平面解析几何初步一轮复习-(有答案)

PAGE第四章平面解析几何初步第1课时直线的方程基础过关基础过关1．倾斜角:对于一条与x轴相交的直线,把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．若x1＝x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．3．直线方程的五种形式名称方程适用范围斜截式点斜式两点式截距式一般式典型例题典型例题例1.已知直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．①当m＝时，直线的倾斜角为45°．②当m＝时，直线在x轴上的截距为1．③当m＝时，直线在y轴上的截距为－．④当m＝时，直线与x轴平行．⑤当m＝时，直线过原点．解：(1)－1⑵2或－⑶或－2⑷－⑸变式训练1.（1）直线3y＋eq\r(3)x＋2=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°（2）设直线的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直线上的三点，则x2，y3依次是（）A．－3，4B．2，－3C．4，－3D．4，（3）直线l1与l2关于x轴对称，l1的斜率是－eq\r(7)，则l2的斜率是（）A．eq\r(7)B．－C．D．－eq\r(7)（4）直线l经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是．解：（1）D．提示：直线的斜率即倾斜角的正切值是－．（2）C．提示：用斜率计算公式．（3）A．提示：两直线的斜率互为相反数．（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直线方程的两点式或点斜式例2.已知三点A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求证：A、B、C三点在同一条直线上.证明方法一∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC，∴A、B、C三点共线.方法二∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三点共线.方法三∵A（1，-1），B（3，3），C（4，5），∴=（2，4），=（1，2），∴=2.又∵与有公共点B，∴A、B、C三点共线.变式训练2.设a，b，c是互不相等的三个实数，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC，∴，化简得a2+ab+b2=a2+ac+c2，∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.例3.已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1).试求：的最大值与最小值.解：由的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与曲线段AB上任一点（x,y)的直线的斜率k,如图可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），∴≤k≤8，故的最大值为8，最小值为.变式训练3.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为 （）A. B. C. D.答案D例4.已知定点P(6,4)与直线l1:y＝4x，过点P的直线l与l1交于第一象限的Q点，与x轴正半轴交于点M．求使△OQM面积最小的直线l的方程．解：Q点在l1:y＝4x上，可设Q(x0，4x0)，则PQ的方程为：令y＝0，得：x＝(x0>1)，∴M(，0)则tan＝＝＝1k＝或k＝－，故所求直线l的方程为y＋1＝－(x－2)或y＋1＝(x－2)即7x＋3y＋11＝0或3x－7y－13＝0变式训练2.某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l，且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为,tan=.试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）？解如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）.直线l的方程为y=(x-200)tan,则y=.设点P的坐标为（x,y），则P（x,）(x＞200).由经过两点的直线的斜率公式kPC=,kPB=.由直线PC到直线PB的角的公式得tan∠BPC==(x＞200).要使tan∠BPC达到最大，只需x+-288达到最小，由均值不等式x+-288≥2-288,当且仅当x=时上式取得等号.故当x=320时，tan∠BPC最大.这时，点P的纵坐标y为y==60.由此实际问题知0＜∠BPC＜,所以tan∠BPC最大时，∠BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大.例3.直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．解：因为直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线，所以CA、CB所在直线关于y＝2x对称，而A(－4,2)关于直线y＝2x对称点A1必在CB边所在直线上设A1(x1，y1)则得即A1(4,－2)由A1(4,－2)，B(3,1)求得CB边所在直线的方程为：3x＋y－10＝0又由解得C(2,4)又可求得：kBC＝－3，kAC＝∴kBC·kAC＝－1，即△ABC是直角三角形变式训练3.三条直线l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能构成三角形，求实数a的取值范围。解：a∈R且a≠±1，a≠-2（提示：因三条直线能构成三角形，故三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三线不共点。（1）若l1、l2、l3相交于同一点，则l1与l2的交点（-a-1，1）在直线l3上，于是a(-a-1)+1+1=0，此时a=1或a=-2。