2022年中考数学一轮复习：矩形 专项训练（解析版）

模块五四边形

第二讲矩形

知识梳理夯实基础

知识点1:矩形的性质

1.边：对边平行且相等；

2.角：四个角都是直角；

3.对角线：对角线相等且互相平分；

4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴.（对称轴为矩形对边中点所在

的直线）

知识点2:矩形的判定

1,定义法：有一个角是直角的平行四边形;

2,对角线相等的平行四边形是矩形；

3,有三个角都是90°的四边形是矩形.

知识点3:四边形、平行四边形、矩形之间的关系

说明：矩形面积=长X宽=2S少BD=4SA4OB•（如图）

B

直击中考胜券在握

1.（2020•湖南怀化中考）在矩形N3C。中，AC、2。相交于点。，若A/02的面积为2,则矩形N8CD的

面积为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【分析】

2

根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD,推出SAADO=S“BCO=$心。=^.ABO=，即可求出矩形ABCD的面积.

【详解】

••・四边形ABCD是矩形，对角线/C、80相交于点。，

;.AC=BD,JLOA=OB=OC=OD,

.c—c—c—c—7

,•—a4BCO—°ACDO一口“BO一乙，

.••矩形ABCD的面积为4s“加=8,

故选：C.

【点睛】

此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的；面积四等分，由此可以解决

问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.

2.（2021•湖北荆州中考）如图，矩形。N8C的边OA,OC分别在x轴、V轴的正半轴上，点。在OA的延

长线上.若42,0）,£＞（4,0）,以。为圆心、0。长为半径的弧经过点8,交了轴正半轴于点E,连接。E,

BE、则/BE。的度数是（）

A.15°B,22.5°C.30°D.45°

【答案】C

【分析】

连接08,由题意易得48OD=60。，然后根据圆周角定理可进行求解.

【详解】

解：连接08,如图所示：

•.•4(2,0),0(4,0),

.・.OA=2,OB=OE=OD=4,

：.OA=-OB,

2

•・•四边形。/8C是矩形，

.・./OAB=90。，

/.ZOBA=30°f

.・./BOD=90°-AOBA=60°,

・•・/BED=L/BOD=30。；

2

故选c.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30。的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及

含30。的直角三角形的性质是解题的关键.

3.（2021•遂宁中考）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,点E为8c上一点，把沿DE翻折，

点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）

【答案】D

【分析】

设CE=x,则BE=3-x由折叠性质可知，EF=CE=x,DF=CD=AB=5,所以AF=4,BF=AB-AF=5-4=1,在RtZkBEF中,

由勾股定理得(3-x)2+#=x2,解得x的值即可.

【详解】

解：设CE=x,则BE=3-x,

由折叠性质可知，

EF=CE=x,DF=CD=AB=5

在RtZkDAF中，AD=3,DF=5,

,52-32=4,

.-.BF=AB-AF=5-4=1,

在RtABEF中，BE2+BF2=EF2,

即(3-X)2+#=X2,

解得X=g,

故选：D.

【点睛】

本题考查了与矩形有关的折叠问题，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键.

4.如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的

长度为（）

,□。丁

EB

A.叵B,

【答案】A

【分析】

先判断出NADE=45。，进而判断出利用勾股定理即可得出结论.

【详解】

解：由折叠补全图形如图所示，

•・•四边形A8C。是矩形，

〃=90°,AD=BC=1,CD=AB,

由第一次折叠得：〃。£二1•乙ADC=45°,

・••乙ZED二44DE=45°,

：.AE=AD=1,

在RtZMDE中，根据勾股定理得,DE=42AD=42，

由第二次折叠可知，DC=DE

AB—\/2

故选：A.

EDEB

【点睛】

本题考查了图形的折叠和勾股定理，搞清楚折叠中线段的数量关系是解决此类题的关键.

5.如图点P是矩形/BCD的对角线NC上一点，过点P作好//8C,分别交CD于点E、F,连接

PB、PD,若NE=1,尸尸=8,则图中阴影部分的面积为（）

AD

BC

A.5B.6C.8D.9

【答案】C

【分析】

由矩形的性质可证明SAPEB-SAPFD,即可求解.

【详解】

作PM1AD于M,交BC于N.

