2024届吉林省长春市某中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2024届吉林省长春市第五中学高三第二次诊断性检测数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数=（'是奇函数，则g（7（T））的值为（）

[g（x\x<0

A.-10B.-9C.-7D.1

2.关于函数/（此=2^上二+cos2/,下列说法正确的是（）

l+tan~x

A.函数的定义域为R

37r7r

B.函数一个递增区间为一七,二

C.函数/*）的图像关于直线x=£对祢

O

D.将函数y=V2sin2x图像向左平移£个单位可得函数>=fix）的图像

O

7171

3.已知”=log35，〃=（z）3,c=log]二，则。也C的大小关系为

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

4.设。<〃<1,随机变量J的分布列是

-101

3(I-p)21

P

35〃

23

则当〃在（；,：）内增大时，（）

34

A.EC）减小，D«）减小B.EC）减小，小。）增大

C.凤。）增大，。（。）减小D.七（。）增大，。（。）增大

5.已知边长为4的菱形ABC。，NDA8=60。,M为。。的中点，N为平面A8CO内一点，若AN=NM,则

AM-AN=()

A.16B.14C.12D.8

6.在三角形ABC中，67=1,"c=------------------,求〃sinA=()

sinAsinA+sinB-sinC

A.①B,巫C.1D.国

2322

7.若双曲线E：4-4=1(a>0力>。)的一个焦点为/(3,0),过/点的直线/与双曲线£交于A、8两点,

a-/r

且AB的中点为尸(—3,-6),则E的方程为()

c.£--21=1D.£._Z=1

44='«6336

8.在各项均为正数的等比数列｛〃〃｝中，若出4=3,则log34+log3〃2+，+log34o=（）

A.1+log35B.6C.4D.5

9.已知抛物线户=4x的焦点为凡抛物线上任意一点P,且产。_L），轴交y轴于点。，贝I」PQPF的最小值为（）

1I

A.--B.--C."ID.1

42

10.在长方体ABCO-AgGR中，4B=1,AD=6,A4,=百，则直线。。与平面48G所成角的余弦值为（）

B6一

235

11.己知函数/（x）=sinx+力，要得到函数g（x）=cosx的图象，只需将y=/（x）的图象（）

A.向左平移看个单位长度B.向右平移专个单位长度

C.向左平移当个单位长度D.向右平移当个单位长度

1212

2

12.双曲线工2_汇=1的渐近线方程为（）

2

A.y=±xB.y=±xC.y=±5/2.rD.y=±V3x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（26-出）的二项展开式中，含&项的系数为.

14.已知/"）=卜小1<0,若“3a—2）>4〃a）,则a的取值范围是.

15.已知集合A={x[/=2k-l,ReZ},B={x\x=2k,keZ]t则Ap|3=.

16.函数/*）=（a—1）n-3（a>La工2）过定点.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

fx=1+coscr

17.（12分）曲线G的参数方程为1.（口为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

[y=sina

系，曲线C2的极坐标方程为夕cos2e=4sin9.

（1）求曲线G的极坐标方程和曲线G的直角坐标方程；

（2）过原点且倾斜角为的射线/与曲线G，G分别交于两点（异于原点），求|04卜|。目的取值

范围.

18.（12分）已知。泊都是大于零的实数.

(1)证明三+”/+〃；

ba

⑵若，“，证明石>4.

19.（12分）如图，四边形A8CO是边长为3的菱形，。七」平面ABCD,A6JLA£>,AfV/OE,O£；=3Af\

（1）求证：ACJ•平面BDE;

（2）若跖与平面A3CO所成角为60°,求二面角尸—8E—。的正弦值.

20.（12分）已知函数/（\=Inx+f+l.

（1）若对任意x>0,/（x）<0恒成立，求实数。的取值范围；

22

（2）若函数/（X）有两个不同的零点由，X2（X1<X2）,证明：工+幺>2.

电

21.(12分)己知函数/")=-“sin.E.

jr

(1)若/•(X)在0,-上单调递增，求实数。的取值范围；

O

7T

(2)若0=1,对立£0,-,恒有八戏，乐成立，求实数匕的最小值.

乙

22.(10分)在如图所示的多面体中，四边形A4£G是矩形，梯形为直角梯形，平面DG即_L平面A跳:G,

且DG_LGE,DF//GE,AB=2AG=2DG=2DF=2.

(1)求证：FG上平面BEF.

(2)求二面角A-M-E的大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据分段函数表达式，先求得/(-1)的值，然后结合/(X)的奇偶性，求得g(7(T))的值.

【详解】

X'+xx>0

因为函数/(幻=<”一是奇函数，所以/(一1)二一/(1)=-2,

g(x\x<0

g(f(T)=g(-2)=f(-2)=一/⑵=-10.

