2023-2024学年广东省深圳某中学高一年级上册期末考试数学试卷（含详解）

2023-2024学年度高一第一学期期末考试

数学试卷

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上.

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、单选题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.如图,U是全集,尸是U的子集，则阴影部分表示的集合是（）

A.Mc(NcP)B.Mu(NcP)

C.@M)c(NcP)D.@M)5NCP)

2.下列两个函数为同一函数的为(

X2

A.y=x；y=——B.y=cosx-tanx；y=sinx

X

2D.y=My=4^

C.y=log2x；y=log4x

3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量£（单位：焦

耳）与地震级数M之间的关系式为lg£=4.8+L5V.2O22年9月18日14时44分在中国台湾花莲发生的6.9级地震所释

放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的冽倍，则下列各数中最接近加的值

为（）

A.100B.310C.500D.1000

4.已知扇形的圆心角为2弧度，且圆心角所对的弦长为4,则该扇形的面积为（）

44

A..B.----77C.4sin21D.4cos2l

sin21cos1

416

5.若两个正实数％,y满足元+y=3,且不等式^^+7〉病-3加+5恒成立，则实数机的取值范围为（）

A.1m|-4<m<11B.{制机<一1或根>4}

C.1m|-l<m<4}D.{同相<0或根>3}

a,a>b,a>c

6.已知函数y=max{a,b,c}=<b,b>a,b2c,设=max{尤2,|x-l|,3x},则的最小值为()

c,c>a,c>b

3+752

24

7.已知函数〃x）=cos（sinx）,=孝在[一兀，兀]内解的个数为（

8.已知函数/（%）=I,I（—若方程产。）+4⑴+8=0有九个不同实根，则而的取值范围是（

in\x—i（%?=ij

A.(-s,-2)U(-2,0)B.(-co,-1)0(-1,+°°)

C.(-co,-]D.(-2,-FW)

二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，每个小题至少有两个正确选项,漏选得2分，错选或多

选得0分.

9.下列条件中，其中P是q的充分不必要条件的是（）

A.p\a>\,b>X,q:a+b>2

71

B.〃：tana=l,q：2=E+一（左EZ）

C.p:x>l,g:ln（e"+l）>l

D.p:a2<l,q：函数〃%）=]2+（2-々）工—2〃在（0,1）上有零点

10.设函数/（x）=sinxcosx+Gcos2x-日,给出下列命题，正确的是（）

A.的图象关于点（1,（））对称

B.若|〃%）-〃々）|=2,则归f1nto=万

C.把外力的图象向左平移专个单位长度，得到一个偶函数的图象

11Q

D.在（0,2%）内使=]的所有x的和为57r

11.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR用

国表示不超过x的最大整数，则y=国称为高斯函数.例如：[-2.3]=-3,[3.2]=3,下列命题正确的是（）

A.[xy]=[x][y]B.[x+y]=[x]+[y]

C.[x+l]=[x]+lD,[x]+x+；=[2x]

12.已知%是函数/（x）=e'+x-2的零点（其中e=2.71828…为自然对数的底数），下列说法正确的是（）

A.x0e（0,-）B.ln（2-x0）=x0

C.x0-e/<0D.x；』>e

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.已知ae(0,%),若sin-看］=5,则cos12a+'■卜,

14.写出一个符合下列要求的函数：。

①的值域为R②/(x+1)为偶函数

57r

15.函数〃x)=|x-l|与函数g(x)=2cosy(x-l)的图象所有交点的横坐标之和为.

16.函数〃到=叱上1在区间上,-1］卬句上的最大值与最小值之和为。+6(。＞0,6＞。),则：+|的最小值为

四，解答题：本题共6个小题，其中第17题10,第18到22题每题12分，共及70分

2

17.(1)计算：6108"7+21g5-(sinl)°+lg4+

(2)已知九二+川=6,求M+J的值.

18.如图，已知单位圆。与x轴正半轴交于点M点在单位圆上淇中点A在第一象限，且ZAO6=5,记NA/Q4”，

/MOB=0.

⑴若a=*求点A的坐标.

⑵若点A的坐标为&,mJ，求sina-sin4的值.

19.湖南株洲市某高科技企业决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x台，需要

另投入成本人(1)(万元)，当年产量小于60台时,人(%)=%2+20%(万元)，当年产量不少于60台时

Mx)=102x+陋-2080(万元).若每台设备的售价为100万元,通过市场分析，假设该企业生产的电子设备能全部售.

