2022年中考数学压轴题专练：纯函数的计算推理综合问题（解析版）

专题15纯函数的计算推理综合问题

典例剖析.

X_____________________________Z

【例1】(2021•北京•中考真题)己知二次函数y=ax2+6x(aw0),其对称轴为直线彳=九

(1)当a=\,6=4时，t=；

(2)当。＜0时，若点/(I,m),2(5,刈在此二次函数图象上，且贝心的取值范围是；

(3)已知点C(0,a),D(2,3a&#gO2A;26),若此二次函数图象与线段CD有且仅有一个公共点，求/的

取值范围.

【答案】(1)-2；(2)t＞3；(3)Z＜|

o

【解析】

【分析】

(1)利用对称轴公式，即可求解；

(2)根据二次函数的图像开口向下，点4(1,加)，3(5,〃)在此二次函数图象上，且机＜〃，可得点8离对称

轴更近，进而即可求解；

(3)分两种情况①当。＞0时，得至Uy=ax2?+2623。-26,②当。＜0时，得到y=ax2?+2643a-2b,

进而即可求解.

【详解】

解：(1),当。=1,6=4时，二次函数了=/+4%，

.,.对称轴为直线x=-2,即：t=-2,

故答案是：-2；

(2)•当。＜0时，二次函数了=办2+法(。*0)的图像开口向下，

又：点/(I,m),8(5,〃)在此二次函数图象上，且加＜〃，

.•.点8离对称轴更近,即：|5-?|＜|M|,

：.t＞3,

故答案是：，＞3；

(3)①当a＞0时，

VC(O,a)在y轴的正半轴，、=办2+乐(°70)的图像过原点，开口向上，此二次函数图象与线段C。有且

仅有一个公共点，

只要V=4x2?+2623。-26即可，即：4a+2b>3a-26,解得：a>-4b,

.61b1

.・---v-,即Pm：t=----v-,

2「82「8

②当〃〈0时，同理可得：只要歹=4x2?+26<3〃一2b,即：4a+2店3a-2b,解得：a<-4b,

.61目口b1

.・---v-,即：t=----v-,

2「82「8

综上所述：

O

【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴方程，二次函数图像的对称性，是解题的关键.

【例2】(2021・江苏泰州•中考真题)二次函数y=-，+1)Q为常数)图象的顶点在y轴右侧.

(1)写出该二次函数图象的顶点横坐标(用含。的代数式表示)；

(2)该二次函数表达式可变形为y=-Cx-p)(x-a)的形式，求p的值；

(3)若点/(加，")在该二次函数图象上，且〃>0,过点(m+3,0)作y轴的平行线，与二次函数图象

的交点在x轴下方，求。的范围.

【答案】(1)~~~；(2)p=-l；(3)

【解析】

【分析】

(1)根据顶点坐标公式即可得答案；

(2)利用十字相乘法分解因式即可得答案；

(3)利用(2)的结果可得抛物线与x轴的交点坐标，根据顶点在y轴右侧，过点(加+3,0)作y轴的平

行线，与二次函数图象的交点在x轴下方可得关于“的不等式，解不等式即可得答案.

【详解】

(1),二次函数解析式y=-x2+(a-1)x+a,

二顶点横坐标为-=='

2x(-1)2

(2)-x2+(a-1)x+a=+l)(x-a)=-(%-p)(x-a),

p=-1.

(3)'-'y—-x2+(a-1)x+tz=-(^v+1)(^-a),

.,•抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0),(a,0),

V-l<0,

.•.该二次函数的图象开口向下，

:图象的顶点在V轴右侧，

.CL—1

；T>。，

：.a>1,

・・,点/(m,n)在该二次函数图象上，且〃>0,

•.•过点(机+3,0)作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，

W3,

解得：a<2,

：.a的范围为l<a<2.

【点睛】

本题考查二次函数、因式分解及解一元一次不等式，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题关键.

【例3】(2021•山东威海・中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=x?+2加x+2苏-加的顶点为

(1)求顶点/的坐标(用含有字母加的代数式表示)；

(2)若点8(2,%),C(5,%)在抛物线上，且力〉打，则力的取值范围是；(直接写出结果即

可)

(3)当时，函数y的最小值等于6,求加的值.