故选：B

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求函数值，考查数形结合思想.意在考查学生的运算能力，分析问题、解决

问题的能力.

2、B

【解析】

化简到/(x)=应sin(2x+(),根据定义域排除ACO,计算单调性知3正确，得到答案.

【详解】

_2tan:+cos2x=sin2x+cos2x=&sin(2x+2],

1+tan2xI4j

故函数的定义域为，xxw'+k/MsZ卜故A错误；

JTjr71

当~—时，2x+—e,函数单调递增，故8正确；

ooJ4122

当工=一£,关于的对称的直线为工=£不在定义域内，故c错误.

482

平移得到的函数定义域为R,故不可能为)，=/*),。错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.

3、D

【解析】

分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.

详解：由题意可知：logy3<logy—<logfi,即I<〃v2,o<_L<_L=],即Ov〃<l,

■2⑷⑷

,1,«,7

/。处三=/，心5>/。©5，即。>〃，综上可得：c〉a>〃.本题选择。选项.

点睛：对于指数赛的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幕的底数或指数不相同，不

能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数嘉的大小比较时，若底数不同，则首先

考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数塞的大小的比较，利用

图象法求解，既快捷，又准确.

4、C

【解析】

E(4)=(-l)x1(i-/?)+^/?=|p-1,〃(幻=七«2)-七2(/，判断其在(4,内的单调性即可.

333334

【详解】

1।?1(23、

解：根据题意£4)=(-1必(1-〃)+)="=在"hq内递增，

2

E(^)=(-l)xl(l-/?)+lp=1

JJJ

〜小〜户、行“、1八、1N1、，4,424(1Y1

D(4)=£(4-)-£-(^)=-(l-p)+-p-(-/?--)­=--/<+-/^+-=--p--\+-，

1(23、

是以〃=彳为对称轴，开口向下的抛物线，所以在K，z上单调递减，

故选：C.

【点睛】

本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，属于中档题.

5、B

【解析】

取AW中点。，可确定AM.ON=0；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得AM2,利用

AMAN=AM(AO+ON\可求得结果.

【详解】

取中点。，连接ON,

I)wc

4R

•：AN=NM,ON±AM,即AMON=0.

NDAB=60，ZADM=120,

/.AM2=(DM-D/1)2=DM2+D>42-21DM|•|DA|COSZADM=4+16+8=28,

则AMAN=AM^AO+ON^=AMAO+AMON=^AM2=14.

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面

向量数量积的运算性质进行求解.

6、A

【解析】

利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角8的值，再利用正弦定理可求得bsinA的值.

【详解】

b+ca+b>pr人+ca+b-一加、、、

v---=---—：---由正弦定理得----=--------,整理得+c,—Zr=，4，

sinAsinA+sinB-sinCaa+b-c

22t2<

由余弦定理得cosB-"+c-------=—,,・,0<3<不，B=—.

lac23

由正弦定理得/?sinA=〃sinB=Ixsin—=—.

sinAsinB32

故选：A.

【点睛】

本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.

7、D

【解析】

求出直线/的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组,

求得的值，即可得到答案.

【详解】

由题意，直线/的斜率为4=即/=翳=1,

可得直线/的方程为），=工-3,

把直线I的方程代入双曲线二-4=1,可得S?-"+6〃2K一%?一=0,

a-b-

设人（内，片）,8（工2，%），则M+X,=J__r

a~b~

由A8的中点为。（一3,-6）,可得解答从=2标,

又由/=/=9,即/+2/=9,解得"瓜b=娓,

所以双曲线的标准方程为工=1.

36

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关

系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

8、D

【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算.

【详解】

由题意log3a}+log3a2++log36o=log3（的24o）

5

=log3（d//6）=5log3（6z5676）=51og33=5.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的性质,考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.

9、A

【解析】

设点尸则点Q（O,y），F（l,o）,利用向量数量积的坐标运算可得PQ•尸产二」（），2-2）2-1,利用二次函

、4J1674

数的性质可得最值.

【详解】

解：设点尸,则点Q（（）,y）,F（l,o）,

/.P2.PF=-^,0-1=^-^-=—（/-2）2--,

1^44-J16416%）4

当）/=2时，PQP厂取最小值，最小值为

4

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题.

10、C

【解析】

在长方体中A6//GR，得。2与平面A64交于R,过。做。。"LAR于。，可证。.平面A6GQ,可得

NQQA为所求解的角，解RfAADR,即可求出结论.

