崇左高三三模数学试卷

崇左高三三模数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$（其中$a,b,c,d$为实数，且$a,b,c,d$不全为0）为奇函数，则下列条件中正确的是（）

A.$a=0,b=0,c=1,d=0$

B.$a=0,b=0,c=-1,d=0$

C.$a=1,b=0,c=1,d=0$

D.$a=1,b=0,c=-1,d=0$

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=15$，$S_9=39$，则$S_{13}$的值为（）

A.39

B.57

C.63

D.75

3.若$a,b,c$为等比数列，且$a+b+c=4$，$ab+bc+ac=6$，则$b^2$的值为（）

A.2

B.3

C.4

D.6

4.已知函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x+1$，则下列说法中正确的是（）

A.函数$f(x)$的图像与x轴有两个交点

B.函数$f(x)$的图像与x轴有三个交点

C.函数$f(x)$的图像与x轴有一个交点

D.函数$f(x)$的图像与x轴没有交点

5.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=9$，$S_6=36$，则$S_9$的值为（）

A.81

B.108

C.135

D.162

6.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$的图像与x轴有三个交点，则下列说法中正确的是（）

A.$f(x)$的图像在$x=1$处取得极大值

B.$f(x)$的图像在$x=1$处取得极小值

C.$f(x)$的图像在$x=2$处取得极大值

D.$f(x)$的图像在$x=2$处取得极小值

7.已知等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则下列说法中正确的是（）

A.若$a_1>0$，则数列$\{a_n\}$单调递增

B.若$a_1<0$，则数列$\{a_n\}$单调递减

C.若$a_1>0$，则数列$\{a_n\}$单调递减

D.若$a_1<0$，则数列$\{a_n\}$单调递增

8.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-2$，则下列说法中正确的是（）

A.函数$f(x)$在$x=1$处取得极大值

B.函数$f(x)$在$x=1$处取得极小值

C.函数$f(x)$在$x=2$处取得极大值

D.函数$f(x)$在$x=2$处取得极小值

9.若函数$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$（其中$a,b,c,d$为实数，且$a,b,c,d$不全为0）为偶函数，则下列条件中正确的是（）

A.$a=0,b=0,c=1,d=0$

B.$a=0,b=0,c=-1,d=0$

C.$a=1,b=0,c=1,d=0$

D.$a=1,b=0,c=-1,d=0$

10.已知等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则下列说法中正确的是（）

A.若$a_1>0$，则数列$\{a_n\}$单调递增

B.若$a_1<0$，则数列$\{a_n\}$单调递减

C.若$a_1>0$，则数列$\{a_n\}$单调递减

D.若$a_1<0$，则数列$\{a_n\}$单调递增

二、判断题

1.对于任意实数$x$，函数$f(x)=x^2$的图像是一个开口向上的抛物线。（）

2.如果一个数列的每一项都是正数，那么这个数列一定是单调递增的。（）

3.对于函数$f(x)=x^3$，在区间$(-\infty,+\infty)$上，函数是单调递增的。（）

4.在等差数列中，任意两个相邻项的差是常数，这个常数就是公差。（）

5.在等比数列中，任意两个相邻项的比值是常数，这个常数就是公比。（）

三、填空题

1.已知等差数列$\{a_n\}$的首项$a_1=3$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}$的值为______。

2.函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-2$的导数$f'(x)$在$x=1$处的值为______。

3.若等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=1$，公比$q=2$，则第5项$a_5$的值为______。

4.函数$f(x)=x^2+2x+1$在区间$[-1,2]$上的最大值是______。

5.若函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=2$处的导数存在，则$f'(2)$的值为______。

四、简答题

1.简述函数的极值和拐点的概念，并举例说明如何判断函数的极值和拐点。

2.请解释等差数列和等比数列的定义，并给出一个例子说明如何确定一个数列是等差数列或等比数列。

3.如何求一个函数的导数？请简述导数的几何意义和物理意义。

4.请说明如何求解一元二次方程的根，并给出一个具体的例子。

5.请解释什么是函数的单调性，并说明如何判断一个函数在某个区间上的单调性。

五、计算题

1.计算下列函数的导数：$f(x)=e^{2x}\sin(x)$。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为$S_5=55$，求该数列的第10项$a_{10}$。