【答案】(1)顶点/的坐标为(-见病-加)；(2)机<-：；(3)%=1+"^或-2

24

【解析】

【分析】

(1)将抛物线解析式化成y=(x+")2+苏一加的形式，即可求得顶点/的坐标；

⑵将8(2,%),C(5,无)代入抛物线中求得力和打的值，然后再解不等式即可求解；

(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小

值，进而求出加的值.

【详解】

解：（1）由题意可知：

抛物线y=x2+2mx+2m2-m=（x+m）2+m2-m,

J顶点4的坐标为（-加，加之一⑼；

⑵将5（2,%）代入y=炉+2mx+2m2-m中，

222

得至ljyB=2+2mx2+2m—m=2m+3m+4,

将。（5,%）代入y=/+2/nx+2/-冽中，

222

得至ljyc=5+2mx5+2m—m=2m+9m+25,

由已知条件知：yB>yc^

**.2m2+9m+25<2m2+3m+4，

整理得到：6m<-21,

7

解得：m<~29

,7

故加的取值范围是：m<~—；

2

（3）二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为％=一加,

分类讨论：

①当—m<1,即加>-1时，

x=l时二次函数取得最小值为y=心+2m+2m2-m=2m2+m+1,

又已知二次函数最小值为6,

2m2+加+1=6，解得m=或加二——，

44

又加〉-1,故加=T+历符合题意;

4

②当一加>3,即加<一3时，

x=3时二次函数取得最小值为y=3?+2mx3+2m2-m=2m2+5加+9,

又已知二次函数最小值为6,

,3、

2m2+5m+9=6,解得加=一,或加二一1,

3

又/<-3,故冽=-不或加=T都不符合题意；

③当1£-加£3,即一3VmV-l时，

x=-m时二次函数取得最小值为y=m2+2m2+2m2-m=m2-m,

又已知二次函数最小值为6,

m2-m=6>解得加=3或a=-2,

又-34机4-1,故加=-2符合题意；

综上所述，m=-]+或-2.

4

【点睛】

本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练

掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键.

【例4】(2021・江苏南京・中考真题)已知二次函数了="2+瓜+。的图像经过(-2,1),(2,-3)两点.

(1)求6的值.

(2)当c>-l时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是.

(3)设(外0)是该函数的图像与x轴的一个公共点，当-1(加<3时，结合函数的图像，直接写出。的取值范

围.

4

【答案】(1)b=-l;(2)1；(3)a<0^a>-.

【解析】

【分析】

(1)将点(-2,1),(2,-3)代入求解即可得;

(2)先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；

(3)分。<0和。>0两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得.

【详解】

/、/、c(4。-2b+c=1

解：⑴将点-2,1),2,-3代入歹=尔+瓜+,得：

[4q+2b+c=—3

两式相减得：-46=4,

解得6=-1；

(2)由题意得：QWO,

由（1）得y—ClX^—XC=6Z（X-----了+。----，

2a4。

则此函数的顶点的纵坐标为C-[,

4。

将点（2,-3）代入y=M-x+c得：4"2+0=-3,

解得一4。=。+1,

贝Eljc_「1=c+-1

4ac+1

下面证明对于任意的两个正数无0,%，都有X。+为>2历T，

••,（后-瓦）2=x0+y0-2y/x^>0,

・F+%2（当且仅当％=%时，等号成立），

当时，c+1>0,

贝Uc+」一=c+l+」--1>2J（C+1）.--1=1（当且仅当c+l=一一,即c=0时，等号成立）,

c+1c+1Vc+1c+1

gpc-->1,

4。

故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1;

（3）由4〃—2+。=—3得：c=—4。—1,

则二次函数的解析式为歹="2-x-44Z-l（<7^0）,

由题意，分以下两种情况：

①如图，当。<0时，则当％=-1时，>>0；当x=3时，y<0,

ftz+1—4。-1>0

即〈

[9。-3-4。-1<0

解得。<0;

②如图，当。>0时,

当x——1日寸，)=4+1—4。-1=-3a<0,

二.当r=3时，y—9。—3—4。—1>0,

4

解得。>m，

4

综上，。的取值范围为。<0或

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题(3),熟练掌握函数图象法是解题关键.

