中考数学二轮培优训练专题27 四点共圆(原卷版)

专题27四点共圆四点共圆的性质：1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；3)圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）。四点共圆的判定方法：1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。如图，若AO=BO=CO=DO，则点A、B、C、D四点共圆。理由：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）。2）共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆(可在考试中直接使用)。如图，已知△ABC和△BCD为直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，点0为斜边中点则点A、B、C、D四点共圆。理由：连接AO、OD∴AO=BO=CO=DO∴点A、B、C、D四点共圆3）同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆。已知：在BC同侧两个三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC

求证：A、B、C、D四点共圆

证明(反证法)：过A，B，D作圆O，交BC所在直线于C’，连结DC’，使∠BAC＝∠BDC’∵∠BAC＝∠BDC∴∠BDC＝∠BDC’①又∵∠BDC与∠BDC’有相同的顶点且点C与点C’不重合∴∠BDC≠∠BDC’②则①与②矛盾∴点C与点C’重合，则点C也在圆O上，即点A、B、C、D四点共圆4)对角互补四边形的四个顶点共圆。已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°求证：A，B，C，D四点共圆证明（反证法）：过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。5)在⊙O中，弦AB、CD相交于点P,若AP•DP=BP•CP，则A、B、C、D四点共圆。证明：在△APB和△CPD中AP•DP=BP•CP∠3=∠4∴△APB∽△CPD∴∠1=∠2则A、B、C、D四点共圆6)若AB、CD两条线段延长后交于点P,且AP•BP=CP•DP，则A、B、C、D四点共圆。证明：在△APC和△DPB中AP•BP=CP•DP∠P=∠P∴△APC∽△DPB∴∠1=∠3而∠2+∠3=180°∴∠1+∠2=180°则A、B、C、D四点共圆【培优过关练】1．（湖南省长沙市湘郡未来中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷）如图，已知

△ABC

中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∠CPB=∠A，过点

C

作

CP

的垂线，与

BP

的延长线交于点

Q

，则A．4 B．5 C．

1542．（浙江省嘉兴市2021年中考数学真题）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为（

A．13 B．522 C．3．（2021年江苏省无锡市滨湖区、经开区七校联考中考二模数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2021年广东省深圳市龙岗区九年级下学期教学质量检测数学试卷（二模））如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，P是BC边上的一点，且PC=2PB，连接AP、OP、DP，线段AP、DP分别交对角线BD、AC于点E、F．过点E作EQ⊥AP．交CB的延长线于Q．下列结论中：①；②AE=EQ；③sin∠PAC=13A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（江苏省宿迁市沭阳县沭阳红岩学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，点P为平面内一点，且∠A．175 B．154 C．46．（山东省烟台市芝罘区（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．7．（2020年湖北省武汉中考数学二模试题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△AEF，EF交BC于点N，连接AN，若∠C=57°，则8．（广东省珠海市香洲区紫荆中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度α，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．（1）求证：BE＝CD；（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜α＜90°时加以证明）（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．9．（湖北省武汉市汉阳区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是；②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．10．（2021年福建省福州外国语学校中考适应性练习三模数学试题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，．将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α0°<α<60°得到Rt△DEB，直线（1）如图1，当时，连接BP．①求△BDP②求tan∠（2）如图2，连接AD，若F为AD中点，求证；C，E，F三点共线．11．（2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考二模数学试题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．12．（2021年福建省九年级下学期百校联考（诊断卷二）数学试题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC（2）连接AG，若AG=BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠13．（2021年新动力数学元月调考模拟试题（二））问题背景：在学习课本例题“矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D在同一个圆上”后，小明进行了如下研究：（1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是对角线，取BD的中点O，连接OA，OC，得点A，B，C，D在⊙O上，进而可得∠BAC=∠BDC，请帮小明按照思路补全图形，并写出证明过程；迁移应用：（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，证明：AB=2CE；拓展应用：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若点D满足AD=AC14．（浙江省宁波市鄞州区东钱湖中学2019年九年级上学期10月月考数学试题）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)，BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．（1）求证：ΔABC是半直角三角形；（2）求证：∠DEC=∠DEA；（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；（4）BC交y轴于点N，问CNOD的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由15．（第九章圆（二））如图所示，正方形ABCD中，BD为对角线，点E为BD上一点，过E作EF⊥AE，交DC于F，求证：16．（2023年陕西省渭南市临渭区中考一模数学试卷）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．(1)【问题探究】如图1，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿翻折，点C的对应点F恰好落在边AD上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上；(2)如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AB=BC=52，CD=6，求四边形ABCD(3)【问题解决】如图3，四边形ABCD是某公园的一块空地，现计划在空地中修建AC与BD两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中△ADP与△BCP空地中种植草坪，△ABP与△CDP空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知AB=CD，BD=150m，AC=100m，∠BAC+∠BDC=180°，且点C到BD的距离是40m，求种植牡丹花的地块17．（2023年河南省周口市郸城实验中学等两校九年级中考数学一模试题）请阅读以下材料，完成相应任务．我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．已知：如图1，点C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB=求证：点A，B，C，D四点共圆．证明：作ΔABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在如图2，若点D在⊙O外．设AD与⊙O交于点E，连接则（依据一），又（依据二），．∴∠ACB>∠ADB．这与已知条件“∠ACB=∠如图3，若点D在⊙O内，（请同学们补充完整省略的部分证明过程）综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即点A，B，C(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；依据一：；依据二：．(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(3)填空：如图4，在四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD，对角线AC，BD交于点E，E为AC中点，若BD=6，BE=4，则18．（浙江省宁波市鄞州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠(1)请完善探究展示(2)如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°(3)拓展探究：如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE①求证：A，D，B，E四点共圆；②若AB=22，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由19．（吉林省长春市长春外国语（实验）学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）[问题情境]如图①，在四边形ABCD中，，求证：四点共圆．小吉同学的作法如下：连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；[问题解决]如图②，在正方形ABCD中，AB=2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连接AE,AF，作EP⊥AF于点（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为

；（2）如图③，过点Р分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，则20．（江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．(1)在图①、②中，取AC的中点O，根据得OA=OB=OC=OD，即A，B，C，D共圆；(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得=180°，所以∠BED=，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，(3)利用四点共