则有四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,

===

,■,SAADCSAABC>SAAMPSAAEP>SAPBE=SAPBN，SAPFD=SAPDM，SAPFCSAPCN，

■,,SADFP=SAPBE=~xlx8=4,

•••S阴=4+4=8,

故选：c.

【点睛】

此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S&EB=SSFD.

6.如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF1CE交AB于点F,若DE=2,矩形ABCD的周长为16,

且CE=EF,求AE的长（）

E

D

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【分析】

根据矩形的性质和全等三角形的判定证明aAEF三可得4E=CD,由矩形的周长为16,可得2AE+DE+CD)

=16,可求AE的长度.

【详解】

解：•••四边形ABCD为矩形，

•••44=4。=90°,

-EF1CE,

・,ZCEF=90°,

-.Z.CED+Z.AEF=90°,

•・•乙CED+乙DCE=90°,

・ZDCE=〃\EF,

(Z.A=Z-D

^AAEF和△DCE中，］^AEF=乙DCE,

IEF=CE

：.AAEF^ADCE(/US),

：.AE=DC,

由题意可知：2(AE+DE+CD)=16,DE=2,

­.2AE=6,

.,.AE=3；

故选：B.

【点睛】

本题考查矩形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和全等三角形的

判定与性质是解答的关键.

7.(2020•四川省达州中考)如图，ZBOD=45°,BO=DO,点A在上，四边形N8CD是矩形，连接

AC.2。交于点E,连接OE交/。于点F.下列4个判断：①OE平分NBOD；②OF=BD；③DF=^AF;

④若点G是线段。尸的中点，则A/EG为等腰直角三角形.正确判断的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

①，先说明aOBD是等腰三角形，再由矩形的性质可得DE=BE,最后根据等腰三角形的性质即可判断；②

证明△OFA三/XOBD即可判断；③过F作FH_LAD,垂足为H,然后根据角平分线定理可得FH=FA,再求得NHDF=45。,

最后用三角函数即可判定；④连接AG,然后证明AOGA三4ADE,最后根据全等三角形的性质和角的和差即可

判断.

【详解】

解：①•.•BO=DO

••.△OBD是等腰三角形

•••四边形N8Q）是矩形

.-.DE=BE=yBD,DA1OB

;.OE平分4B0D,OE1BD故①正确；

（2）vOElBD,DA1OB,即NDAO=NDAB

.♦ZEDF+NDFE=9O°,NAOF+NAFO=90°

■,-ZEDF=ZAOF

•••DA1OB,ZBOD=45°

.•.OA=AD

在△OFA和aOBD中

ZEDF=ZAOF,OA=AD,ZDAO=ZDAB

/.AOFA^ADAB

・・・OF=BD,即②正确;

③过F作FH1OD,垂足为H,

•；OE平分/BOD,DA1OB

・・・FH=AF

vABOD=45°,DA1OB

.-.ZHDF=45°

.-.sinzHDF=—=—=—=;故③正确;

2FDFD

④由②得NEDFNAOF,

・・・G为OF中点

.-.OG=yOF

vDE=BE=yBD,OF=BD

/.OG=DE

在△OGAffAAED中

OG=DEZZEDF=ZAOF,AD=OA

.-.△OGA=AAED

/.OG=EF,ZGAO=ZDAE

.•■AGAE是等腰三角形

•••DA10B

.-.ZOAG+ZDAG=90°

.•.ZDAE+ZDAG=90°,即NGAE=90°

••.△GAE是等腰直角三角形，故④正确.

故答案为A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质以及解直

角三角形等知识点，考查知识点较多，故灵活应用所学知识成为解答本题的关键.

8.（2021•牡丹江中考真题）如图，矩形A8CD的边8上有一点E,NDAE=22.5。，EFLAB,垂足为F,将

绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE.下列结论:

©BM1AE；②四边形EFBC是正方形；（3）ZEB/W=30°；@SmBCEM:SABFM=（272+1）:1.其中结论正确

的序号是（）

B

A.①②B.①②③C.①②④D.③④

【答案】C

【分析】

延长BM交AE于N,连接AM,由垂直的定义可得NAFE=NEFB=90。,根据直角三角形的两个锐角互余得Z_EAF

67.5°,从而有4EAF+NFBM=90。，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是正方形，再由

EF=BF可知是正方形，故②正确，计算出NE8M=22.5。得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知

AM=42FM，推导得出=，仄而EF=EM+FM=2+，FM,得到

'△EFB'BFM=（+再由S四边形BCEF=?S4EFB,得S四边形^BFM=（2亚+1）:1,判断出④正确.

