2024-2025学年广东省江门市蓬江区九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年广东省江门市蓬江区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．（3分）若y＝（a﹣3）x2+bx+c是关于x的二次函数，则a的取值范围是（）A．a＝3 B．a＝﹣3 C．a≠3 D．a≠﹣32．（3分）下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形是（）A． B． C． D．3．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2x+1＝0 B．+1＝0 C．x﹣＝0 D．x+y＝04．（3分）成语“水中捞月”所描述的事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定5．（3分）已知反比例函数图象经过点（1，2），若该函数图象也经过点（﹣2，n），则n的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．（3分）若点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y27．（3分）如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合（）A．40° B．50° C．60° D．70°8．（3分）如图，筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具．圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN长为6m，则圆心O到弦MN所在直线的距离为（）A．4m B．5m C．m D．m9．（3分）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数的图象如图所示，则一次函数（）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，MN⊥x轴，将△MNO绕点M逆时针旋转到△MN1O1的位置，使点N的对应点N2落在直线上，再将△MN1O1绕点N1逆时针旋转到△M1N1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线上，依次进行下去，若点N的坐标为（1，0）20的纵坐标为（）A．20+5 B．5+20 C．15+5 D．15+15二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．（3分）将抛物线y＝3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝．13．（3分）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同．14．（3分）如图，△ABC是一张三角形纸片，AB＝5cm，小陈准备用剪刀在⊙O的左侧沿着与⊙O相切的任意一条直线DE剪下△CDE，若剪下的△CDE的周长为11cmcm．15．（3分）反比例函数y1、y2＝﹣在第二象限的图象如图所示，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于点B，交y轴于点C，若△AOB的面积是31的解析式为．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16．（7分）解方程：2x2+5x＝x+2．17．（7分）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，再把它放回袋中，不断重复上述过程．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001503005008001000摸到红球的次数m6193b301480601摸到红球的频率a0.620.590.6020.600.601（1）表中的a＝，b＝；（2）“摸到红球”的概率的估计值是（精确到0.1）；（3）如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣8x+3m+1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位（0，3）、B（﹣2，0）、C（﹣4，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段AC在旋转过程中扫过的面积．（结果保留π）20．（9分）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，线段BC为一次函数图象的一部分．（1）求y与x的函数关系式；（2）如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？21．（9分）【综合与实践】主题：如图，装饰圆锥形生日帽．素材：母线AP＝18cm，高的圆锥形生日帽，四张颜色不同（红、黄、蓝、绿）步骤1：若生日帽侧面展开所得的扇形圆心角记为n°，请把红、黄、蓝、绿四张卡纸依次按照该圆心角3：1：2：2的比例剪成半径为18cm的扇形；步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在生日帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖生日帽外表面且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，得到四彩生日帽．【计算与探究】（1）计算黄色扇形卡纸的圆心角的度数；（2）为了使所制作的生日帽更美观，需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带进行装饰（彩带的宽度忽略不计）五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，,第23题14分，共27分．22．（13分）如图所示的是一块直角三角板ABC和一个量角器拼在一起，∠CAB＝60°，直角三角板的斜边AB与量角器所在圆（记圆心为O），量角器最外缘的读数是从点P开始（即点P处的读数为0），现有射线CM从CA的位置开始，当射线CM与Rt△ABC的外接圆第一次相切时停止旋转．在旋转过程中，射线CM与Rt△ABC的外接圆相交于点D．（1）当射线CM与Rt△ABC的外接圆第一次相切时，求射线CM旋转的度数；（2）当射线CM分别经过Rt△ABC的外心、内心时，点D处的读数各是多少？（3）当射线CM旋转多少秒时，△DAC是等腰三角形．23．（14分）【问题背景】如图1，二次函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，现将图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，翻折后的部分与原图象x轴上方部分组成新的函数图象．【问题探究】（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）若直线y＝﹣x+b与新的函数图象恰好有3个公共点时，求b的值；【问题拓展】（3）如图2，直线l与x轴平行，且与新的函数图象共有4个公共点，当QM＝PQ+MN时，求点M的坐标．

