依次在各组成环上画一箭头，使所画各箭头彼此头尾相连，与封闭环形成一封闭回路。同向变动者，为增环；反向变动者，为减环。图11－7所示为尺寸链图。

图11－7尺寸链图

【例11－1】加工一带键槽的内孔，其加工顺序为：镗内孔得尺寸A1，插键槽得尺寸A2，磨内孔得尺寸A3。画出尺寸链图，并确定增减环。

解：首先确定封闭环。因为键槽尺寸A0是加工后自然形成的，所以A0为封闭环。镗内孔和磨外圆时，圆心位置不变，故取它为基准。从基准开始，按加工顺序分别画出A1/2、A2和A3/2，把它们与A0连接成封闭回路，形成尺寸链图，如图11－7所示。然后再画箭头。先按任意方向画封闭环的箭头，再从相反的方向出发，依次画完各环所有的箭头，所有与封闭环同向者，皆为增环，反向者，为减环。从而得出，A2和A3/2为增环，而A1/2为减环。依据同样的道理，可以画出在轴上铣一键槽的尺寸链图。加工顺序为：车外圆A1，铣键槽深A2，磨外圆A3，得键槽深A0。同理，A2和A3/2为增环，而A1/2为减环。

11.1.6尺寸链的作用

在机械设计制造中，通过尺寸链的分析计算可以解决以下问题。

(1)合理地分配公差。按封闭环的公差与极限偏差，可合理地分配各组成环的公差与极限偏差。

(2)分析结构设计的合理性。在机器、机构和部件设计中，通过对各种方案的装配尺寸链的分析比较，可确定较合理的结构。

(3)检校图样。在生产实践中，常用尺寸链来检查、校核零件图上的尺寸、公差与极限偏差是否合理。

(4)合理地标注尺寸。装配图上的尺寸标注反映零、部件的装配关系及要求，应按装配尺寸链分析标注封闭环公差及各组成环的基本尺寸（封闭环公差通常为装配技术要求）。零件图上的尺寸标注反映零件的加工要求，应按零件尺寸链分析。一般按最短尺寸链的原则，选用最不重要的环作为封闭环，且不需注出其公差与极限偏差。而对零件上属于装配尺寸链组成环的尺寸，原则上应规定公差与极限偏差。

(5)基面换算。当按零件图上的尺寸和公差标注不便于加工和测量时，应按零件尺寸链进行基面换算。在机械加工中，当定位基准与设计基准不重合时，为达到零件原设计的精度，也可进行尺寸的换算。

(6)工序尺寸计算。若零件的某一表面需要经过几道工序加工才能完成，则在工艺规程设计中，每道工序都需要规定相应的工序尺寸和公差。这些工序尺寸和公差的计算称做工序尺寸的计算。

尺寸链的分析计算在机器的精度设计中有重要的作用，我国已颁布了国家标准GB5847—86《尺寸链

计算方法》，作为分析计算尺寸链的参考准则。

11.2尺寸链的解算

11.2.1极值法解尺寸链

极值法又称完全互换法，指在全部产品中，装配时各组成环不需要挑选或改变其大小、位置，装入后即能达到封闭环的公差要求。极值法的出发点只考虑封闭环与组成环的极值关系，不考虑各环的实际尺寸的分布特性。