【详解】

解：如图，延长交AE于N,连接4W,

■：EF1AB,

；."FE=4EFB=9Q°,

•••△D/AE=22.5°,

."EAF=90°—"AE=67.5°,

•・・将△八EF绕着点F顺时针旋转得

；.MF=AF,FB=FE,乙FBM=UEF=^DAE=225°,

：.^EAF+/.FBM=90°f

."/VS=90°,

・・・BM14E,故①正确；

•・•四边形成CD是矩形，

.28C=NC=90°,

••ZEF3=90°,

・•・四边形EFBC是矩形，

又・・・EF=8F,

・•.矩形EFBC是正方形，故②正确；

・・2EBF=45°,

ZEBM=ZEBF-ZFBM=45°-22.5°=22.5°，

故③错误；

=90°,AF=FM,

..Z/VMF=45。，AM=42FM,

ZEAM=67.5°-45°=22.5°,

ZAEM=ZMAE,

•­■EM=AM=y[2FM，

；.EF=EM+FM=,

(V2+1)：1,

SAEFB：S、BFM

又•••四边形8CEF是正方形,

：.S四边形BCEF=2SMFB,

•'1S四边形BCEM：S&BFM=（也+1）：1

故④正确，

，正确的是：①②④，

故选：C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵

活运用相关知识是解题的关键.

9.（2021•黑龙江省中考）如图，在"BC中，D,E,F分别是A8,BC和AC边的中点，请添加一个条件

,使四边形BEFD为矩形.（填一个即可）

【答案】AB1BC

【分析】

证DF、EF都是△ABC的中位线，得。F||8C,EF\\AB,则四边形8EFD为平行四边形，当A8_LBC时，48=90。,

即可得出结论.

【详解】

解：•・•£）,E,F分别是AB,8c和AC边的中点，

；.DF、EF都是△A8C的中位线，

■.DFWBC,EF\\AB,

••・四边形BEFD为平行四边形，

当A818C时，Z8=9O°,

二平行四边形BEF。为矩形，

故答案为：AB1BC.

【点睛】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线

定理，证明四边形BEFD为平行四边形是解题的关键.

10.（2021•四川内江中考）如图，矩形48C。中，AB=6,BC=8,对角线2D的垂直平分线E尸交4D于

点£、交BC于点F,则线段EF的长为

【答案】y

【分析】

根据矩形的性质和勾股定理求出B。，证明△BOFs/iBCD,根据相似三角形的性质得到比例式，求出EF即

可.

【详解】

解：如图:

ED

/O\

5LZ-——-^c

•••四边形N8CD是矩形，

.•.N/=90。，又AB=6,AD=BC=8,

BD=yjAB2+AD2=10，

•••EF是的垂直平分线，

OB=OD=5,ZBOF=90°,又/C=90。,

\BOF^ABCD,

.OF_BO

"~CD~~BC'

.OF5

解得，OF=?,

4

•・•四边形4BCD是矩形，

ADUBC,ZA=90°f

/EDO=ZFBO,

・・•EF是BD的垂直平分线，

BO=DO,EF1BD,

在ADEO和ABFO中，

/EDO=ZFBO

<BO=DO,

ZEOD=/FOB

/.\DEO=MFO(ASA),

OE=OF,

:.EF=2OF=—.

2

故答案为：

2

【点睛】

本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，掌握矩形的四个角是直角、对边

相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键.

11.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点。，AE平分/8AD交BC于点E,连接。E,若0E18C,0E

=1,则AC的长为.

【答案】26

【分析】

由矩形的性质得出OB=OC,由等腰三角形的性质得出BE=CE,证出。£是△A8C的中位线，得出A8=2OE=

2,证出aABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=2,BC=2BE=4,再由勾股定理即可得出答案.