X

(1)求年利润y(万元)关于年产量无(台)的函数关系式？

(2)年产量为多少台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大？

3

20.设函数/(X)=6sinxcosx+3sin2%—5.

(1)求函数的单调递减区间.

（2）将函数y=/（尤）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移1个单位,得到函

数y=g。）的图象，求g。）在［-£，当上的值域.

44

21.已知函数/（到=先2是奇函数.

⑴求。的值，判断”尤）的单调性（不必证明）。

⑵解不等式：1吗|/3+2＜0.

22.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例

如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数y=/（X），如果对于其定义域D中任意给定的实数X，都有—XeO,并且

1，就称函数y=/（%）为“倒函数”.

⑴已知〃x）=10，,g⑺=老,判断y=/（x）和y=g（x）是不是倒函数，并说明理由.

（2）若“力是定义在R上的倒函数，当xWO时,〃到=尸*，方程〃力=2023是否有整数解？并说明理由.

（3）若/'（X）是定义在R上的倒函数，其函数值恒大于0,且在R上单调递增.记尸（x）=叫，T，证明：%+%＞。是

厂（西）+/伍）＞0的充要条件.

1.c

【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合M的外部与集合N集合P交集内部的公共部分，求解即可.

【详解】根据题意，阴影部分为集合M的外部与集合N集合尸交集内部的公共部分.

即@M）c（NcP）.

故选：C.

2.D

【分析】同一函数要满足中两个条件：第一：定义域相同,第二：对应关系完全一致，根据两个条件即可判断.

2

【详解】对于选项A,V=x定义域为R,y=三定义域为｛x|xwO｝,函数定义域不相同,不是同一函数，故A不符合题意.

X

对于B,y=cosx-tanx定义域为卜|xK]+配上e,y=sinx定义域为R，函数定义域不相同，不是同一函数，故B不符合

题意.

2

对于c,y=log/定义域为｛x|%>0｝,函数y=log4x定义域为｛xlx^o｝，函数定义域不相同,不是同一函数，故C不符合题

对于D,y=区定义域为R,y=正定义域为R,且y=正=国,函数定义域相同，对应关系完全一致，是同一函数，故D符

合题意.

故选：D.

3.C

【分析】根据地震释放出的能量E与地震级数M之间的关系式lgE=4.8+1.5M,将两次地震等级分别代入,利用对数运算

法则可得两次能量E的比值，近似计算可确定选项.

【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是用,日本5」级地震所释放出来的能量是E2.

贝IJlgE[=4.8+1.5x69,IgE?=4.8+1.5x5.1.

27253

可得1g1gE2=但鲁=2.7,所以含=机=IO-e(10,10)

e

而虏=102=100回=316，即加(316,1000).

故选：C

4.A

【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可.

【详解】因为扇形的圆心角弧度为2,所对弦长为4,。为圆心，如下图.

取的中点。，连接OD，则8，AB,则ZAOD=1.

224

则扇形的半径一=一所以扇形的弧长/=2x「=—

sin1sin1sin1

1424

则扇形的面积为5=于茄x^=

sin2l

故选：A.

A

D

5.C

【分析】先由++，：（x+l+y）岛+与结合基本不等式求出言+f的最小值，进而得病-3m+5<9,再解一

元二次不等式即可.

【详解】由题意知,・+?=#+1+，）［匕+果］山。+2仁丁9

4+-^-+16

x+1

当且仅当击=中，即出「|时取等，又不等式+++疗i+5恒成立，则不等式加一3…<9.

即（力2-4）（7"+1）<0,解得-1（机<4.

故选：C.

6.D

【分析】根据题意，在同一个直角坐标系中画出三个函数的图象，结合最大值的含义可直接得出最小值.

【详解】在同一直角坐标系中作出函数y=/,y=|x-l|,y=3x.

根据题意可得函数〃%）=眄，,卜-1|,3苫｝为图中黑线表示部分.

根据图像可得，点A为函数y=f与，=卜一1|,（彳<1）的交点.

所以炉=1一无解得尤=45,故点A的横坐标为匕g.

22

点B为函数y=3%与y=的交点.

所以3尤=1-九解得x故点B的横坐标为"

点C为函数）与丁=3羽（%>1）的交点.

