2024-2025学年山东省济南市高一上册1月期末数学综合检测试题（含解析）

2024-2025学年山东省济南市高一上学期1月期末数学综合检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．“”是“函数的定义域为R”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．计算的结果等于（

）A． B． C． D．3．若命题“存在，使”是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（

）A． B． C．6 D．5．函数的图象大致为（

）A．B．C． D．6．函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．7．已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数在区间上单调递减，则m的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9．下列说法正确的是（

）A．若实数，满足，则B．函数的最小值为C．已知，其中为第三象限角，则D．若函数，则对任意，有10．下列说法正确的是（

）A．函数（且）的图象恒过定点B．若函数是奇函数，则函数的图像关于点对称C．的单调递增区间为D．若直线与函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是11．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，，有；②对任意的a，b，，有；③存在，使得对任意的，有，e称为单位元；④对任意的，存在，使，称a与b互为逆元.则称G关于“”新构成一个群.则下列说法不正确的有（

）A．关于数的乘法构成群B．自然数集关于数的加法构成群C．实数集R关于数的乘法构成群D．关于数的加法构成群三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若角的终边经过点，则．13．若函数，则不等式的解集为．14．不等式在上有解，则实数m的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分。15．已知命题，使得，当命题为真命题时，实数的取值集合为．(1)求集合；(2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.16．已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的单调区间；(3)求在区间上的最值．17．已知定义在上的函数图象关于原点对称，且.(1)求的解析式；(2)判断并用定义证明的单调性；(3)解不等式.18．已知定义在R上的函数满足且，．(1)若不等式恒成立，求实数a取值范围；(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．19．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标变），得到函数的图象，当时，求函数的值域.（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，，试确定的值，并求的值.数学答案题号12345678910答案CBBACCBDADABD题号11答案ABC1．C【分析】求出函数的定义域为R时的范围，再根据充要条件的定义判断即可．【详解】若函数的定义域为R，则当，，符合要求；当时，有，解得，综上所述，，故“”是“函数的定义域为R”的充要条件.故选：C.2．B【分析】结合诱导公式，逆用两角和的正弦公式求值即可.【详解】.故选：B3．B【分析】根据特称量词命题的真假结合判别式求解，即得答案.【详解】由题意知命题“存在，使”是真命题，即有实数解，故，即实数的取值范围是，故选：B4．A【分析】设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案.【详解】设，则以点分别为圆心，圆弧所对的每个扇形面积均为，等边的面积，所以莱洛三角形的面积是，则．，弓形的周长为．故选：A5．C【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在上函数值符号，即可确定图象.【详解】由解析式，知的定义域为，，所以为奇函数，其图象关于原点对称，BD不合题意，当时，，，则，所以在上，结合各项函数图象知，A选项不合题意，C选项满足要求.故选：C6．C【分析】根据指对数函数性质及解析式判断单调性，应用零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】由解析式知，在上是增函数，且，，所以的零点所在区间为．故选：C7．B【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【详解】由题意可知：函数为定义域在上的奇函数，且为增函数，因为，则，可得，即，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.8．D【分析】由三角函数的图象变换求得函数y=fx的解析式，再根据正弦型函数的单调性，求得的取值，进而求得的最小值.【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象对应的函数的图象，因为在区间上单调递减，所以且，解得，即，令，可得的最小值为.