【详解】

解：•••四边形ABCD是矩形，

.ZBC=NBAD=90°,OA=OC,OB=OD,AC=BD,

••.08=0C,

vOElBC,

；.BE=CE,

■■OE是的中位线，

：.AB=2OE=2,

■：AE平分N8AD,

.,ZBAE=45°,

.•.△A8E是等腰直角三角形，

：.BE=AB=2,

.-.BC=2B£=4,

■■AC=^AB2+BC2=VF+47=275；

故答案为：2港.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定

理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.

12.（2021•辽宁鞍山中考）如图，矩形A8CD中，AB=3,对角线AC,BD交于点O,DHVAC,垂足为点

H,若NADH=2NCDH,则AD的长为.

【答案】3百

【分析】

由矩形的性质得8==3,AADC=9Q°,求出/CD〃=30。，利用30。角的直角三角形的性质求出CH

的长度，再利用勾股定理求出。，的长度，根据=60。求出ND/C=30。，然后由含30。角的直角三角形

的性质即可求解.

【详解】

解：••・四边形/BCD是矩形，

：.CD=AB=3,ZADC=90°,

•・•ZADH=2ZCDH,

:.NCDH=3。。,ZADH=60°,

13

：.CH=-CD=-

22

•••DHYAC,

ZDHA=90°,

ZDAC=90°-60°=30°f

AD=2DH=373，

故答案为：3后.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质以及直角三角形30。的性质，熟练掌握直角三角形30。的性质是解决本题的关键.

4

13.（2021•湖南邵阳中考）如图，在矩形中，DEVAC,垂足为点£,若sin//O£=《，4）=4,

则43的长为.

【答案】3

【分析】

在RtA4DE中,由正弦定义解得4E=不，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到

sinZADE=sinZECD,最后根据正弦定义解得CD的长即可解题.

【详解】

解：在Rt&4DE中,

./彳八厂AE4

smNADE==—

AD5

AD=4

16

..A.E=—

'：DELAC

/ADE+ZEDC=ZEDC+/ECD=90°

ZADE=/ECD

DF4

sinZADE=sinNECD=——=-

CD5

:.CD=DE-=3

4

在矩形Z5CQ中，

AB=CD=3

故答案为：3.

【点睛】

本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

14.（2020•四川泸州中考）如图，在矩形4BCD中，瓦尸分别为边工。的中点，BF与EC,ED分别

交于点M,N.已知42=4,BC=6,则九W的长为.

4

【答案】j

【分析】

过点E作EH||AD,交点BF于点G,交CD于点H,证明△BEG，Z\BAF,求出EG的长，再证明△EGNs/\DFN,

AEGM-ACBM,得出2NG=NF,4MG=MB,再求出BG=GF=gBF=g,从而求出NG和MG,可得MN的

长.

【详解】

解：过点E作EH||AD,交点BF于点G,交CD于点H,

由题意可知：EHHBC,

••,ABEG^ABAF,

BEEGBG

•；AB=4,BC=6,点E为AB中点，F为AD中点，

/.BE=2,AF=3,

2EG

一=--,

43

3

•,.EG=—,

2

vEHUBC,

.•.△EGN〜△DFN,AEGM-ACBM,

EGNGENEGMGEM

DF~NF—DN'BCMBCM'

33

2=空，2MG,

NF~6~^B

NG1MG1

即Bn——=-，——=一，

NF2MB4

：.2NG=NF,4MG=MB,

・•・E为AB中点，EH||BC,

•••G为BF中点，

.-.BG=GF=-BF=-yjAB2+AF2=-,

222

.'.NG=—GF=—,MG=-BG=:，

3652

4

.♦.MN=NG+MG=一,

3

4

故答案为：

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是添加辅助线EH,得到相似三角形.

15.（2020•贵州黔东南中考）如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=&,E为CD的中点，连接AE、BD交于

点P,过点P作PCLL8C于点Q,则PQ=

4

【答案】|

【分析】

根据矩形的性质得到ABIICD,AB^CD,AD^BC,ABAD90°,根据线段中点的定义得到。。8=：AB,

根据相似三角形的判定证明△ABP-ZiEDP,再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论.

