平方根和立方根

PAGE平方根和立方根page6-ofNUMPAGES10平方根和立方根平方根和立方根中考要求中考要求内容基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方运算的方法，求某些数的立方根小故事小故事第一次数学危机之无理数的发现大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处．第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！知识点睛知识点睛一平方根、算术平方根1、平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．也就是说，若，则就叫做的平方根．一个非负数的平方根可用符号表示为“”．2、算术平方根：一个正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做的算术平方根，可用符号表示为“”；有一个平方根，就是，的算术平方根也是，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若，则．3、平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．二立方根1、立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，也就是说，若则就叫做的立方根。一个数的立方根可用符号表“”，其中“”叫做根指数，不能省略．前面学习的“”其实省略了根指数“”，即：也可以表示为．读作“三次根号”，读作“二次根号”，读作“根号”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根。正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，的立方根为．2、立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．平方根与立方根的区别与联系：1、区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略．（2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数．（3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．一、对立方根的定义和性质的考察（1）下列说法中，不正确的是（）A．8的立方根是2B．的立方根是C．0的立方根是0D．的立方根是a（2）的立方根是（）A．B．C．D．（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个（4）下列说法正确的是（）①正数都有平方根；②负数都有平方根，③正数都有立方根；④负数都有立方根；A．1个B．2个C．3个D．4个（5）若a立方比a大，则a满足（）A．a<0B．0<a<1C．a>1D．以上都不对（6）下列运算中不正确的是（）A．B．C．D．【巩固】（1）若x的立方根是4，则x的平方根是______．（2）中的x的取值范围是______，中的x的取值范围是______．（3）－27的立方根与的平方根的和是______．（4）若则x与y的关系是______．（5）如果那么的值是______．（6）若则x＝______．（7）若m＜0，则=______．（8）若的立方根是4，则的平方根是______．二、对立方根的计算的考察求下列等式中的x：（1）若x3＝0．729，则x＝______；（2）x3＝，则x＝______；（3）若=，则x＝______；（4）若x3＝，则x＝______．求下列各式的值（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【巩固】（1）填表：0．0000010．001110001000000（2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律．（3）根据你发现的规律填空：①已知，则=，=；②已知，，则=．的相反数是；的立方根是.若，则_____.若，，求所有可能值．三、立方根的综合应用平方根等于本身的数是，算术平方根等于它本身的数是，立方根等于它本身的数是；平方根与立方根相等的数是.若与互为相反数，求的立方根．已知的平方根是±2，的立方根是3，求的平方根．已知，，求的值(为正整数).已知的平方根是，的立方根是，求的平方根．已知的负的平方根是，的立方根是，求的平方根.已知，()，且()，，求的值.是的算术平方根，是的立方根，求的立方根.若和互为相反数，求的值.课后作业课后作业下列命题中，错误的命题个数是（）（1）没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作

（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）是最小的无理数．A．1个B．2个C．3个D．4个若，则下列等式成立的是（