（2）若l1∥l2，则-1=-eq\f(1,a)，a=1。（3）若l1∥l3，则-1=-a，a=1。（4）若l2∥l3，则-eq\f(1,a)=-a，a=±1。）例4.设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点p，使为最小，并求出这个最小值．解：设点A关于直线l的对称点A'的坐标为(a，b)，则由AA´⊥l和AA´被l平分，则解之得a＝3，b＝－3，∴A´＝(3，－3)．∴(|PA|＋|PB|)min＝|A´B|＝5∵kA´B＝＝－18∴A´B的方程为y＋3＝－18(x－3)解方程组得P(，3)变式训练4：已知过点A（1，1）且斜率为－m(m>0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值．解：设l的方程为y－1＝－m(x－1)，则P（1＋，0），Q（0，1＋m）从则直线PR：x－2y－＝0；直线QS：x－2y＋2(m＋1)＝0又PR∥QS∴|RS|＝＝又|PR|＝，|QS|＝而四边形PRSQ为直角梯形，∴SPRSQ＝×()×＝(m＋＋)2－≥(2＋)2－＝3.6∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6．小结归纳小结归纳1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，依据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．4．解决对称问题中，若是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4基础过关第3课时线性规划基础过关1．二元一次不等式表示的平面区域．⑴一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线，不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界线．⑵对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x、y)使得Ax＋By＋C的值符号相同．因此，如果直线Ax＋By＋C＝0一侧的点使Ax＋By＋C>0，另一侧的点就使Ax＋By＋C<0，所以判定不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax＋By＋C＝0的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．⑶由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．线性规划⑴基本概念名称意义线性约束条件由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x、y的约束条件目标函数关于x、y的解析式如：z＝2x＋y，z＝x2＋y2等线性目标函数关于x、y的一次解析式可行解满足线性约束条件x、y的解（x，y）叫做可行解可行域所有可行解组成的集合叫做可行域最优解使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题⑵用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①设出所求的未知数；②列出约束条件(即不等式组)；③建立目标函数；④作出可行域和目标函数的等值线；⑤运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解．（有些实际问题应注意其整解性）典型例题典型例题例1.若△ABC的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC区域（含边界）表示的二元一次不等式组．解：由两点式得AB、BC、CA直线的方程并化简得AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0，CA：2x＋y－5＝0结合区域图易得不等式组为变式训练1：△ABC的三个顶点为A(2，4)、B(－1，2)、C(1，0)，则△ABC的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为．ACyxB例2.已知x、y满足约束条件ACyxB⑴z＝2x＋y⑵z＝4x－3y⑶z＝x2+y2的最大值、最小值？解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分．其中A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)(1)作与直线2x＋y＝0平行的直线l1：2x＋y＝t，则当l1经过点A时，t取最大，l1经过点B时，t取最小．∴zmax＝9zmin＝－13(2)作与直线4x－3y＝0平行的直线l2：4x－3y＝t，则当l2过点C时，t最小，l2过点B时，t最大．∴zmax＝14zmin＝－18(3)由z＝x2＋y2，则表示点(x，y)到(0，0)的距离，结合不等式组表示的区域．知点B到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为0．∴zmax＝37zmin＝0变式训练2：给出平面区域如下图所示，目标函数t＝ax－y，(1)若在区域上有无穷多个点(x，y)可使目标函数t取得最小值，求此时a的值．(2)若当且仅当x＝，y＝时，目标函数t取得最小值，求实数a的取值范围？x0A(1,0)C(,)B(0,1)x0A(1,0)C(,)B(0,1)y要使t取得最小时的(x，y)有无穷多个，则y＝ax－t与AC重合．∴a＝kAC＝＝－(2)由KAC<a<KBC得－<a<－.例3.某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则：xy(0,800)M(350,100)(0,200)xy(0,800)M(350,100)(0,200)O则z＝6x＋10y作出可行域如图．由得即M(350，100)由图可知，当直线l：6x＋10y＝0平移到经过点M(350，100)时，z＝6x＋10y最大，即当x＝350，y＝100时，，z＝6x＋10y最大．