【详解】

解：•・・四边形八BCD是矩形，

MB||CD,AB=CD,AD=BCf/.BAD=9Q0,

•••E为CD的中点，

：.DE=^CD=^AB,

.♦.△ABP〜MDP,

AB_PB

,瓦—访‘

2PB

,,•_______，

1PD

PB_2

BD3

vPQlBC,

・•.PQICD,

•••△BPQsADBC,

PQ_BP_2

.•五—访一H’

•・・CD=2,

4

•••PQ=一,

3

4

故答案为：—.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质的应用，运用矩形的性质和相似三角形判定和性质

2PB

证明△ZBPSAEDP得至！J丁=而是解题的关键.

16.（2021,湖南株洲中考）如图所示，线段为等腰25。的底边，矩形4切£的对角线48与交于点

O,若。。=2,贝!）4C=.

A

BC

【答案】4

【分析】

先求出矩形的对角线的长，得到AB的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值.

【详解】

解：•.•矩形ADBE的对角线AB与DE交于点0,

■■.AB=DE,OE=OD,

：.AB=DE=2OD=4,

•••线段BC为等腰WBC的底边，

.-.AC=AB=4,

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决本题的关键是理解相关概念与性质，能灵活运用

题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的几何语言表述的能力以及基本功.

17.Q021•浙江杭州中考）如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线/C的中点，点E在8c边上，把ADCE

沿直线折叠，使点C落在对角线NC上的点尸处，连接）EF.^MF=AB,贝!J4D4F=

度.

【答案】18

【分析】

连接MD,设NDAF=x,利用折叠与等腰三角形的性质，用x的代数式表示出NADC=90。，列出方程解方程即

可.

【详解】

连接/W。，设NDAF=x

根据矩形的基本性质可知AM=MD,AD\\BC,N8CD=〃DC=90°

Z.MDA=Z.DAF=x,Z.ACB=Z.DAC=x

，乙DMF=2x

vADCE折叠得到

；・DF=CD=AB,DE1FC,乙FDE二乙CDE

又MF=AB

•••MF=DF

:•乙MDF=2x

•・•乙BCD=^ACB+乙ACD=90°,乙EDC+乙FCD=90°

^Z-CDE=ZACD=x

••・乙FDE=乙CDE二x

•••UDC=/LADM+乙MDF+乙FDE+乙CDE=x+2x+x+x=5x=90°

.-.x=18°

故NDAF=18°

故答案为18.

【点睛】

本题考查了矩形的折叠问题，能够做出合适的辅助线用NMF表示出〃DC是解题关键.

18.（2021•浙江宁波中考）如图，在矩形48。中，点E在边上，△3EC与AEEC关于直线EC对称,

点B的对称点F在边4D上，G为C。中点，连结8G分别与CE,C厅交于/W,N两点，若BM=BE,

MG=\,则BN的长为,sin/NFE的值为.

D

E

【答案】2V2-1

【分析】

由ABEC与AFEC关于直线EC对称，矩形ABCD,证明ABECAFEC,再证明ABCN知CFD,可得

BN=CD,再求解CD=2,即可得2N的长；先证明尸Es^CBG,可得：—,设瓦1/=无，则

CGBG

BE=BM=FE=x,BG=x+T,AE=2-x,再列方程，求解兀即可得到答案.

【详解】

解：=△5£C与一£0关于直线EC对称，矩形4BCD,

.hBECaFEC,ZABC=ZADC=ZBCD=90°,

.../EBC=ZEFC=90°,/BEC=ZFEC,BE=FE,BC=FC,

・「BM=BE,

ZBEM=/BME,

ZFEC=/BME,

EFUMN,

/BNC=ZEFC=90。,

ZBNC=ZFDC=90°,

•・•/BCD=90°,

NNBC+ZBCN=90°=ZBCN+/DCF,

/NBC=/DCF,

:公BCNRCFD,

:.BN=CD,

•.・矩形4HCR

AB//CD,AD//BC,

/BEM=/GCM,

•/ZBEM=ZBME=/CMG,MG=1,G为CD的中点,

，ZGMC=ZGCM,

：.CG=MG=\,CD=2,

BN=2.