【例5】(2021•浙江杭州•中考真题)在直角坐标系中，设函数y="2+6x+l(a,&是常数，awO).

(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标.

(2)写出一组a,6的值，使函数y=a/+6x+l的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由.

(3)已知a=b=l,当*=p,q(p,q是实数，p丰q)时，该函数对应的函数值分别为P,Q.若

p+q=2,求证P+Q>6.

【答案】(1)y=X^-2x+l,顶点坐标是(1,0)；(2)。=1,6=3,理由见解析；(3)见解析.

【解析】

【分析】

(1)把点。,0)和(2,1)代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；

(2)根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；

(3)由题意，得P=/+p+l,Q^q2+q+l,贝I］有尸+。=2(0-1『+6,进而问题可求解.

【详解】

/、/、1Q+6+1=0

解：(1)把点(1,0)和(2,1)代入得：/

：.y=^-2x+l,则化为顶点式为y=(x-l)2,

•••该函数图象的顶点坐标是(1,0)；

(2)例如。=1,6=3,此时了=x?+3x+l；

因为/-4ac=5>0,

所以函数y=x2+3x+l图象与x轴有两个不同的交点；

(3)由题意，得尸=/+p+l,Q=q2+q+1,

'：p+q=2,

.,.尸+。=p~+p+l+q~+q+l

=p2+相+4

=(2_q)"+4

=2(^-l)2+6>6,

由题意,知尸1,

所以尸+0>6.

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

【例6】(2021•天津•中考真题)已知抛物线了=办2一2依+。(a,c为常数，”0)经过点。顶点

为D.

(I)当。=1时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)当a>0时，点E(01+。)，若DE=26DC，求该抛物线的解析式；

(III)当"7时，点”0,1-a),过点C作直线/平行于x轴，河(％0)是x轴上的动点，N(加+3,-1)是

直线/上的动点.当。为何值时，月W+ZW的最小值为2M，并求此时点“，N的坐标.

1Q

【答案】(I)抛物线的顶点坐标为(1,-2)；(H)y=-x2-x-l^y=-x2-3x-l；(III)点”的坐标为

点N的坐标为-1)

【解析】

【分析】

(I)结合题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到抛物线的解析式，将解析式化为顶点式，即可得

到答案

(II)根据题意，得抛物线的解析式为V=Q2-21;根据抛物线对称轴的性质，计算得点。的坐标为

13

(1,-。-1)；过点。作轴于点G,根据勾股定理和一元二次方程的性质，得。|=5，%='，从而得

到答案；

(III)当。＜-1时，将点。向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得。'(-2,-〃)；作点尸

关于x轴的对称点尸，当满足条件的点M落在线段用0'上时，根据两点之间线段最短的性质，得FM+DN

最小，结合题意，根据勾股定理和一元二次方程性质，得/=-3，从而得直线产。的解析式，通过计算即

可得到答案.

【详解】

(I)当。=1时，抛物线的解析式为y=x?-2x+c.

•••抛物线经过点C(0,T)

0-0+c=-l

解得：c=-l

.••抛物线的解析式为y=犬-2x-l

V=x2-2x-1=(x-1)2-2

•••抛物线的顶点坐标为(1,-2)；

(II)当。＞0时，由抛物线了=ax?-2办+。经过点C(0,-l),可知。=-1

二抛物线的解析式为y=ax2-2ax-1

抛物线的对称轴为：x=l

当x=l时，y=-a-\

二抛物线的顶点D的坐标为(1,-。-1)；

过点。作轴于点G

DE2=DG2+EG2=l+(2a+2)2

在Rt^DCG中，DG=1,CG=-1—(—a—1)=a,

/.DC2^DG2+CG2=l+a2.

DE=2V2DC，即DE2=8£＞C2，

Al+(2a+2)2=8(l+a2)

13

解得：％=］，a2=-

...抛物线的解析式为了=或＞=一3x-i.

(Ill)当。＜-1时，将点。向左平移3个单位长度，向上平移1个单位长度得。(-2,-a).

作点尸关于x轴的对称点F',得点F'的坐标为(0,«-1)

当满足条件的点M落在线段尸D'上时，FM+DN最八、,

此时，FM+DN=F'D'=2V10.