故选：D.9．AD【分析】对于A，利用基本不等式和幂的性质可得恒成立；对于B，利用基本不等式求最值时，需要查验等号是否成立，而，故该函数取不到最小值为；对于C，注意到利用题设条件推得，求得，利用诱导公式即可求得，可判断C项错误；对于D，利用作差比较法推得，由即可推出.【详解】对于A，由可得，则，当且仅当时等号成立，又，故必有成立，故A正确；对于B，由，可得，故，因，故函数取不到最小值为，即B错误；对于C，由题意，则，因，可得，故，而，故C错误；对于D，因，，则由，因，则，即得,即,因，故得.故D正确.故选：AD.10．ABD【分析】根据可判断A；利用奇函数的图象的对称性和函数图象的平移可判断B，根据复合函数的单调性可判断C；通过画函数图象可判断D.【详解】对于A，当时，，所以函数的图象恒过定点，故A正确；对于B，因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，因为函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位得到，所以函数的图像关于点对称，故B正确；对于C，设，则，由，得或，因为在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以的单调递增区间为，故C错误；对于D，当时，函数的图象下图所示，当时，函数的图象下图所示，则当时，直线与函数的图象有两个公共点，所以，故D正确.故选：ABD.11．ABC【分析】反例判断A，B，C是否满足④，对于D，对所有的，设，求出，依次看是否满足要求.【详解】A：由且，使，但，不存在，使，故A错误；B：由且，都有，但，不存在，使，故B错误；C：由且，使，但，不存在，使，故C错误；D：对所有的，可设，则，①满足加法结合律，即，有；②，使得，有；③，设，使，正确.故选：ABC.关键点点睛：对于D，对所有的，，求出.12．/【分析】根据终边的点求三角函数值，即可求目标式的值.【详解】∵角的终边经过点，∴，，，∴.故答案为.13．【分析】首先判断函数的奇偶性，再把不等式化为，根据对数函数性质及解析式判断时的单调性，最后利用奇偶性、单调性解不等式.【详解】由，且定义域为R，则为偶函数．则，由，可得，又，由复合函数的单调性知、在上单调递增．所以，时单调递增，所以，得，或，解得或．所以解集为故14．【分析】变形得到在上有解，换元后得到函数的最小值，从而得到.【详解】，其中，故在上有解，令，则，其中在上单调递增，故当时，取得最小值，最小值为，故，实数m的取值范围是.故15．(1)(2)．【分析】（1）由题意可得方程有解，根据即可求解.（2）由题意得，列出不等式组求解即可.【详解】（1）由题意可得方程有解，所以，即，解得，所以．（2）因为是的必要条件，所以，又因为为非空集合，且，所以解得，所以实数的取值范围为．16．(1)；(2)答案见解析；(3)最小值为0，最大值为2.【分析】（1）先利用三角变换公式把化成的形式，利用求函数周期．（2）整体换元法求函数的单调区间.（3）整体换元法求函数的值域．【详解】（1）因为．由，所以函数的最小正周期为．（2）由得：．由得：．所以函数的单调增区间为；单调减区间为．（3）因为，所以．所以，函数在上的最小值为0，最大值为2．17．(1)(2)在上单调递增，证明见解析(3)【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合代入计算即可得；（2）借助单调性的定义证明即可；（3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得.【详解】（1）由题意可得为奇函数，，即，又，故，即，此时有，故为奇函数，图象关于原点对称，故；（2）在上单调递增，证明如下：令，则，由，则，，，故，即在上单调递增；（3）由题意可得为奇函数，则得，又在上单调递增，则有，解得，故不等式的解集为.18．(1)(2)(3)【分析】（1）根据，代入计算可得；（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.【详解】（1）由题意知，，即，所以，故.（2）由（1）知，，所以在R上单调递增，所以不等式恒成立等价于，即恒成立.设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，故实数a的取值范围是.（3）因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以当时，，又的对称轴为，，当时，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，，解得，所以，综上可知，实数m的取值范围是.19．（1）；（2）；（3），.【详解】（1）利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，利用正弦函数的周期，奇偶性求得函数的解析式，进而求得函数的递减区间；（2）利用函数的图象变换规律，求得函数的解析式，进而求得函数的值域；（3）由方程，得到，根据，求得，设，转化为，结合正弦函数的图象与性质，即可求解.（1）由题意，函数因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得，又由函数为奇函数，可得，所以，因为，所以，所以函数，令，解得，可函数的递减区间为，再结合，可得函数的减区间为.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得