1.基本关系式

1）基本尺寸

在图11-8中，封闭环是A0，增环为A1，减环为A2，于是有关系式：

式中A1为增环，A2为减环，对于直线尺寸链，推广一下，又有关系式：

其中：m表示组成环数，n表示增环环数；增环用Az来表示，减环用Aj来表示；下标0表示封闭环，z表示增环序号，j表示减环序号。

A0=A1－A2

(11－3)图11-8尺寸链事实上，封闭环与组成环之间有函数关系，即封闭环的基本尺寸为各组成环基本尺寸的代数和：

（11－4）

其中ξi为传递系数；Ai为组成环的基本尺寸。对于直线尺寸链，增环ξz=1；减环ξj=－1，同理可得出式11-3。

2）极限尺寸

极限尺寸的基本公式可由下列极限情况导出。

（1）所有增环皆为最大极限尺寸，而所有减环皆为最小极限尺寸；

（2）所有增环皆为最小极限尺寸，而所有减环皆为最大极限尺寸。

显然，在第一种情况下，将得到封闭环的最大极限尺寸，而在第二种情况下，将得到封闭环的最小极限尺寸，可表示为

（11－5）

4）公差

将极限偏差公式(11－6)中ES0和EI0相减得：

对于直线尺寸链，

（11－7）

对于平面尺寸链,（11－8）

5）结论

（1）封闭环的公差比任何一个组成环的公差都大；

（2）为了减小封闭环的公差，应使组成环的数目尽可能地减小，这叫做最短尺寸链原则。这一原则在设计时应该遵守。尺寸链应该以“短”为好。

例如，最短尺寸链原则用于齿轮轴X方向的尺寸标注如图11－9所示。

图11－9齿轮轴X方向的尺寸标注

图11－9中，齿轮轴的左端面为X方向的尺寸基准（设计基准），标注这个方向的尺寸时，可以从基准出发，依次标注尺寸。显然，按此法标注时，组成环有六个之多，不符合最短尺寸链原则。按图11－9所示标注时，分为两个尺寸链：第一个尺寸链有两个组成环和一个封闭环，共三环；而第二个尺寸链有三个组成环和一个封闭环，共四环。这样标注就有了X方向的辅助基准，即从该基准出发标注其他尺寸。这个辅助基准恰好就是安装齿轮的定位面，第二个尺寸链实际上就是安装齿轮在X方向的局部装配尺寸链，不但满足基准重合的原则，而且满足最短尺寸链原则。显然，这个辅助基准较为合理。

2.极值法解正计算问题

解正计算问题就是已知组成环的基本尺寸和极限偏差，求封闭环的基本尺寸和极限偏差。

【例11－2】加工一圆套，已知工序是先车外圆然后镗内孔 ，同时保证内、外圆同轴度公差A3=∅0.02，求壁厚,如图11－10（a）所示。

图11－10加工圆套

解：按加工顺序，车外圆，镗内孔，最后自然形成壁厚，所以取壁厚为封闭环。依题意，要求封闭环的基本尺寸和偏差，属于正计算问题，可用极值法解，步骤如下：

（1）画尺寸链图。由于此例A1、A2尺寸相对于加工基准具有对称性，因此应取半值画尺寸链图，同轴度A3在此例中可作一个线性尺寸来处理，根据同轴度公差带对实际被测要素的限定情况，可定A3为0±0.01。以外圆圆心为基准，按加工顺序分别画出A1/2、A3、A2/2，并用A0把它们连接成封闭回路。

（2）确定封闭环。因壁厚A0为最后自然形成的尺寸，故为封闭环。

（3）确定增、减环。先画出封闭环的箭头，然后以相反的方向依次画出各组成环的箭头，根据箭头的方向(同向为增环，反向为减环)可以判断，A1/2、A3为增环，A2/2为减环。因为 所以 如图11－10（b）所示。

（4）计算壁厚的基本尺寸和极限偏差。

由式(11－3)得：

由式(11－6)得：

ES0=［（－0.02）+（+0.01）］－0=－0.01EI0=［（－0.04）+（－0.01）］－

（＋0.03）=－0.08则有：

（5）验算。因T0=ES0-EI0=（-0.01）-（-0.08）=0.07，由公式 得T0=［（-0.02）-（-0.04）］+［（+0.03）-0］+0.02=0.07，校核结果说明计算无误，所以壁厚为。