过点0，作D'H_Ly轴于点//

在Rt^FD'H中,D'H=2,F'H=—a—（oi-1）=1—la,

：.F'D'2=F2H2+D'H-=（1一2a『+4.

又尸Z）'2=40,即（l-2ay+4=40.

57

解得：％a2=-（舍）

.•.点P的坐标为,点”的坐标为卜2,§.

7

；•直线/。的解析式为y=-3x-万.

7

当y=o时，尤=-：.

6

.7211

66

...点/的坐标为卜点N的坐标为］、.

【点睛】

本题考查了二次函数、一元一次方程、勾股定理、一元二次方程、平移、两点之间线段最短的知识；解题

的关键是熟练掌握二次函数、勾股定理、一元二次方程、平移的性质，从而完成求解.

【例7】（2021•浙江嘉兴•中考真题）已知二次函数了=-/+6x-5.

（1）求二次函数图象的顶点坐标；

（2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？

（3）当+3时，函数的最大值为"?，最小值为"，m-n=3求I的值.

【答案】（1）（3,4）；（2）函数的最大值为4,最小值为0；（3）t=3-G或6.

【解析】

【分析】

(1)把二次函数了=-x?+6x-5配成顶点式即可得出结论；

(2)利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值.

(3)分t<0；0V/<3；皑3三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可.

【详解】

(1),**y——x2+6x—5=—(x—3^+4,・,•顶点坐标为(3,4).

(2)・・•顶点坐标为(3,4),.,•当x=3时，V最大值=4,

•・•当时，)随着X的增大而增大，，当x=l时，歹最小值二。.

・・•当3<xW4时，》随着X的增大而减小，，当工=4时，V最小值=3.

・••当时，函数的最大值为4,最小值为0.

(3)当，WxWf+3时，对，进行分类讨论.

①当£+3<3时，即，£<0,歹随着工的增大而增大.

当％=，时，〃=一/+6/一5.

TYI-n-—12+4-(-+6,-5)=-6,+9.

—Gt+9=3,解得/=1(不合题意，舍去).

②当00%<3时，顶点的横坐标在取值范围内，，机=4.

3

i)当时，在％=/时，〃二一产+6,一5,

m-n=4-(―/+6/-5)=”-6%+9.

「•广-6'+9=3,解得％=3-6，t2=3+V3(不合题意，舍去).

3

ii)当/<£<3时在x=，+3时，n=-t2+4,

m-n=4-(+4)=「.

...产=3,解得，tx=5/3,t2=—A/3(不合题意舍去).

③当此3时，V随着x的增大而减小，

当工=，时，m=-t2+6t-5,

当尤=:+3时，n=-(f+3)2+6(/+3)-5=-?2+4,

/.m-n=-t2+6/-5-(-〃+4)=6Z-9

A6t-9=3,解得/=2(不合题意，舍去).

综上所述，/=3-6或

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关

键，属于中考常考题型.

【例8】(2021・安徽・中考真题)已知抛物线y=a/一2x+l(aw0)的对称轴为直线x=l.

(1)求a的值；

(2)若点力)，N(x2,外)都在此抛物线上，且-1<再<0,1<X2<2,比较为与”的大小，并说

明理由；

(3)设直线y=(加>0)与抛物线y=a%2-2x+l交于点/、B,与抛物线y=3(x-l)2交于点C,D,求线段

与线段CD的长度之比.

【答案】(1)”=1；(2)yt>y2,见解析；(3)V3

【解析】

【分析】

(1)根据对称轴》=-二，代值计算即可

(2)根据二次函数的增减性分析即可得出结果

(3)先根据求根公式计算出x=l土赤，再表示出N8=|J£+l-(-J£+l)|,CD=|X1-方2卜=口普，即可

得出结论

【详解】

解：(1)由题意得：尤=一/=1

2a

\a=1

(2):抛物线对称轴为直线x=l,且a=l>0

二当x<l时，y随x的增大而减小，

当尤>1时，y随x的增大而增大.

当一1<再<1时，为随X/的增大而减小,

,.,工=-1时，>=4,x=0时，y=i

，1<必<4

同理：1<9<2时，及随工2的增大而增大

・「x=l时，y=0.