如图，・：BM=BE=FE,MNIIEF,四边形45C。都是矩形,

/.AB=CD,AD//BC,ZA=/BCG=90°,ZAEF=/ABG,

•・•ZAFE+ZAEF=90°=ZABG+NCBG,

ZAFE=/CBG,

:AAFESACBG,

.AE_EF

'~CG~~BG"

设=则BE=BM=FE=x,BG=x+l,AE=2—x,

.2-x_x

''~r~7+i9

解得：x=±>/2,

经检验：x=土也是原方程的根，但x=_&不合题意，舍去,

AE=2-&EF=&

sinZAFE=—

EF

故答案为:2,V2-1.

【点睛】

本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，

分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键.

19.（2021•四川内江中考）如图，矩形AB=\,BC=2,点A在x轴正半轴上，点。在了轴正半轴

上.当点A在x轴上运动时，点。也随之在＞轴上运动，在这个运动过程中，点c到原点。的最大距离为

【答案】V2+1##

【分析】

取的中点”,连接，OH,由勾股定理可求CH的长，由直角三角形的性质可求的长，由

三角形的三边可求解.

【详解】

如图，取40的中点“，连接CH,OH,

•.,矩形/BCD,AB=1,BC=2,

CD=AB=1,AD=BC=2,

••,点//是NO的中点，

4H=DH=1,

：.CH=y/DH2+CD2=Vl+1=A/2，

■.■ZAOD=9Q°,点4是/。的中点,

:.OH=-AD=\,

2

在KOCH中，CO<OH+CH,

当点在0c上时，CO=OH+CH,

，co的最大值为OH+=e+1,

故答案为：V2+1.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的三边形关系，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构

造三角形是解题的关键.

20.如图，有一张矩形纸条A8CD,AB=5cm,BC=2cm,点M,N分别在边A8,CD上，CN=lcm.现将

四边形BCMW沿MN折叠，使点B,C分别落在点P,C'±.当点P恰好落在边CD上时，线段B/W的长为

cm；在点/W从点A运动到点B的过程中，若边MB，与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为

【答案】V5V5-|

【分析】

第一个问题证明=求出NB即可解决问题.第二个问题，探究点E的运动轨迹，寻找特殊位

置解决问题即可.

【详解】

如图1中，

图1

•.•四边形A8CD是矩形，

.-.AB\\CD,

•,•Z_l=z3,

由翻折的性质可知：Z1=Z2,BM=MB',

・•・Z_2=Z_3,

■-NB'=yjB'C'2+NC'2=V22+l2=V5(cm),

：.BM=NB'=45(cm).

如图2中，当点M与A重合时，AE=EN,设AE=E/V=xcm,

在RtAADE中，则有X2=22+(4-x)2,解得x=g,

53、

；.DE=4——=—(cm),

22

如图3中，当点M运动到MB，1阳时，DP的值最大，DEf=5-1-2=2(cm),

如图4中，当点M运动到点&落在CD时，。£(即。E")=5-1-75=(4-V5)Cem),

二点£■的运动轨迹£~>£'玲£",运动路径=££'+£'8，=2-g+2-(4-6')=(V5)(cm).

22

图2

【点睛】

本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题，属于中考填空题中的压轴题.

21.Q021•江苏省盐城中考)如图，在矩形/8Q)中，AB=3,AD=4,E、尸分别是边2C、CD上一点，

EFLAE,将△£€?尸沿E尸翻折得△£(?’〃，连接/C',当BE=时，A/EC'是以/E为腰的等腰三

角形.

【答案_】"7或(4

【分析】

对"EC'是以NE为腰的等腰三角形分类讨论，当NE=EC'时，设BE=X,可得到£C=4-x,再根据折叠

可得至UEC=£C=4-x,然后在RtaABE中利用勾股定理列方程计算即可；当ZE=/C'时，过A作AH垂直

于EC'于点H,然后根据折叠可得到/C'EQNEEC,在结合EFVAE,利用互余性质可得到NBEA=ZAEH,

然后证得aABE三进而得到8£=旌，然后再利用等腰三角形三线合一性质得到砒=CX,然后在

14

根据数量关系得到BE=-BC=~.