2024-2025学年广东省江门市蓬江区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CCACBACDBD一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1．（3分）若y＝（a﹣3）x2+bx+c是关于x的二次函数，则a的取值范围是（）A．a＝3 B．a＝﹣3 C．a≠3 D．a≠﹣3【解答】解：∵y＝（a﹣3）x2+bx+c是关于x的二次函数，∴a﹣6≠0，即a≠3．故选：C．2．（3分）下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形是（）A． B． C． D．【解答】解：A、不是中心对称图形；B、不是中心对称图形；C、是中心对称图形；D、不是中心对称图形；故选：C．3．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+2x+1＝0 B．+1＝0 C．x﹣＝0 D．x+y＝0【解答】解：A．x2+2x+6＝0是一元二次方程，故本选项正确；B.+2＝0是一元一次方程；C．x﹣，故本选项不正确；D．x+y＝6是二元一次方程；故选：A．4．（3分）成语“水中捞月”所描述的事件是（）A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定【解答】解：水中捞月是不可能事件，故选：C．5．（3分）已知反比例函数图象经过点（1，2），若该函数图象也经过点（﹣2，n），则n的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（1，∴＝2，解得k＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵点（﹣2，n）在反比例函数的图象上，∴n＝＝﹣1．故选：B．6．（3分）若点A（1，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数的图象上，则（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2【解答】解：在同一象限内，y＝中，∵0＜4＜2＜3，∴y4＜y2＜y1；故选：A．7．（3分）如图，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合（）A．40° B．50° C．60° D．70°【解答】解：360°÷6＝60°，则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，故选：C．8．（3分）如图，筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具．圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦MN长为6m，则圆心O到弦MN所在直线的距离为（）A．4m B．5m C．m D．m【解答】解：如图，过点O作OC⊥MN于点C，∴MC＝MN＝3m，在Rt△OCM中，OM＝4m，∴OC＝＝＝（m），即圆心O到弦MN所在直线的距离为m，故选：D．9．（3分）已知在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx和反比例函数的图象如图所示，则一次函数（）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【解答】解：∵二次函数开口向上，∴a＞0；∵二次函数的对称轴在y轴右侧，左同右异，∴b符号与a相异，b＜0；∵反比例函数图象经过二、四象限，∴c＜4，∴＜0，∴一次函数的图象经过第二、三，故选：B．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，MN⊥x轴，将△MNO绕点M逆时针旋转到△MN1O1的位置，使点N的对应点N2落在直线上，再将△MN1O1绕点N1逆时针旋转到△M1N1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线上，依次进行下去，若点N的坐标为（1，0）20的纵坐标为（）A．20+5 B．5+20 C．15+5 D．15+15【解答】解：∵直线，∴∠MON＝60°，∵点N的坐标为（1，2），∴ON＝1，OM＝2，∴OO2＝3+，OO4＝2（4+），OO6＝7（3+），OO5＝4（3+），……，OO20＝10（3+），点O20的纵坐标为：8（3+）×+15．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11．（3分）将抛物线y＝3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是y＝3x2+2．【解答】解：∵抛物线y＝3x2的顶点坐标为（3，0），∴向上移2个单位后的抛物线顶点坐标为（3，2），∴新抛物线解析式为y＝3x4+2．故本题答案为：y＝3x4+2．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个解为x＝1，则a＝﹣3．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+a＝5的一个解为x＝1，∴1+7+a＝0，∴a＝﹣3．故答案为：﹣2．13．（3分）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同．【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积，∴小球最终停留在黑砖上的概率是＝．故答案为：．14．（3分）如图，△ABC是一张三角形纸片，AB＝5cm，小陈准备用剪刀在⊙O的左侧沿着与⊙O相切的任意一条直线DE剪下△CDE，若剪下的△CDE的周长为11cm21cm．【解答】解：设⊙O与AB、BC、AC分别相切于点F、G、L、H，∵AH＝AF，BG＝BF，∴AH+BG＝AF+BF＝AB＝5cm，∵DH＝DL，EG＝EL，∴CH+CG＝CD+DH+EG+CE＝CD+DL+EL+CE＝CD+DE+CE＝11cm，∴AC+BC+AB＝CH+CG+AH+BG+AB＝11+5+2＝21（cm），∴△ABC的周长为21cm，故答案为：21．15．（3分）反比例函数y1、y2＝﹣在第二象限的图象如图所示，过y2上的任意一点A，作x轴的平行线交y1于点B，交y轴于点C，若△AOB的面积是31的解析式为y1＝﹣．【解答】解：设双曲线y1的解析式为y1＝，由题意得：S△AOC﹣S△BOC＝S△AOB，﹣＝3，解得：k＝±6；∵反比例函数的图形位于第二象限，∴双曲线y1的解析式为y1＝﹣．故答案为：y1＝﹣．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16．