工=2时，y=\

0<%<1

必〉y2

(3)令*一2%+1=加

X2-2X+(1-77?)=0

J=(-2)2-4-b(l-m)

=4m

2±y[4mi—

：.x=-------=\±yjm

2-1

xx=y[m+1x2=—y[m+1

/.AB=\>/m+1-(-y/m+1)|

=2^l~m

令3(X-1)2=m

・•.(―今

yfim1y/im1

Xj=—―----FIX?=---------FI

.­.CD=\Xi-x2\=^-

AB"lyfmrr

-----=-1—=73

CD243加

3

，48与CD的比值为百

【点睛】

本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关

键，利用交点的特点解题是重点

满分训练.

一、解答题

I.(2021・广东•广州市番禺执信中学二模)设抛物线G/：y=ax2+bx+c(a>0,c>l),当x=c时，y=0；

当0cxec时，y>0.

(I)试用含a,c的式子表示b；

⑵请比较呢和I的大小，并说明理由；

⑶若c=2,点/(x,力)在抛物线G/上，点8(x,为)在另一条抛物线G2上，点C(x,x)为平面内一

点，若对于任意实数x点/、B到点C的距离都相等，设抛物线G2的顶点为点D,抛物线G,的对称轴与抛

物线G?的交点为尸，直线。尸解析式为y=/Mx+",请求出〃？的值.

【答案】⑴6=-\~ac

(2)ac<l,理由见解析

(3)1

【解析】

【分析】

(1)将x=c,y=o代入解析式可求解；

(2)由0<x<c时，夕>0可确定对称轴和c之间关系，即可确定数和1的大小;

(3)先求出抛物线G2的解析式，再求出点。，点尸的坐标代入直线解析式可求解.

解：.•・当x=c时，y=o,

2

/.ac+be+c=0f

c>1,

ac+b+1=0,

Z）=­1—etc•

⑵

解：ac„1,

理由如下：:当0<x<c时，歹>0,当％时，>=0,

二•二次函数歹=Q/+6%+c的对称轴为直线1=一?…。，即儿-lac

b=-ac-1„-2ac,

解：当c=2,则抛物线G］的解析式为y=ox2+（-l_2a）x+2,

•・•点A、5到点。的距离都相等，

yx—x=X—y2,

2

y2=2x—y1=—ax+（3+2d）x—2,

二•抛物线G2的解析式为y=+（3+2。）%-2,

.上r»/3+2a4〃？+4a+9、

••点^（――，-----------），

2a4a

抛物线。的对称轴为直线X=¥,

2a

t_L/1+2。4a2+4。+5\

二点尸（F—，——；----），

2a4。

・•・直线DF解析式为y=mx+n,

4/+4。+93+2。

--------------=--------xm+n

4。+4。+51+2a

xm+n

解得：m=\,

,%的值为1.

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，解题的关键是求出抛物线G2的解

析式.

一9

2.(2022•福建三明•一模)抛物线y=aN+6x+c(存0)经过点/(-4,0)和点2(5,-)

(1)求证:a+b=—；

4

(2)若抛物线经过点C(4,0)

①点。在抛物线上，且点。在第二象限，并满足=求点。的坐标；

②直线y=fcc-2(原0)与抛物线交于M,N两点(点〃在点N的左侧)，点P是直线"N下方的抛物线上

的一点，点0在y轴上，且四边形A/PN0是平行四边形，求点。的坐标

【答案】(1)证明见解析；(2)①(-6,5)；②(0,0)

【解析】

【分析】

9

(1)把/(-4,0)和点3(5,-)代入函数解析式计算即可；

4

(2)先求出抛物线和直线N8的解析式，求出直线N8关于x轴的对称直线则/54E=2NR4C,再过8

作4E的平行线与抛物线的交点即为。点；

(3)根据四边形对角线互相平分结合中点公式计算即可.