【详解】

在长方体中AB//G。］,平面4BG即为平面A8GQ,

过。做OOJ.AR于。，QA/JL平面

小匚平面明。。,，A3_L。。,ABCAR=D,

OO_L平面ABQD.,:.ZDD,A为DD、与平面ABC,所成角,

在RlMDD、,DD、=M=瓜AD=艮.AD、=亚,

DP,x/3x/15

cosNDD]A=

.•.直线DD,与平面ABC,所成角的余弦值为半.

故选:C.

【点睛】

本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.

11、A

【解析】

根据函数图像平移原则，即可容易求得结果.

【详解】

乃)，(乃、

因为fx+—=sinx+—=cosx,

I12jI2)

故要得到g(x),只需将/(x)向左平移5个单位长度.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题.

12、C

【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.

【详解】

2

双曲线/一2_二1,

2

・・•双曲线的渐近线方程为），=土&,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-160

【解析】

写出二项展开式的通项，然后取工的指数为:求得广的值，则五项的系数可求得.

【详解】

由3—号二!，可得厂=3.

62

・二含五项的系数为（一1）126-3.屐=一160.

故答案为：一160

【点睛】

本题考查了二项式定理展开式、需熟记二项式展开式的通项公式，属于基础题.

14、（2,+oo）

【解析】

函数/（1）等价为/（"二1N，由二次函数的单调性可得/（工）在A上递增，/（3。-2）＞4/（々）即为

f（3a-2）＞f（2a）t可得”的不等式，解不等式即可得到所求范围.

【详解】

-x2,x<0,等价为/。）=工可，

且x<0时，“"=一/递增，/>0时，递增，

且/（0）=0,在尢=0处函数连续，

可得/（工）在R上递增，

/（3〃-2）>4/（々）即为43。-2）>/（2）/（。）=/（为），可得3〃一2>2々，解得〃>2,

即〃的取值范围是（2,+8）.

故答案为：（2,内）.

【点睛】

本题考查分段函数的单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

15>0

【解析】

利用交集定义直接求解.

【详解】

解：-集合A={x|R=2攵一1/EZ}={奇数},

B={x[%=2&/wZ}={偶数},

:.Ar>B=0.

故答案为：0.

【点睛】

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

16、（0,—2）

【解析】

令x=0,/（0）=1-3=-2,与参数无关，即可得到定点.

【详解】

由指数函数的性质，可得x=0,函数值与参数无关，

所有/（刈=（•一1）、—3过定点（0,-2）.

故答案为：(0,-2)

【点睛】

此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)p=2cos。，X2=4y；(2)8,86).

【解析】

(1)先将曲线G化为普通方程，再由直角坐标系与极坐标系之间的转化关系：犬=pcos&)，=Qsin<9,02=f+y2,

可得G极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(JI乃、

(2)由已知可得出射线/的极坐标方程为。=a-<6Z<-，联立C1和的极坐标方程可得点A和点8的极坐标,

143>

从而得出|04H0M=8tana,由a的范围可求得4HoM的取值范围.

【详解】

(1)曲线G的普通方程为(4一1)2+9=1,即f+),2-2x=0,

其极坐标方程为/?2-2pcos=0=>p=2cos；

曲线G的极坐标方程为pcos20=4sin0,即22cos?6=42sin6,

其直角坐标方程为V=4y；

(2)射线/的极坐标方程为。-<«<-,

(43；

0—ct[0=cc4sincc

联立c=42cosa,a),联立〈,一八=B(——ta)

夕=2cos0夕cos_0=4sin。cos-a

八qsina八n7i匚

=2cosa----------=8tana,—<1<tan6/<v3

cos-a43

・•・I。4Ho网的取值范围是[886)

【点睛】

本题考查圆的参数方程与普通方程互化，圆，抛物线的极坐标方程与普通方程的互化，以及在极坐标下的直线与圆和

抛物线的位置关系，属于中档题.

18、(1)答案见解析.(2)答案见解析

【解析】

2g2

(1)利用基本不等式可得土+〃超。，艺+42b,两式相加即可求解.

ba

(L2\

二曲/(”与,代入不等式，利用基本不等式即可求解.

(2)由(1)知力..力a+b-----

a

【详解】

(1)—+b]&a,—+a2b

ba

两式相加得生+±./+b

ab

■(b2\

由知力..力=曲+2&

(2)(1)a+b-----a

1.b'(a-b)a1

于是，-----------------..ab+----------+—+----------

ba(a-b)ab'a(a—b)

,ab“a-b)1

ab+—r+H----------------

by)a(a-b))

..23>4.

ba

【点睛】

本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.