（7分）解方程：2x2+5x＝x+2．【解答】解：2x2+8x＝x＝2，2x7+5x﹣x﹣1＝2，2x2+3x﹣2＝0，x4+2x﹣1＝3，a＝1，b＝2，Δ＝4+4＝8＞5，∴x＝＝﹣1．∴x7＝﹣1+，x8＝﹣1﹣．17．（7分）在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外无其他差别的小球，某数学学习小组做摸球试验，再把它放回袋中，不断重复上述过程．如表是活动进行中的一组统计数据：摸球的次数n1001503005008001000摸到红球的次数m6193b301480601摸到红球的频率a0.620.590.6020.600.601（1）表中的a＝0.61，b＝197；（2）“摸到红球”的概率的估计值是0.6（精确到0.1）；（3）如果袋中有24个红球，那么袋中除了红球外，还有多少个其它颜色的球？【解答】解：（1）a＝61÷100＝0.61，b＝300×0.59＝197；故答案为：4.61，197；（2）利用频率估计概率，可估计“摸到红球”的概率的估计值是0.6；故答案为：6.6；（3）24÷0.8﹣24＝16（个），答：袋中除了红球外，还有16个其它颜色的球．18．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣8x+3m+1＝0有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣8x+7m+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b8﹣4ac＝（﹣8）7﹣4×1×（5m+1）＝60﹣12m＝0，解得，m＝4，∴x2﹣8x+16＝4，∴（x﹣4）2＝4，∴x1＝x2＝2．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长都是1个单位（0，3）、B（﹣2，0）、C（﹣4，2）．（1）画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1；（2）画出将△ABC绕点O沿顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段AC在旋转过程中扫过的面积．（结果保留π）【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求．（2）如图，△A2B2C3即为所求．（3）由勾股定理得，OC＝＝，∴线段AC在旋转过程中扫过的面积为＝＝．20．（9分）近年来，许多特色的农产品随着直播漫步“云端”被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为5元/千克的农产品，经调查发现（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，线段BC为一次函数图象的一部分．（1）求y与x的函数关系式；（2）如何定价才能使这种农产品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y＝，把（5，240）代入y＝，∴反比例函数的解析式为y＝，设一次函数的解析式为y＝mx+n，把（8，150）和（23，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣10x+230；（2）设每天的销售利润为w元，当5≤x≤7时，根据题意得＝1200﹣，当x＝8时w的最大值为1200﹣＝450（元），当2＜x≤23时，根据题意得2+810，∴当x＝7时，w有最大值，答：定价为3元时才能使这种农产品每天的销售利润最大，最大利润是810元．21．（9分）【综合与实践】主题：如图，装饰圆锥形生日帽．素材：母线AP＝18cm，高的圆锥形生日帽，四张颜色不同（红、黄、蓝、绿）步骤1：若生日帽侧面展开所得的扇形圆心角记为n°，请把红、黄、蓝、绿四张卡纸依次按照该圆心角3：1：2：2的比例剪成半径为18cm的扇形；步骤2：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在生日帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖生日帽外表面且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，得到四彩生日帽．【计算与探究】（1）计算黄色扇形卡纸的圆心角的度数；（2）为了使所制作的生日帽更美观，需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带进行装饰（彩带的宽度忽略不计）【解答】解：（1）在Rt△AOP中利用勾股定理，得OA＝＝，×2π×18＝5π×6，解得n＝120，120°×＝15°．答：黄色扇形卡纸的圆心角的度数是15°．（2）如图，连接AA′，垂足为点C．∵AP＝A′P，PC⊥AA′，∴∠APC＝n°＝，∴AA′＝2AC＝7AP•sin∠APC＝2×18×＝18．答：彩带长度的最小值为18cm．五、解答题(三)：本大题共2小题，第22题13分，,第23题14分，共27分．22．（13分）如图所示的是一块直角三角板ABC和一个量角器拼在一起，∠CAB＝60°，直角三角板的斜边AB与量角器所在圆（记圆心为O），量角器最外缘的读数是从点P开始（即点P处的读数为0），现有射线CM从CA的位置开始，当射线CM与Rt△ABC的外接圆第一次相切时停止旋转．在旋转过程中，射线CM与Rt△ABC的外接圆相交于点D．（1）当射线CM与Rt△ABC的外接圆第一次相切时，求射线CM旋转的度数；（2）当射线CM分别经过Rt△ABC的外心、内心时，点D处的读数各是多少？（3）当射线CM旋转多少秒时，△DAC是等腰三角形．【解答】解：（1）∵Rt△ABC的斜边AB与量角器所在圆⊙O的直径PQ重合，∴AB为⊙O的直径，O为AB的中点，如图1，作Rt△ABC的外接圆，∵∠ACB＝90°，∴AB为Rt△ABC的外接圆的直径，∴Rt△ABC的外接圆与量角器所在圆⊙O是同一个圆，∵射线CM与⊙O相切于点C，∴CM⊥OC，∴∠OCM＝90°，∵OC＝OA＝OB＝AB，∴∠OCA＝∠CAB＝60°，∴∠ACM＝∠OCM+∠OCA＝90°+60°＝150°，∴射线CM旋转的度数为150°．（2）∵AB为Rt△ABC的外接圆⊙O的直径，O为AB的中点，∴O为Rt△ABC的外心，如图2，射线CM经过Rt△ABC的外心O，∴点D处的读数为120°；如图3，射线CM经过Rt△ABC的内心I，∵CM平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∴点D处的读数为90°，∴当射线CM分别经过Rt△ABC的外心、内心时、90°．（3）设当射线CM旋转x秒时，△DAC是等腰三角形，∵射线CM从CA的位置开始，以每秒5度的速度绕点C逆时针旋转，∴∠ACM＝3x度，如图4，△DAC是等腰三角形，∴＝，∴AB⊥CD，∴∠DAB＝∠CAB＝60°，∴∠CAD＝8∠CAB＝120°，∴∠ACM＝∠ADC＝×（180°﹣120°）＝30°，∴6x＝30，解得x＝10；如