【详解】

9

(1)把/(-4,0)和点3(5,-)代入函数解析式得：

4

I6a-4b+c=0

<9

25a+5b+c=—

[4

9

两个方程相减得：9a+9b=~,

4

即a+6=-

4

(2)•・•抛物线经过点。(4,0)

16a-4b+c=0

<16。+4b+。=0

9

25a+5b+c=一

I4

解得…卜。…4

直线与y轴的交点/坐标为（0,1）

二点厂关于x轴的对称点E坐标为（0,-1）

:.NEAC=ZBAC,直线/£的解析式为y=-；x-l

，NBAE=2/BAC

B作AE的平行线与抛物线的交点为D点

；./ABD=ZBAE=2ZBAC

:直线NE的解析式为y=

4

・••设解析式为尸-}

917

代入5（5,二）得BD解析式为歹=—：'+彳

442

联立与抛物线解析式得:

17

y=——x+—x=5

42解得彳9或（x=-6

jy=5

124

y=-x-4y=-

4

点坐标为（-6,5）

@,：M,N、尸三个点在抛物线上，点。在y轴上

.•.设M（私-4）,N（〃,J/_4）,P（.1/一4）,0（0国）,

444

22

«*r11j—■zIz4■•一、］///I+〃tnH-n八

..MN中点坐标为（-------,------------4）

28

11

PQ中点坐标为（彳,7P?+彳^-2）

2o2

•・,直线y=fcv-2（原0）与抛物线交于设M,N两点、

y=kx-2

1

.*•\12A9整理得7工2-h—2=0

y=-x-44

I4

/.m+n=4k,mn=-8

.・.m——4=；［（加+〃>_2加〃］-4=2左2-2

：.MN中点坐标为（2左,2左2—2）

•・・四边形MPNQ是平行四边形

・・・JW和尸0互相平分，即JW、P。的中点是同一个点

C71

2k=­p

...2"

2k2-2^-p2+-q-2

[82

整理得2左2-2=，（4@2+gg_2,解得4=0

82

二。点坐标为（0,0）.

【点睛】

本题考查二次函数与几何的综合题，涉及到直线的对称与平行、平行四边形的性质等知识点，与到两倍角

问题通过对称构造倍角是解题的关键.

3.（2020•北京通州•三模）在平面直角坐标系X。中，抛物线了=4.4"+4（叱0）与>轴交于点/.

（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；

（2）过点8（0,3）作>轴的垂线/,若抛物线>="2-4办+4（。30）与直线/有两个交点，设其中靠近y轴的

交点的横坐标为a,且帆|＜1,结合函数的图象，求。得取值范围.

【答案】(1)N的坐标为(0,4),抛物线的对称轴为直线x=2；(2)或

【解析】

【分析】

(1)由抛物线解析式可求出/的坐标和抛物线的对称轴；

(2)分。＞0和。＜0画出图形，求出a的值，由图象可得a的取值范围.

【详解】

角星：(1)y=ax2-4ax+4=a(x-2)2+4-4tz.

・••点4的坐标为(0,4),抛物线的对称轴为直线卡2.

二将点（1,3）代入抛物线解析式得：ax2-4ar+l=0x=2±^4~-

|w?|<1,

:.2-,4--<1,

Va

当。＜0时，临界位置如图所示:

将点(-1,3)代入抛物线解析式得办2一4办+4=3，x=2土小4-：

V

.21

5

:.a的取值范围为a<—1或a>—.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与y轴的交点.

4.(2021・福建・重庆实验外国语学校模拟预测)已知抛物线广加+乐+2与x轴交于和8两点，与7

轴交于。点，且48=5.对于该抛物线上的任意两点片(苍，乂)，P2(x2,为)，当再<%2”-1时，总有

(1)求抛物线的解析式；

(2)若过点A的直线/：>=b+4与该抛物线交于另一点E,与线段2c交于点尸.作EG///C,EG与BC

交于G点，求EG的最大值，并求此时E点的坐标；

(3)若直线尸b-4左-3与抛物线交于尸，。两点(尸，0不与A,8重合)，直线/尸，4。分别与7轴交

于点M,N,设M,N两点的纵坐标分别为〃?，"，试探究加、〃之间的数量关系.

【答案】(1)y=-^x2+^-x+2.(2)EG有最大值逑，此时E(2,3)；(3)=

2252

【解析】

【分析】

(1)求得B点坐标，代入抛物线解析式，求解即可；

(2)求得直线/和的解析式，分别联立直线/和直线/和抛物线，求得及厂两点，再根据相似三

角形表示出£G,即可求解；

(3)分别联立直线/尸与抛物线，直线/。与抛物线，求得尸、。两点，再根据尸、。两点和点(4,-3)共线,

斜率相等，即可求解.