变式训练3：某厂要生产甲种产品45个，乙种产品55个，可用原料为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2m2和3m2，用A种可造甲种产品3个和乙种产品5个，用B种可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积解：设A种取x块，B种取y块，总用料为zm2，则AxyAxylO515z＝2x＋3y(x、y∈N)可行域如图：最优解为A(5，5)，x＝5，y＝5时，zmin＝25，即A、B两种各取5块时可保证完成任务，且总的用料(面积)最省为25m2例4.预算用2000元购买单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的1.5倍，问桌椅各买多少才合适？设桌椅分别买x、y张，由题意得：由解得：∴点A(，)由解得∴点B(25，)满足以上不等式组表示的区域是以A、B、O为顶点的△AOB及内部设x＋y＝z，即y＝－x＋z；当直线过点B时，即x＝25，y＝，z最大．∵y∈z，∴y＝37∴买桌子25张，椅子37张是最优选择．变式训练4：A1、A2两煤矿分别有煤8万吨和18万吨，需通过外运能力分别为20万吨和16万吨的B1、B2两车站外运，用汽车将煤运到车站，A1的煤运到B1、B2的运费分别为3元/吨和5元/吨，A2的煤运到B1、B2的运费分别为7元/吨和8元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？xyA(8,12)l1O102018解：设A1运到B1x万吨，A2运到B1y万吨，总运费为z万元，则A1运到B2(8－x)万吨，A2运到B2(18－y)万吨，z＝3x＋5(8－x)＋7y＋8(18－y)＝184－2xxyA(8,12)l1O102018可行域如图阴影部分．当x＝8时，y＝12时，zmin＝156即A1的8万吨煤全运到B1，A2运到12万吨运到B1，剩余6万吨运到B2，这时总运费最少为156万元．小结归纳小结归纳1．二元一次不等式或不等式组表示的平面区域：①直线确定边界；②特殊点确定区域．2．线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法．3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深入其境、考虑实际意义的约束．4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。但最优点不易辨别时，要逐一检查基础过关第4课时曲线与方程基础过关、1．直接法求轨迹的一般步骤：建系设标，列式表标，化简作答（除杂）．2．求曲线轨迹方程，常用的方法有：直接法、定义法、代入法（相关点法、转移法）、参数法、交轨法等．典型例题典型例题例1.如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.解：设点M的坐标为（x,y）,∵M是线段AB的中点，∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）.∴=（2x-2，-4），=（-2，2y-4）.由已知·=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0，即x+2y-5=0.∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.变式训练1：已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||||+·=0，求动点P（x，y）的轨迹方程.解由题意：=（4，0），=（x+2,y）,=（x-2,y）,∵||||+·=0，∴·+（x-2）·4+y·0=0，两边平方，化简得y2=-8x.例2.在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B,C且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是 （）A.=1(y≠0) B.=1(x≠0)C.=1（y≠0）的左支 D.=1（y≠0)的右支答案D变式训练2：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：（x-3）2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程.解如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|.因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.这表明动点M到两定点C2，C1的距离之差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为（x,y）,其轨迹方程为x2-=1(x≤-1).例3.如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解设AB的中点为R，坐标为（x1，y1），Q点坐标为（x，y），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，又因为R是弦AB的中点，依垂径定理有Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-（）.又|AR|=|PR|=，所以有（x1-4）2+=36-（）.即-4x1-10=0.因为R为PQ的中点，所以x1=，y1=.代入方程-4x1-10=0，得·-10=0.整理得x2+y2=56.这就是Q点的轨迹方程.变式训练3：设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且=2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程.解设M（x0，0），P（0，y0），N（x，y），由=2得（x-x0，y）=2（-x0，y0），∴即∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),∴(x0,-y0)·（1，-y0）=0,∴x0+=0.