所以X?=3%,得％=3,故点C的横坐标为3.

故选：D.

7.D

【分析】依题意，得sinx=£或一再结合图象进行判断.

66

【详解】解：依题意，得COS(si!U)=#.

因为xe[-万，]]，所以sinxe[-l,l].

得sinx=生或一工.

66

因为xe[一万，句.

结合图象：

故选：D

8.A

【分析】画出的函数图象，根据图形可得本题等价于g(r)=a+s+》在(0,+®)有两个零点淇中1个零点为1,则可

g⑴=\+a+b=0

列出不等式组A=a2-4b>0求出，的范围，进而求出结果.

g(0)=/?>0

由图可知，若方程/2(%)+o/-(x)+6=。有九个不同实根.

则了(力=1或〃x)=心其中0</<1或/>1.

令g(r)=r+at+b.

则g⑺在(0,”)有两个零点淇中1个零点为1.

g(l)=l+a+b=0

贝卜A=o--4Z?>0，解得a<—1且aw—2.

g(0)=6>0

:.ab<0^.ab^-2.

故ab的取值范围是(y>,-2)0(-2,0).

故选：A.

【点睛】关键点睛：本题考查函数与方程的关系，根据方程解的个数求参数范围,解决本题的关键是画出函数了(尤)的图

象，根据图象可知要使方程有9个根,等价于g(/)=/2+m+6在(0,y)有两个零点，其中1个零点为1,再根据二次函数的

性质进行解决.解决函数与方程的问题常用数形结合的方法，因此画函数图象,分析图形能力是必备能力.

9.AC

【分析】由不等式的性质判断选项A,由正切函数的特点判断选项B,由对数复合函数的性质判断选项C,由二次函数的特

点判断选项D.

【详解】对于A,由。2IS21,显然可得a+b>2,反之不成立，故正确.

JT

对于84£111々=1是£=祈+:(左€2)充要条件,不正确.

4

对于C,：x>1,efe,e*+1>e,In⑹+1)>1，反之不成立，正确.

对于D,当-l<a<0时,/(%)=9+(2-4户-24=(%-4)(%+2)在(0』)上没有零点,口不正确.

故选：AC

10.ACD

【分析】对原函数使用辅助角公式.对于A选项，根据对称中心的定义即可，对于B选项,/&)和)一个为函数“X)的

JT1

最大值，一个为最小值即可求解，对于C选项，求出g(x),根据偶函数的定义即可，对于D选项，令r=2x+],求出sin在

导]的根即可.

【详解】/(x)=gsin2x+等

cos2%=sin2x+—.

I3J

A：当x=(时,/(x)=0,经检验0J是它的一个对称中心，故A正确.

B：若|〃.4)-/伍)|=2,则〃而)和/'伍)一个为函数〃尤)的最大值，一个为最小值,.•.卜-无故B错误•

C：〃x)的图象向左平移合个单位长度得到g(x)=cos2尤,g(x)为偶函数，故C正确.

令f=2x+q,：xe(O,2i),：.r.

71

.1人,(13^-^5冗13%\7兀2571

sin%)在，e—r-的根分别为：^=—^2--=~T~^4=~^-

23)6o6o

则有不=!，々=*,七=尊%=等,在(0,2%)内使小)=；的所有工的和为：―三+匕=学，故D正确.

'ri/T*_LN乙D

故选：ACD.

11.CD

【解析】令％=L5,y=1.5,可判定A,B不正确，设户〃+厂,其中〃为％的整数部分,「为小数部分，结合“高斯函数”，可判定

C,D正确.

【详解】对于A中,例如[L5XL5]=[2.25]=2,[L5][L5]=1X1=1,所以不正确.

对于B中例如[L5+L5]=[3]=3,[L5]+[L5]=2,所以不正确.

设彳=〃+厂,其中〃为x的整数部分,r为小数部分，即[x]=〃.

对于C中,卜+1]=卜7+厂+1]="+1,区+1=[〃+r]+1=〃+1,所以是正确的.

对于D中,[x]+%+；=,+r]+〃+厂+；.

若0dL可得[x]+x+—=2n,[2x]=[2n+2r]=2n.

若1<可得[%]+x+—=2n+1,[2x]=[2n+2r]=2n+l.

2_2_

所以D是正确的.