【详解】

解：⑴^4(-1,0),AB=5,

，8(4,0)或3(-6,0),

当5(4,0)时，ax2+区+2=0的两个根为1=4或1=一1,

~=~4,上=3,

aa

…」，b二

22

13。

/.y——x2—x+2,

22

3

•••函数的对称轴为直线x=5

二当再＜龙2”T时，总有必＜力,

13

•.函数的解析式为〉=--x2+-X+2；

当5(-6,0)时，凉+乐+2=0的两个根为、=一6或、=一1,

-=6,--=-7,

aa

33

17c

y=-x2—x+2,

33

7

二函数的对称轴为直线

7、

当„须＜x2»-1时，总有丛〉为，

17

,广一3+2不符合题意;

1Q

综上所述：函数的解析式为了=-5尤2+］工+2；

(2)分别过点E、尸作及V，45,FM1AB,如下图:

.AFAM

••瓦—而‘

.AFAM

,•EF~MN

由题意可得，-左+4=0,

**.b[=k,

・••直线/解析式为夕=履+左，

•・・C(o,2),

设直线BC的解析式为y=k2x+b2f

\b2=2

”解得2,BPy-----x+2,

2

&=2

联立直线/和得:

4-2k

x=---------

4—2k5k

解得解得尸（:)

5k2左+1'2左+1

y=

2k+1

联立直线/和抛物线得:

13)

y——x2H—x+2

《22

y=kx+k

化简得：x2+(2k-3)x+2k-4=0,

xA+xE=3—2k,

xE=4—2k,

•・•EG//AC,

/.NEGFs\ACF,

.EG_EFMN

"~AC~^F~HA'

zc=5

/ci4一2左

口「4—2k---------

,EG________21+1

'飞一三+1'

2k+l

:.EG=-—(k-\)2+—,

55

,•・抛物线开口向下，对称轴为左=1,

.•・当上=1时，EG有最大值歧，此时E(2,3)；

5

(3)•••直线/产经过点/(T,0),

•••直线AP的解析式为y=mx+m,

13c

y=——x2+—x+2

联立22

y=mx+m

jx=4-2机

解得

[y=-2m2+5m，

P(4-2m,—2m2+5m),

••・直线/。经过/(T,0),2(0,«),

直线4Q的解析式为y=nx+n,

13c

V——X2H—x+2

联立22

y=nx+n

卜二4-2〃

解得

=—2n2+5n'

0(4-2n,-2n2+5〃),

・・•直线歹=3-4左-3经过定点K(4,3),P、。在直线上,

—2加2+5加+3+5〃+3/1XR/C.c、/\r\

----------=----------,化简得：(2根〃+3)(加一几)=0

M,N两点不重合，：.m^n

2

【点睛】

此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性

质，一次函数的性质等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键.

5.(2021•浙江•绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模)己知，二次函数y=aF+2ax+l(分0)

(1)当。为何值时，该函数图象的顶点在x轴上，并写出顶点的坐标；

(2)己知点(-3,-g),(1,0),(2,-3),该函数图象过其中的两点，求此函数的解析式；

(3)已知。＞0,若点/Cb,m),8(6+3,〃)是该函数图象上的两点，且别＞〃，求6的取值范围.

【答案】(1)a=\时，顶点坐标为(-1,0)；(2)+(3)b＜――

【解析】

【分析】

(1)根据一般式顶点坐标的公式求解即可.

(2)根据解析式特征，结合二次函数的对称性来判断求解.

(3)根据函数的增减性，结合图像判断求解.

【详解】

(1)•..函数顶点在x轴上

.•・"叽0叩4x1-Ra)、。

4(24Q

解得：。2=°(舍去)

:・〃=1时，顶点在X轴上，坐标为(-1,0)

(2)*.*y=ax2+2ax+1

・，・对称轴为：％=_g=_兰=T

laZa

:如果函数过点(1,0),其对称点为(-3,0),与(-3,-；)冲突

函数图象必过(2,-3)

•**4。+4〃+1=—3

解得：«=-1

•••函数的解析式为：y=-^2-x+l

(3)当。＞0时，二次函数开口向上，距离对称轴越远的点，纵坐标值越大

对称轴为：x=-\

：.|ft-(-l)|>|fe+3-(-l)|,即0+l|〉0+4|

①当bW—4时，一1—6>—4一6成立

②当一4<bW—1时，一1—b>6+4解得：b<——

③当6〉-1时，6+1>6+4不成立

•••6的取值范围为：^<-1.