小结归纳∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.小结归纳1．直接法求轨迹方程关键在于利用已知条件，找出动点满足的等量关系，这个等量关系有的可直接利用已知条件，有的需要转化后才能用．2．回归定义是解决圆锥曲线轨迹问题的有效途径．3．所求动点依赖于已知曲线上的动点的运动而运动，常用代入法求轨迹．第5课时圆的方程基础过关基础过关1．圆心为C(a、b)，半径为r的圆的标准方程为_________________．2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)，圆心为，半径r＝．3．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程的充要条件是．4．圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为_________．x2＋y2＝r2的参数方程为________________．5．过两圆的公共点的圆系方程：设⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则经过两圆公共点的圆系方程为．典型例题典型例题例1.根据下列条件，求圆的方程．(1)经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上．(2)经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长为6．解：(1)∵AB的中垂线方程为3x＋2y－15＝0由解得∴圆心为C(7，－3)，半径r＝故所求圆的方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0将P、Q两点坐标代入得令y＝0得x2＋Dx＋F＝0由弦长|x1－x2|＝6得D2－4F＝36③解①②③可得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0变式训练1：求过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在直线x－2y－3=0上的圆的方程．由A（2，－3），B（－2，－5），得直线AB的斜率为kAB=eq\f(－5－(－3),－2－2)=eq\f(1,2),线段AB的中点为（0，－4），线段AB的中垂线方程为y＋4=－2x,即y＋2x＋4=0,解方程组得∴圆心为（－1，－2），根据两点间的距离公式，得半径r=eq\r((2+1)2＋(－3＋2)2)=eq\r(10)所求圆的方程为（x＋1)2＋(y＋2)2=10例2.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解方法一将x=3-2y,代入方程x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则y1、y2满足条件：y1+y2=4,y1y2=∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.而x1=3-2y1,x2=3-2y2.∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.∴m=3,此时Δ＞0,圆心坐标为,半径r=.方法二如图所示，设弦PQ中点为M，∵O1M⊥PQ，∴.∴O1M的方程为:y-3=2,即：y=2x+4.由方程组解得M的坐标为（-1，2）.则以PQ为直径的圆可设为（x+1）2+（y-2）2=r2.∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r2，即r2=5,MQ2=r2.在Rt△O1MQ中，O1Q2=O1M2+MQ2∴(3-2)2+5=∴m=3.∴半径为,圆心为.方法三设过P、Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+(x+2y-3)=0.由OP⊥OQ知，点O（0，0）在圆上.∴m-3=0，即m=3.∴圆的方程可化为x2+y2+x-6y+3+x+2y-3=0即x2+(1+)x+y2+2(-3)y=0.∴圆心M，又圆在PQ上.∴-+2（3-）-3=0，∴=1，∴m=3.∴圆心为，半径为.变式训练2：已知圆C：（x-1）2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R).（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明直线l可化为x+y-4+m(2x+y-7)=0,即不论m取什么实数，它恒过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部，∴不论m为何实数，直线l与圆恒相交.（2）解从（1）的结论和直线l过定点M（3，1）且与过此点的圆C的半径垂直时，l被圆所截的弦长|AB|最短，由垂径定理得|AB|=2=此时，kt=-,从而kt=-=2.∴l的方程为y-1=2(x-3),即2x-y=5.例3.知点P（x，y）是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.（1）求P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；（2）求x-2y的最大值和最小值；（3）求的最大值和最小值.解（1）圆心C（-2，0）到直线3x+4y+12=0的距离为d=.∴P点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为d+r=+1=，最小值为d-r=-1=.（2）设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点.∴≤1.∴--2≤t≤-2，∴tmax=-2，tmin=-2-.（3）设k=，则直线kx-y-k+2=0与圆（x+2）2+y2=1有公共点，∴≤1.∴≤k≤,∴kmax=，kmin=.变式训练3：已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y-x的最大值和最小值；（2）求x2+y2的最大值和最小值.