故选：CD.

【点睛】对于函数的新定义试卷的求解：

1,根据函数的定义，可通过举出反例,说明不正确.

2,正确理解函数的定义的内涵，紧紧结合定义进行推理，论证求解.

12.ABC

【分析】根据给定条件确定七所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答.

【详解】函数/(x)=e*+尤-2在R上单调递增,/(0)=e0_2=-l<0,/(g)=eT+g_2=6_|>0.

而%是方程/(力=6*+*-2的零点,因此毛€(0,3),A正确.

由/■伉)=0得：2-x°=e』,两边取对数得：ln(2-x°)=Xo,B正确.

因0</<1,且y=x-e-工在(0，!)上单调递增，则X。-e』<:一;<。,c正确.

22，Ve

当。</<J,2-%>1,则*-'。<Xo<l,D错误.

故选：ABC

13.土迪

3

【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得

如23-总=土胃,再根据诱导公式可得cos12a+f=cos

，由此即可求出结果.

【详解】因为sin=g,ce(0㈤.

冗二2sin「一?71=+述

所以sin2a~~cosa~~

3

所以cos12a+zj=cosI2a~—\+—

故答案为一半

14./(x)=ln|x-l|(答案不唯一)

【分析】由函数的值域以及奇偶性直接能得到答案.

【详解】/。)=山门—1时,f(x+l)=ln|x|,满足〃龙)值域为R,且〃尤+D为偶函数.

故答案为：/(x)=ln|x-l|(答案不唯一).

15.10

【分析】判断函数“X)的性质与最小值，判断函数g(“的性质，作出函数“X)与g(x)的大致图象，判断两个图象在

(1,+8)上的交点情况，根据对称性得结果.

【详解】因为/(2-X)=|2-X-l|="x|=/(x),所以函数“X)的图象关于直线X=1对称.

且在(-双1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

所以/>(X)的最小值为/⑴=0.

/、八「5兀/八］入(5K5兀\小.5兀

g(x)=2cos—=2cosl—x--l=2sin-x

所以函数g(x)的图象关于直线X=1对称，且g(x)的最大值为2.

由于“X)的图象和g(X)的图象都关于直线X=1对称.

所以先考虑两个图象在(1,+8)上的情形.

易知g(x)在［彳799n

上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

5,55jy

1113上单调递增，在1个,31上单调递减.

在

55)

13Q

13-l=-<2,/(3)=|3-l|=2.

易知了T

所以可作出函数”尤)与g(x)的大致图象如图所示.

所以f(无)的图象和g(x)的图象在(1,+8)上有5个交点.

根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线x=l对称.

因此所有交点的横坐标之和为2x5=10.

故答案为：10.

16.V3+2##2+V3

【分析】将解析式变形为〃x)=i+上+e^Inex+e-x

，令g(无)=，利用奇偶性即可得a+6=2,然后妙用“1”求解即

XX

可.

ln(e2x+llnex(e*+e-，)lneA+ln(ex+e^

【详解】/(x)=

XXX

x+ln+e^In(ex+e—x

=1+—-----

xx

In+e-x

令Ag(尤)=一,xe[-e,-l]u[l,e].

x

ln(eA+ex)

因为定义域关于原点对称，且g(T)==_g(x>

—x

所以g(x)为奇函数，所以g(x)在区间［-6-1］。［1,目上的最大值与最小值之和为0.

则函数/(X)在区间［-e，T31,e］上的最大值与最小值之和为2,即a+%=2.

又。

b3a\(b3a

所以L+1=J=2+-—+——

ab2b2ab

>2+-x2

2

当且仅当2=当，。+匕=2,即°1,6=3-石，等号成立.

ab

故答案为：A/3+2

【点睛】难点点睛：本题难点在于对函数解析式的变形，然后根据奇偶性得到。+6=2,从而利用“1”的妙用得解.

17.(1)—,(2)±10^/2.

【分析】(1)利用对数运算性质求解.

(2)先求出-+x=±272，再利用/+d=(一+%)(/+J_1)求解.

2

2

【详解】(1)解：原式=7+2(lg5+lg2)-l+

=8+二里

99

(2)因为厂2+/=6.

所以+x)~=龙「2+炉+2=8.