【详解】

解：当NE=EC'时，设=贝i]EC=4-x,

•••AECF沿EF翻折得AEC'F,

：.EC=EC'=4-x,

在RtAABE中由勾股定理可得：AE2=BE2+AB2即(4-%)2=x2+32,

7

解得：x=?；

O

当时，如图所示，过八作八〃垂直于£C'于点H,

-AHIEC,AE=AC,

・•.EH=CH,

•・•EFLAE,

・•.ZCEF+ZAEC=90°,/BEA+ZFEC=90°

•・・/\ECF沿EF翻折得AECF,

・・・NC'EF=NFEC,

・・・/BEA=/AEH,

AB二AAHE

在△八BE和△AHE中vZ_AEB=AAEH,

AE=AE

•••△ABEzMHE（AAS）,

BE=HE,

BE=HE=HC,

：.BE=-EC

2

••・EC=EC,

：.BE=-EC,

2

14

：.BE=-BC=~,

33

74

综上所述，BE）或三,

83

74

故答案为：7或工

o3

【点睛】

本题主要考查等腰三角形性质，勾股定理和折叠性质，解题的关键是分类讨论等腰三角形的腰，然后结合

勾股定理计算即可.

22.（2021•湖南长沙•中考真题）如图，口/3CD的对角线/C,AD相交于点。，AO/2是等边三角形，

AB=4.

AD

-----------------^c

(1)求证：口ABCD是矩形；

(2)求40的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)4G.

【分析】

(1)先根据平行四边形的性质可得。/再根据等边三角形的性质可得

OA=OB,从而可得NC=3。，然后根据矩形的判定即可得证；

(2)先根据等边三角形的性质可得。3=/8=4,从而可得8。=8,再根据矩形的性质可得48/。=90。,

然后在中，利用勾股定理即可得.

【详解】

(1)证明：••・四边形/5CD是平行四边形，

0A=OC=-AC,OB=0D=-BD,

22

是等边三角形，

.e.OA=OB,

:.AC=BD,

.上45。。是矩形；

(2)△048是等边三角形，AB-4,

:.OB=AB=4,

BD=2OB=8,

由(1)已证：口/BCD是矩形，

4/0=90。,

则在RtAABD中，/。=^BD2-AB2=782-42=4。.

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与

性质是解题关键.

23.(2021•浙江省金华中考)已知：如图，矩形/BCD的对角线/C,相交于点。,

NBOC=12Q°,AB=2.

(1)求矩形对角线的长.

(2)过。作OEJ./D于点E,连结BE.记N4BE=a,求tana的值.

【答案】(1)4；(2)B

2

【分析】

(1)根据矩形对角线的性质，得出△AB。是等腰三角形，且NBOC=120。，即NAOB=60。，则aAB。为等边三

角形，即可求得对角线的长；

(2)首先根据勾股定理求出AD,再由矩形的对角线的性质得出OA=。。,且OE1A。，贝在R"BE

中即可求得tana.

【详解】

解：(1),•,四边形48。是矩形

AAC=BD,OA=OC=-AC,OB=OD=-BD,

22

OA=OC=OB=OD

■：ABOC=120。,;.NAOB=60°

.4/05是等边三角形，

OB=AB=2,

所以4C=8O=2O3=4.

故答案为:4.

(2)在矩形48co中，/BAD=90。.

AD=dBD3-AB?=A/16-4=273

由(1)得，OA=OD.

又•.•0£_L4D

AE=—AD=V3

2

在瓦中，tan6/=—=—.

AB2

故答案为：也.

2

【点睛】

本题考查了矩形的对角线性质，等边三角形的判定，等腰三角形的三线合一以及在直角三角形中求锐角正

切的知识点，灵活应用矩形对角线的性质是解题的关键.

24.(2021•北京市朝阳区一模)如图，在矩形中，对角线AC,B。相交于点。，过点C作

CE//BD,交ND的延长线于点E.

(1)求证：ZACD=NECD；

(2)连接OE,若AB=2,tan^ACD=2,求OE的长.

【答案】(1)见解析；(2)而

【分析】

(1)先证明四边形BCED是平行四边形，得到BD=CE=AC,再利用等腰三角形的性质即可证明；

(2)解过点。作。于点F,求得AB=CD=2,AD=BC=DE=4,再求得。尸=1,EF=6,利用勾股定理即

可求解.