19、(1)证明见解析(2)2叵

13

【解析】

(1)由已知线面垂直得OEJ.AC,结合菱形对角线垂直，可证得线面垂直;

(2)由已知知两两互相垂直.以/冽3,。£分别为x轴，)'轴，z轴建立空间直角坐标系Dr”如图所示,

由已知线面垂直知跖与平面ABC。所成角为NOBE=60。，这样可计算出。£。尸的长，写出各点坐标，求出平面

的法向量，由法向量夹角可得二面角.

【详解】

证明：(1)因为OE_L平面A5CO,ACu平面A8CO,所以OE1AC.

因为四边形A3CO是菱形，所以ACJ.80.

又因为3DCDE=D，8Ou平面au平面

所以4C_L平面

解：（2）据题设知，D4,力CDE两两互相垂直.以。A/X?,O£分别为大轴，>轴，z轴建立空间直角坐标系Dr），z如图

所示,

np厂

因为班与平面A8CO所成角为60。，即/。8£=60。，所以——=V3

DB

又AO=3,OE=3Ab,所以。石=3",/1尸=遥，

所以A（3,O,O）,B（3,3,O）,F（3,O,#）,E（O,O,3"）,C（O,3,O）

所以8尸二（0,—3,6），石尸二（3,0,-27%）

-3y+«z=0

设平面BEF的一个法向量m=（x,y,z）,贝卜令z=\/6,则m=（4,2,>/6j.

3x-2>/6z=0

ULM1

因为4c_L平面BOE,所以C4为平面BDE的一个法向量，且C4=（3,—3,0）

…m-CA3x4+（-3）x2+0x太岳

blCOS<ZW,CA>=]r;r-[：=

IH|CA|，4、22+（甸2邛2+（一3）2+（）213，

13

所以二面角尸一4七一。的正弦值为二

13

【点睛】

本题考查线面垂直的判定定理和性质定理，考查用向量法求二面角.立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系，

用空间向量法求空间角，这样可减少思维量，把问题转化为计算.

20、（1）«<-1；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出/（X）,判断函数/（X）的单调性，求出函数/（X）的最大值，即求。的范围；

（2）由（1）可知，NG（0,1）,X2£。,转）.对12分々£（1,2）和/£[2,田）两种情况讨论，构造函数，利用放缩法

和基本不等式证明结论.

【详解】

(1)由〃力Jnx+or+1=皿得〃加_绊.

XfyiXt

令/(x)=0,."=l.

当Ovxcl时，/(^)>0；当X>1时，/(x)vO；

.•J(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+00)上单调递减，

.•・〃力皿=/(1)=。+1・

对任意%>0,/(冗)<0恒成立，/.4+1<0,「.4<一1.

(2)证明：由(1)可知，“X)在(0,1)上单调递增，在(l,y)上单调递减,

：.X}£(0,1),9€(1,+00).

若超«1,2),则2-占«0,1),

\nx1_ln(2-^)1

令g(x)=f(x)-〃2-x)=।,0<x<l

xx2-x2-x

Inxln(2-x)ln-(x-1)~+1八

InxIn(2-x)丁」=一一一->()

「•g(司=—彳z>

厂(2-4

・•.g(x)在(。,1)上单调递增，.•.g(“<g(l)=(V./(x)<〃2—x),

.-./(2-X1)>/(XI)=/(X2).

・・・大«0,1卜.2—>>1,又人>1，在(1，位)上单调递减,

:.2-xl<x29:.玉+工2>2.

若々E[2,+OO),贝UX>2显然成立.

综上，A|+X2>2.

又，+.E,22—xX)=2x,—-+M22

X2&—X

以上两式左右两端分别相加，得

百-+x,+吨-+%32(%+x,),即—+土->办+弓,

x2~X]x2x]

r2r2

所以工+工>2.

“%

【点睛】

本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，利用导数证明不等式，属于难题.

21、(1)[->/3,+oo)(2)-e1

7T

【解析】

⑴求得了"),根据已知条件得到f'(x)NO在05恒成立，由此得到。sinx+cosxNO在恒成立，利用

分离常数法求得。的取值范围.

(2)构造函数设g(x)=/(x)-法，利用求二阶导数的方法，结合g(x)W0恒成立，求得〃的取值范围，由此求得〃

的最小值.

【详解】

(1)fix)=ae<lxsinx+etlxcosx=eM(asinx+cosx)

TT兀

因为/⑴在o,-上单调递增，所以(。注°在0,-恒成立,

BP^sinA+cosx^OS0,—恒成立,

6

当x=0时，上式成立，aeR

当可哼+、COSX1-J11

,有;---=-------,需-------，

sinxtanxktanxymax

而0<xW二，()<tanx<且，_L>V3,__L<-V3,故CIN7

63tanxtanx

综上，实数。的取值范围是［-6,+8)

(2)设g(x)=f(x)-bx-exsinx-bx»