需指出的是，同轴度A3如放在另外一边作为减环处理，结果仍然不变。

3.极值法解中间计算问题

中间计算属于正计算中的一种特殊情况，用来确定尺寸链中某一组成环的尺寸及极限偏差。

【例11－3】在上例中，仍有相同的加工顺序，为了保证加工后壁厚为5-0.01-0.08，问所镗内孔尺寸A2为多少？

解：已知封闭环A0及组成环A1/2、A3，求另一个未知的组成环A2，这属于中间计算问题。

（1）画尺寸链图。与上题相同。

（2）确定封闭环。与上题相同。

（3）确定增、减环：显然，A1/2、A3为增环；A2/2为减环。

（4）计算基本尺寸和极限偏差：

所以

【例11－4】在轴上铣一键槽。加工顺序为：车外圆，铣键槽深A2，磨外圆 ,要求磨完外圆后，保证键槽深，求铣键槽深A2，如图11－11所示。

解：

（1）画尺寸链图。选外圆圆心为基准，按加工顺序依次画出A1/2、A2、A3/2，并用A0把它们连接成封闭回路，如图11－11所示。图11－11键槽工艺尺寸链

（2）确定封闭环。由于磨完外圆后形成的键槽深A0为最后自然形成的尺寸，因此可确定A0为封闭环。已知封闭环A0及组成环A1/2、A3/2，求另一个未知的组成环A2，这属于中间计算问题。

（3）确定增、减环。按箭头方向给各环标上箭头，可以得知：增环是A3/2、A2

；减环是A1/2。

（4）计算铣键槽的深度A2的基本尺寸和上、下偏差。

尺寸换算：

由式(11－3)得：

则可得A2的基本尺寸：

由式(11－6)得：

ES0=(ESA2+ESA3/2)-EIA1/2

则A2的下偏差：

ESA2=ES0-ESA3/2+EIA1/2=0–0+(-0.05)=-0.05mm由式(11－6)得：

EI0=(EIA2+EIA3/2)-ESA1/2

则A2的下偏差：

EIA2=EI0-EIA3/2+ESA1/2=(-0.3)-(-0.03)=-0.27mm（5）验算。

由已知条件得：

T0=ES0–EI0=0–(-0.3)=0.3mm由计算结果得：

T0=TA2+TA3/2+TA1/2=(ESA2-EIA2)+(ESA3/2-EIA3/2)+(ESA1-EIA1)

=[(-0.05)-(-0.27)]+[0-(-0.03)]+[0-(-0.05)]=0.3mm校核结果无误，所以铣键槽的深度为

4.极值法解反计算问题（设计计算问题）

解反计算问题就是已知封闭环的基本尺寸和上、下偏差，要求确定各组成环的公差和上、下偏差。由于组成环较多，用前面的公式难以全部求解，因此必须应用其他方法或原则确定其余组成环的公差和上、下偏差。反计算主要包括两项内容：确定各组成环的公差和合理分配各组成环的偏差。

1）组成环公差的确定

（1）平均公差法亦称等公差法，即各组成环公差近似相等的方法。当零件的基本尺寸大小和制造的难易程度相近，对装配精度的影响程度综合起来考虑，平均分配公差值比较经济、合理时，可采用平均公差法。

首先，按平均分配法分配各组成环的公差T：

（11－9）

式中:T0为封闭环的公差;m为组成环的数目。

（2）平均公差等级法亦称等精度法，即各组成环精度近似相等的方法。在尺寸小于等于500mm的情况下，当确认全部组成环采取同一公差等级，各环公差值的大小只取决于其基本尺寸，而这样计算又比较经济、合理或更切合生产实际时，可采用平均公差等级法。