【点睛】

本题主要考察二次函数的顶点、求解析式、函数增减性等知识，熟记公式、灵活运用二次函数的对称性、

增减性等性质是解题的关键.

6.(2021•浙江•杭州市十三中教育集团(总校)二模)已知二次函数歹=。尤2+(1-。)%+(.

(1)若二次函数图象的对称轴为直线x=l,求。的值；

(2)当x22时，了随X的增大而减小，求。的取值范围；

(3)已知/(TO),8(2,0),若二次函数的图象与线段43只有一个交点，求。的取值范围.

【答案】(1)a=-1；(2)a<――-(3)——<a<—|-|.a0,a=—

【解析】

【分析】

(1)直接根据二次函数对称轴公式可得答案；

(2)根据二次函数的性质可得问题的答案；

(3)分两种情况，结合根的判别式可得答案.

【详解】

(1)由题意得，X=-了=1,

2a

解得a=-l；

(2)由题意得，工22时，歹随x的增大而减小，

・二二次函数开口向下，且对称轴位于尸2的左侧或对称轴为直线x=2,

解得QW;

（3）当A=0时，二次函数与只有一个交点,

•.♦/(-1,0),3(2,0),.MB在x轴上,

①\=b2—4ac=(1-a)。—4ax(=l-2a=0,

1

/.ci=—

2

99

②当x=—l时，y=-a-l；当工=2时，y=-a+2,

44

29

A=(1—Q)—4ax—Q>0

心+2]<0

84八

——<a<,.nH.awO

,841

综上，-3<a<3且awO,t?=—.

【点睛】

考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质及判别式是解决此题

关键.

7.（2021•吉林省第二实验学校二模）己知，点A是平面直角坐标系内的一点，将点A绕坐标原点O逆时针

旋转90。得到点3,经过A、。、3三点的二次函数的图象记为G.

（1）若点A的坐标为（1,2）.

①点、B的坐标为.

②求图象G所对应的函数表达式.

（2）若点A的坐标为（私2加）（加/0）,图象G所对应的函数表达式为7=0^2+bx（八b为常数，

。*0）.写出b的值，并用含机的代数式表示（直接写出即可）

（3）在（2）的条件下，直线》=-2与图象G交于点P,直线x=l与图象G交于点。.图象G在P、。之间

的部分（包含产、。两点）记为G-

①当图象G在-2VXV1上的函数值y随自变量X的增大而增大时，设图象d的最高点的纵坐标为4,最低

点的纵坐标为为，记〃=4-为，求的取值范围.

②连结尸。，当尸。与图象G1围成的封闭图形与X轴交于点。（点。不与坐标原点重合）.当82；时，直

接写出，〃的取值范围.

5

Q=--

576m、不217T721否15

【答案】（1）①（・2,1）；②＞=：/+%；（）；(3)①一<h<—^―<7h<—；②---<m<0

662782247

b7=—

6

或0＜加＜一或一＜mV——

777

【解析】

【分析】

（1）①根据关于绕原点逆时针旋转90。点的坐标特征求解即可;

②设二次函数的解析式为歹="2+乐+%然后利用待定系数法求解即可;

（2）点4的坐标为（私2次），则3（-2加,加），然后用待定系数法求解即可;

7

7-7

（3）①先求出抛物线的对称轴为》=-h==然后根据图象G在-24x41上的函数值》随自

2a_2_10

3m

变量X的增大而增大，即可求出％=3+二，〃,=3X（_2）2+4（-2）=工^-：则

6m66m63m3

571077白5，然后利用二次函数对称轴求出m的范围即可求解〃的范围;

6m63m322m

由①可知尸卜2,工然后求出直线尸Q的解析式,

②设直线P。的解析式为y=+b

V5mJVomy

从而得到。〔2一,0〕则。D=C一,再根据OD2：,即二一

求解即可.

15—7加）5—7加25-7m2

【详解】

解：（1）①是