【详解】

(1)证明：•••四边形/BCD是矩形，

：.AC=BD,Z/WC=90。，BC//DE,

■■CE//BD,

.•・四边形8CED是平行四边形，

BD=CE,

：.AC=CE,

：.ZACD=ZECD；

（2）解：过点。作OP，/。于点F,则F为4D的中点.

,•・四边形/BCD是矩形，对角线AC,BD相交于点。，且4B=2,tan^ACD=2,

AD-

.-.AB=CD=2,AD=BC,tan必CD=—=2,OB=OD,

CD

••.AD=4,

由（1）知四边形BCEO是平行四边形，

:.AD=BC=DE=4,

■：OB=OD,OFA.AD,

OF=-AB=1,EF=DE+-AD=6,

22

OE=yJOF2+EF2=历.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记各性质并求出四边形BCED

是平行四边形是解题的关键.

25.（2021•浙江嘉兴中考）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形

ABCD绕点A顺时针旋转a（0°<a<90°）,得到矩形O

［探究1］如图1,当a=90。时，点。恰好在03延长线上.若42=1,求BC的长.

DAB'

［探究2］如图2,连结/C',过点。作。V///。交AD于点线段。〃•与DM相等吗？请说明理由.

［探究3］在探究2的条件下，射线。8分别交4。于点P,N（如图3）,MN,PN存在一定的数量

关系，并加以证明.

【答案】［探究1］8c="公；［探究2］。/=。加，证明见解析；［探究3］MV2=PN.DN,证明见解析

2

【分析】

［探究1］设8C=x,根据旋转和矩形的性质得出从而得出AZTCBSAADB,得出比例式

笔=笔，列出方程解方程即可；

ADAB

［探究2］先利用SAS得出得出ND4U=N4D8,NADB=NAD'M,再结合已知条件得出

NMDD'=ZMD'D,即可得出=DW；

［探究3］连结/〃，先利用SSS得出A4DW之AADM,从而证得MN=/N,再利用两角对应相等得出

PNAN

ANPA^ANAD,得出——=——即可得出结论.

ANDN

【详解】

［探究1］如图1,

•・•矩形ABCD绕点A顺时针旋转90°得到矩形ABCD;

.・•点A,B,。在同一直线上.

AD'=AD=BC=x,DC=ABr=AB=\,

：.D'B=AD'-AB=x-l.

•・•/BAD=/D，=90。,

.'.D'CHDA.

又・・•点。在。5延长线上，

:2'C'BS^ADB,

DC_D'B1_x-l

AD~^4B9；一丁.

[探究2]D'M=DM.

证明：如图2,连结。zr.

.'.ZAD'M=ZD'AC'.

1

VAD'=AD,ZAD'C=ZDAB=900tD'C'=AB,

-.AAC'D'^ADBA(SAS),

/.ZDrAC'=ZADB,ZADB=AADyM,

vAD=AD,/ADD，=/AD，D,

•••ZMDD'=ZMD'D,

；.D'M=DM.

［探究31关系式为MN?=PN,DN.

证明：如图3,连结

D4

，：D'M=DM,AD'=AD,AM=AM,

\ADM^\AD'M(SSS).

；./MAD=/MAD,

•・•ZAMN=/MAD+ANDA,

/NAM=/MAD4ZNAP,

.・.ZAMN=ZNAM,

：,MN=AN.

在NNAP与ANDA中，

ZANP=ZDNA,/NAP=ANDA,

・•・^NPA^ANAD,

.PN_AN

••俞一丽‘

・•・AN?=PNDN.

:・MN?=PNDN.

【点睛】

本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次

方程等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题.

26.如图，四边形ABCD为矩形，AB=4cm,AD=3cm,动点M、N分别从D、B同时出发，都以1cm/秒

的速度运动，点M沿DA向点终点A运动，点N沿BC向终点C运动.过点N作NP_LBC,交AC于点P,连

接MP,已知运动的时间为t秒(0VtV3).

A

A

-

oB

(1)当t=l秒时，求出PN的长；

(2)若四边形CDMP的面积为s,试求S与t的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t使四边形CDMP的面积与四边形ABCD的面积比为3：8,若存在，

请求出t的值；若不存在，请说明理由.

(4)在点M、N运动过程中，AMPA能否成为一个等腰三角形？若能，试求出