因各组成环精度相等，故第i环的组成环的公差为

Ti=aii

式中：第i环的标准公差因子为

依据式(11－7)，有：

则平均公差等级系数为：

（11－10）

此外，还可按不同的基本尺寸查表11－1取得ii，然后依据，在标准公差表中取一个相近的公差等级，从而取得公差值。

表11－1尺寸小于等于500mm的公差因子值

2）组成环偏差的确定

确定各组成环的偏差有两种方法:一是按“偏差向体内原则”，也称为“入体法则”,二是采用对称分布的方法。

（1）按“入体法则”确定组成环上、下偏差。当组成环为包容面时，即相当于孔，其下偏差为零；当组成环为被包容面时，相当于轴，其上偏差为零。

（2）当组成环的尺寸为调整尺寸时，如对刀、划线等，采用对称分布。例如，在镗床、数控机床、自动机床上加工时采用对称分布。

一般来说，采用对称分布较为合理。不但在封闭环上可以获得较小的公差（从统计观点来看），而且也符合当今机械加工普遍采用数控机床的潮流。采用“入体法则”是相对于所采用的加工方法(例如“靠火花法”或“试切法”)而言的。这几种方法相比，显然，“入体法则”较为合理。但实际上，对熟练工人或数控机床机床来说，其加工的零件尺寸是按正态分布的。从这个观点来看，对称分布最为合理。从尺寸链的原理来看，由于尺寸的离散程度较小，采用对称分布，可用概率法计算封闭环，因而在封闭环上可以获得较小的公差。

【例11－5】有一对开齿轮箱，如图11－12所示，根据使用要求，间隙A0=1～1.75mm,

已知A1=101mm，A2=50mm，A3=A5=5mm，A4=140mm，求各尺寸的极限偏差和公差。

解：依题意可知，这是一装配尺寸链，A0为装配后的技术要求，题目要求为根据这个技术要求求各零件的合理的公差和极限偏差。

(1)画尺寸链图，确定封闭环，增、减环。A0为间隙，是技术要求，所以A0为封闭环。如图11－12中尺寸链所示，抽象出尺寸链后，画上箭头，可以得出：增环是A1、A2；减环是A3、A4、A5。

图11-12齿轮箱装配尺寸链

(2)封闭环的基本尺寸、极限偏差和公差。

由式(11－3)得：

(3)确定各组成环的上、下偏差。按等公差法，由式(11－9)可得：

如果完全分配，那么显然不合理。考虑A1、A2为箱体尺寸，按一般箱体公差等级，取IT12，再依据标准公差表取公差：T1=0.35，T2=0.25。A3、A5为小尺寸，按非配合件公差处理,取IT10，则T3=T5=0.048，由于封闭环是固定的，因此确定一组成环为协调环，以保证分配公差后，仍然符合前面所确定的极值法公式。现取A4为协调环，则有：

T4=T0

－T1

－T2

－T3

－T5

=0.75－0.35－0.25－0.048－0.048=0.054mm按“入体法则”标注各项偏差，有：

按公式计算协调环A4的上、下偏差，由式(11－6)可得：

ES0=(ES1+ES2)－（EI3+EI4+EI5）

EI4=ES1+ES2―EI3―EI5―ES0

=（+0.35）+(+0.25)－(－0.048)－(－0.048)－(+0.75)=－0.054mmEI0=(EI1+EI2)－（ES3+ES4+ES5）

ES4=EI1+EI2―ES3―ES5―EI0=0+0―0―0―0=0校验计算结果：

T0=T1+T2+T3+T4+T5

=0.35+0.25+0.048+0.054+0.048=0.075mm按标准公差圆整，将T4取为0.040，这里仍取原结果。

需指出的是，其他组成环之一也可以选做协调环。用平均公差法较为简单，但要求有熟练的经验，否则主观随意性太大。此法多用于环数不多的情况。用平均公差等级法解尺寸链的步骤与平均公差法完全相同。这里只介绍用相同等级法计算组成环公差，再确定上、下偏差的方法。

由式(11－10)可得：

由公差等级系数a查标准公差计算公式表，知公差为11级，再查标准公差表得：

T1=220μm，T2=160μm，T3=T3=75μm。

协调环的公差为

T4=T0-（T1+T2+T3+T5）=750-（220+160+75+75）=220μm

同样，按“入体法则”确定各组成环的极限偏差为

除了个别组成环外，均为标准公差和极限偏差，方便合理。极值法可以保证完全互换，而且计算简单。但当组成环较多时，用这种方法就不合适，因为这时各组成环公差很小，加工很不经济。对精度要求较高且环数较多的尺寸链，应采用概率法。