所以』+X=±27L

所以x-3+工3=(X-+尤)卜-2+/_1)=+272x5=±10A/2

(10

18.(1)

2’2

(2)-1

【分析】(1)应用三角函数定义,求角的余弦与正弦值，可得单位圆与终边交点的坐标.

(2)先由点A在单位圆上求小得sine,再利用三角函数定义与诱导公式求解sin分.

TT

【详解】⑴•:a"

cosa=y,sina=—，故点A坐标为

22

(2)YA点在单位圆上，得+m2=l.

3

又,：点A位于第一象限,机＞0,则加=1.

化已即sina/qsa，.

.,.点A的坐标为

155755

sinp=sinIy+aI=cosa=~^-

—x2,+80x—500,0<x<60

19.(1)[158。-21+弓+江。’⑵年产量为7。台时，最大获得13。。万元.

【解析】（1）根据条件，利润y等于设备的售价减去投入成本旗力再减去年固定成本即可求解.

（2）对（1）中的函数关系式分别利用二次函数和基本不等式求两段的最大值，再取最大的即可求解.

【详解】（1）由题意可得：0<x<60时,丫=1。0》-（炉+2。，-500=-尤2+8。尤一5。0.

当x'6O时,y=100x-1102x+^^-20801—500=1580-2（x+^^J

所以年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式为：

—X2,+80%-500,0<x<60

158。-可卜上6b

（2）由（1）得0<x<60时,>=-/+80苫-500,开口向下的抛物线，对称轴为x=40.

2

止匕时x=40时,y111ax=-40+80x40-500=1100万元.

当x»60时,y=1580-2（x+^^）<1580-2jxx^2=1580-2x2x70=1300.

当且仅当a=竺490四0即x=70时等号成立,=1300.

x

综上所述：年产量为70台时，该企业在这一款电子设备的生产中获利最大.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是读懂题意得出年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式，对于分

段函数求最值要分段来求.

20.（1）[k.71H----7T,k兀~\TI\（kGZ）,（2）[—,^3].

12122

【解析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解.

（2）由图象变换得出g（x）,由整体法可求值域.

【详解】翁军：（1）/（x）=^-sin2x+-1（2sin2x-=^-sin2x-^-cos2x

=^/3sin^2x-

r~t、tCT7C,A兀3,5-T11

因：2k兀H--<2尤---W2k7lH----71<^=^>k,7lH-----冗工XWJcTlH-----71.

2321212

所以函数的单调递减区间是[丘+且万，时+2）I（左eZ）

（2）由题可知，g（x）=\/5sin（xH--------）=\/3sin（x-----）.

4312

「忙131712

因为——7T<X<-7T——7T<X-----<~71.

443123

所以一^~<sin（x--）<1.

212

故g（x）在［-£,当上的值域为［-1,胸.

442

【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质.此类问题的解题方法是：利用二倍

角公式降累,利用诱导公式，两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为/（x）=Asin（s+°）+机形式，然

后结合正弦函数性质求解.

如果求函数值域,则可由x的范围求出。x+9的范围，然后由正弦函数性质得值域.

21.（l）a=l,是R上的递增函数

(2)[-log37,0)o(0,log37]

【分析】（1）根据函数为R上的奇函数，利用"0）=0求得。的值，再进行检验，利用单调性定义可得函数的单调性.

（2）利用对数函数单调性将题设不等式化成0<|/（无）归；，再运用不等式的性质化简，最后利用指数函数的单调性即可

求得.

【详解】（1）由已知得函数/（X）的定义域是R,由函数=?三是奇函数可得：〃0）=先2=0解得a=L

即/⑺=E=而力，此时〃一步可尸包=可西=一仆），故"x）=E=3）为奇函数,

3》_］3X—1121

〃x）=到百二币而二耳一了正门，由此可判断出“X）是R上的增函数•

1911Q1Q11,4再_；尤2

理由如下：▽%<%,/（%）-/（/）=（£—三•——）-（---•——）=-（-......—）=---~--.

J1*3JV

-33y'+l333*2+/33*21*+13'+13（3』+1）（3丐+1）

因玉<马,所以33一3项<0,(3%+1)(3*+1)>0.

故，即/⑴是R上的增函数.

(2)由log?，⑴+240得log]](小-2.

所以0<|〃x)|v；

21,1一1,121

即:0<--<—口V<<0

33'y+i一厂厂333X+1

11

所以〈<土----<一