解（1）y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距，当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b=-2±.所以y-x的最大值为-2+，最小值为-2-. （2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为=2，所以x2+y2的最大值是（2+）2=7+4，x2+y2的最小值是（2-）2=7-4. 例4.设圆满足：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程。解法一设圆的圆心为P（a,b),半径为r，则点P到x轴y轴的距离分别为∣b∣、∣a∣。由题设条件知圆P截x轴所得的劣弧所对的圆心角为90°，圆P截x轴所得的弦长为eq\r(2)r，故r2=2b2．又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2＋1,从而得2b2=a2＋1．点P到直线x－2y=0的距离为d=,∴5d2=(a－2b)2=a2＋4b2－4ab=2a2＋2b2－4ab＋1=2(a－b)2＋当且仅当a=b时取等号，此时，5d2=1,d取得最小值．由a=b及2b2=a2＋1得，进而得r2=2所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2解法二同解法一，得d=，所以a－2b=±eq\r(5)da2=4b2±4eq\r(5)bd＋5d2,将a2=2b2－1代入整理得2b2±4eq\r(5)bd＋5d2＋1=0（※）把（※）看成关于b的二次方程，由于方程有实数根，故△≥0即8（5d2－1)≥0,5d2≥1可见5d2有最小值1，从而d有最小值eq\f(eq\r(5),5)，将其代入（※）式得2b2±4b＋2=0,b=±1,r2=2b2=2,a2=2b2－1=1,a=±1由∣a－2b∣=1知a、b同号故所求圆的方程为（x－1)2＋(y－1)2=2或（x＋1)2＋(y＋1)2=2变式训练4：如图，图O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得PM＝PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．O1O1O2NMPOxy－22O1O2NMP解：以O1、O2的中点为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)、O2(2,0)．如图：由PM＝PN得PM2＝2PN2∴PO12－1＝2(PO22－1)，设P(x，y)∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]即(x－6)2＋y2＝33为所求点P的轨迹方程．小结归纳小结归纳1．本节主要复习了圆的轨迹方程，要明确：必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程．2．求圆的方程时一般用待定系数法：若已知条件与圆心、半径有关，可先由已知条件求出圆的半径，用标准方程求解；若条件涉及过几点，往往可考虑用一般方程；若所求的圆过两已知圆的交点，则一般用圆系方程．3．求圆方程时,若能运用几何性质,如垂径定理等往往能简化计算．4．运用圆的参数方程求距离的最值往往较方便．5．点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.基础过关第6课时直线与圆、圆与圆的位置关系基础过关1．直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△，圆心C到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d＝r△＝0相交相离2．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r(R≥r)，圆心距为d，则两圆的位置关系满足以下条件：外离d>R＋r外切相交内切内含3.圆的切线方程①圆x2＋y2＝r2上一点p(x0,y0)处的切线方程为l:.②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点p(x0,y0)处的切线方程为l:.③圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上一点p(x0,y0)处的切线方程为.典型例题典型例题PP2P1P(4，2)xyO例1.过⊙：x2＋y2＝2外一点P(4，2)向圆引切线．⑴求过点P的圆的切线方程．⑵若切点为P1、P2求过切点P1、P2的直线方程．解：(1)设过点P(4，2)的切线方程为y－2＝k(x－4)即kx－y+2－4k＝0①则d＝∴＝解得k＝1或k＝∴切线方程为：x－y－2＝0或x－7y＋10＝0(2)设切点Ｐ1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则两切线的方程可写成l1:x1x＋y1y＝2，l2：x2x＋y2y＝２因为点(4，2)在l1和l2上．则有4x1＋2y1＝24x2＋2y2＝2这表明两点都在直线4x＋2y＝2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2x＋y－1＝0即为所求变式训练1：（1）已知点P(1，2)和圆C：，过P作C的切线有两条，则k的取值范围是()

A.k∈RＢ.k＜Ｃ.D.（2）设集合A={（x,y)|x2＋y2≤4},B={(x,y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)},当A∩B=B时，r的取值范围是（）A．（0，eq\r(2)－1）B．（0，1]C．（0，2－eq\r(2)]D．（0，eq\r(2)]（3）若实数x、y满足等式(x-2)２＋ｙ２＝３，那么的最大值为()

A.Ｂ.Ｃ.Ｄ.（4）过点M且被圆截得弦长为8的直线的方程为．（5）圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆和的交点的圆的方程是.解：（1）D．提示：P在圆外．（2）C．提示：两圆内切或内含．（3）D．提示：从纯代数角度看，设t=,则y=tx，代入已知的二元二次方程，用△≥0，可解得t的范围。从数形结合角度看，是圆上一点与原