11.2.2概率法解尺寸链

当组成环环数较多时，不宜采用极值法。极值法一般应用于3～4环的尺寸链，或环数虽多，但精度不高的场合。对精度要求较高且环数较多的尺寸链，采用概率法求解比较合理。

概率法解尺寸链的基本出发点是以保证大数互换为目的，根据各组成环的实际尺寸在其公差带内的分布情况，按某一置信概率求得封闭环的尺寸实际分布范围，由此决定封闭环公差。显然，概率法较为符合生产实际，在机械制造中经常采用。事实上，概率法更为合理、科学。

表11－2极值法和概率法的比较

1．基本关系式

概率法基于以下假设：

（1）各组成环为一系列独立的随机变量；

（2）各组成环的尺寸都按正态分布，则封闭环亦按正态分布；

（3）各组成环分布中心与公差带中心重合。

由于系统误差按代数和法合成；而随机误差按方和根法合成，则有封闭环公差与组成环公差的关系：（置信概率为99.73%）

（11－11）

图11－13所示为尺寸分布情况。在图11－13中，令上偏差与下偏差的平均值为中间偏差，用Δ来表示，即：

（11－12）

当各组成环对称分布时，封闭环中间偏差Δ0为各组成环中间偏差的代数和，即：

（11－13）同时原有的各组成环的基本尺寸和极限偏差需改写成：

（11－14）

图11－13尺寸分布

但是在生产实践中，各组成环往往呈偏态分布，或呈瑞利分布、三角分布、均匀分布，此时封闭环仍然是正态分布。例如，大批量生产时，为正态分布；按试切法加工时，为偏态分布。当各组成环为不同于正态分布的其他分布时，需引入一个说明分布特性的相对分布系数K和一个相对不对称系数e，如表11－3所示。

表11－3典型分布系数K与e值

这时中间偏差应改写为

封闭环公差应为

（11－15）

（11－16）

2.概率法解正计算问题

【例11－6】仍然用圆套的例子，如图11－14所示。

图11－14圆套

解：（1）画尺寸链图。增环是A1/2，A3；减环是A2/2。

（2）计算壁厚的基本尺寸和上、下偏差。

①求增减环的中间偏差和公差：

故

同理,A3=0±0.01Δ3=0T3=0.02故

同理,故

②求封闭环的基本尺寸。按极值法由式(11－3)得：

③求封闭环的偏差量。由式(11－13)得：

Δ0=（Δ1+Δ3）－Δ2=〔（-0.03）+0〕－(+0.015)=－0.045④求封闭环公差，各组成环为正态分布。由式(11－11)得：

则有A0=5+（-0.045）±0.04/2,圆整后即重新换回原来的极值法形式

（3）验算：

T0=ES0－EI0=（-0.025）－(-0.065)=0.04所以壁厚为

显然，此公差与极值法求得的公差0.07相比要小得多，即壁厚的精度提高了。

3.概率法解反计算问题

概率法的最基本公式是，当已知封闭环公差T0，欲求各组成环的公差及偏差时，与极值法一样，可用等公差法或等精度法。偏差分配时，仍然遵守入体法则或对称分布。用概率法进行反计算在机械制造工艺中应用较为广泛。

(1）平均公差法亦称等公差法，即各组成环公差近似相等的方法。

由式(11－16)，得：

（各环具有相同的相对分布系数）

若所有的组成环都为正态分布，则：

（11－18）

由式(11－17)和式(11－18)可求得各组成环的平均公差。根据基本尺寸的大小和加工的难易等因素，可将各组成环的公差适当调整，但应满足式(11－19)：

（11－19）

(2）平均公差等级法亦称等精度法，即各组成环精度近似相等的方法。

由Ti=aii和式（11－16）得：因此有：

若各组成环为正态分布，则

（11－20）

【例11－7】沿用例11－5。有一对开齿轮箱，如图11－15，根据使用要求，间隙A0=1～1.75mm。已知：A1=101mm，A2=50mm，A3=A5=5mm，A4=140mm，求各尺寸的极限偏差和公差。

解：画尺寸链图，确定封闭环，增环，减环，同例11－5。现用概率法计算各组成环的上、下偏差，选定A4为协调环。

图11－15齿轮箱装配尺寸链

（1）计算封闭环的基本尺寸、公差和极限偏差，同例11－5。

由式(11－3)得：

A0=（A1+A2）－（A3+A4+A5）=（101+50）－（5+140+5）=1由式(11－6)得：

ES0=Amax－A0=1.75－1=+0.75EI0=Amin－A0=1－1=0T0=Amax－Amin=1.75－1=0.75（2）用平均公差法确定各组成环公差。

设各组成环为正态分布，因式(11－18)中，ξi为+1和-1，

，故有：

以Ti=0.34mm为参考，按各组成环的难易程度调整各环的公差，并尽量考虑选用标准公差，按IT13选用箱体尺寸公差，按IT10选用轴套台阶公差：T1=0.54mm，T2=0.39mm，T3=T5=0.048mm。由式(11－11)得：

（3）确定除协调环以外所有组成环的极限偏差。

根据“入体法则”确定各组成环的极限偏差：

（4）将已确定的环写成对称偏差的形式，求中间偏差。

由式(11－12)得：

（5）确定协调环的中间偏差和极限偏差。

由式(11－13)得：

Δ0=（Δ1+Δ2）-（Δ3+Δ4+Δ5）

Δ4=Δ1+Δ2-Δ3-Δ5-Δ0

=（+0.27）+(+0.195)-(-0.024)-(-0.024)-(+0.375)=+0.138mmA4=140+(+0.138)±0.34/2=140.138±0.17=140（6）校验计算结果。已知T0=0.75mm，而

校验无误,结果为

【例11－8】用平均公差等级法（等精度法）求上例各组成环的公差和极限偏差。

解：(11－20)得：

=196.56ii和a的意义与极值法相同

查标准公式计算公式表，a=196.56相当于IT12-----IT13，T1，T2按IT13查表，T3，T5按IT12查表：T1=0.54mm，T2=0.39mm，T3=T5=0.12mm，则：

可查标准公差表，按IT12取T4=0.25mm。根据入体法则，各组成环的极限偏差：

由式(11－13)得：

Δ0=（Δ1+Δ2）-（Δ3+Δ4+Δ5）Δ4=Δ1+Δ2-Δ3-Δ5-Δ0=（+0.27）+(+0.195)-（-0.06）-（-0.06）-(+0.375)=+0.21mmA4=140+(+0.21)±0.25/2=140.21±0.125=140

mm

例11-9

图11-16为车床主轴的装配简图。设普通车床径向跳动容许偏差为0.01mm，L1=500mm，L2=100mm，后轴承内径为80mm，前轴承内径为100mm。试确定轴承的公差等级。

解：应分析前后轴承的径向跳动对主轴径向跳动的影响。再根据技术要求，求出前后轴承的内圈跳动公差，进而选取前后轴承。

首先画尺寸链图。径向跳动是在任意方向上的，为计算方便，故考虑E1

和

E2

之间的投影夹角分别为0和π时的尺寸链图，如图11-16：

图11－16机床主轴的装配简图

解：应分析前、后轴承的径向跳动对主轴径向跳动的影响。再根据技术要求，求出前、后轴承的内圈跳动公差，进而选取前、后轴承。

首先画尺寸链图。因径向跳动是在任意方向上的，为计算方便，故考虑E1和E2之间的投影夹角分别为0和π时的尺寸链图，如图11－16所示，则

故

由相似三角形计算得：

由尺寸链得：

故

由跳动反映的偏心遵循瑞利分布，K1=K2=1.14。若用等公差法确定两轴承跳动公差T1与T2，即令：

ξ1K1T1=ξ2K2T2

由式(11－16)得：

所以

按内圈跳动公差为0.025mm，后轴承取0级精度，而前轴承按内圈跳动公差为0.005mm取4级精度。此题也可用矢量尺寸链来求解。概率法计算尺寸链公差的优点是比较符合实际，能使组成环获得较为经济合理的公差；缺点是只能保证大数互换，有极少数产品不合格。

【例11－10】有一连杆如图11－17所示，要求加工完后，两轴线的平行度小于0.05/100,试求精加工中车端面和镗孔工序中应保证