3.求函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的极值点，并确定极值的类型（极大值或极小值）。

4.解下列方程：$3x^2-5x+2=0$。

5.已知等比数列$\{a_n\}$的首项$a_1=5$，公比$q=\frac{1}{2}$，求该数列的前10项和$S_{10}$。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司计划在未来五年内每年投资一定金额进行研发，预计每年的研发成果将产生递增的收益。已知第一年投资额为100万元，之后每年增加20万元，预计第5年的收益为500万元。假设收益与投资额之间呈线性关系，请根据以下信息计算每年的投资额和收益。

案例分析：

（1）设每年的投资额为$a_n$万元，收益为$b_n$万元，建立等差数列$\{a_n\}$和等比数列$\{b_n\}$。

（2）根据已知条件，求出等差数列$\{a_n\}$的公差$d$和等比数列$\{b_n\}$的公比$q$。

（3）利用等差数列和等比数列的通项公式，求出第5年的投资额$a_5$和收益$b_5$。

2.案例背景：某城市计划在接下来的三年内进行绿化工程，计划每年种植树木的数量依次为1000棵、1500棵和2000棵。已知每棵树每年的生长速度为10%，且每棵树每年需要维护费用为50元。请根据以下信息计算三年内总共需要投入的维护费用。

案例分析：

（1）设第$n$年种植的树木数量为$a_n$棵，维护费用为$b_n$元，建立等差数列$\{a_n\}$和等比数列$\{b_n\}$。

（2）根据已知条件，求出等差数列$\{a_n\}$的公差$d$和等比数列$\{b_n\}$的公比$q$。

（3）利用等差数列和等比数列的通项公式，计算三年内总共需要投入的维护费用。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一种产品，前三个月的产量分别为1000件、1500件和2000件。如果工厂计划在未来六个月内保持产量增长，且每个月的增长率相同，那么第七个月的产量是多少？

2.应用题：一个投资者购买了一种股票，初始投资为10000元。如果股票的年收益率为10%，并且每年的收益以等比数列的形式增长，那么在第五年末，投资者的投资价值是多少？

3.应用题：一个等差数列的前三项分别是3、7、11，求这个数列的前10项和。

4.应用题：一个等比数列的首项是2，公比是3，求这个数列的第7项和前7项的和。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B.$a=0,b=0,c=-1,d=0$

2.B.57

3.B.3

4.A.函数$f(x)$的图像与x轴有两个交点

5.A.81

6.B.$f(x)$的图像在$x=1$处取得极小值

7.D.若$a_1<0$，则数列$\{a_n\}$单调递增

8.B.$f(x)$的图像在$x=1$处取得极小值

9.A.$a=0,b=0,c=1,d=0$

10.D.若$a_1<0$，则数列$\{a_n\}$单调递增

二、判断题

1.×

2.×

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.23

2.2

3.5

4.7

5.50

四、简答题

1.极值是函数在某一点附近的局部最大值或最小值，拐点是函数曲线凹凸性改变的点。判断极值和拐点的方法包括求导数，令导数为0找到可能的极值点，通过二阶导数的符号判断极值的类型；拐点可以通过求二阶导数，令二阶导数为0找到可能的拐点。

2.等差数列是每一项与它前一项之差为常数（公差）的数列。等比数列是每一项与它前一项之比为常数（公比）的数列。例如，数列1,3,5,7,9是一个等差数列，公差为2；数列2,6,18,54,162是一个等比数列，公比为3。

3.求导数的方法包括直接求导、复合函数求导、隐函数求导等。导数的几何意义是切线的斜率，物理意义是瞬时变化率。

4.一元二次方程的根可以通过配方法、公式法、因式分解法等方法求解。例如，方程$x^2-5x+6=0$可以通过因式分解法解得$x=2$或$x=3$。

5.函数的单调性是指函数在其定义域内，随着自变量的增加或减少，函数值也随之增加或减少。判断单调性的方法包括求导数，通过导数的符号判断函数的单调性。

五、计算题

1.$f'(x)=2e^{2x}\sin(x)+e^{2x}\cos(x)$

2.$a_{10}=3+(10-1)\times2=21$

3.极值点为$x=1$，极小值为$f(1)=-2$

4.$x=\frac{5\pm\sqrt{25-4\times3\times2}}{2\times3}=\frac{5\pm1}{6}=\frac{2}{3},1$

5.$a_7=5\times3^6=54045,S_{10}=\frac{5(1-3^{10})}{1-3}=15125$

六、案例分析题

1.案例分析：

（1）$a_n=100+(n-1)\times20,b_n=500\times1.1^{n-1}$

（2）$d=20,q=1.1$

（3）$a_5=100+4\times20=200,b_5=500\times1.1^4=615.31$

2.案例分析：

（1）$a_n=10000\times1.1^{n-1},b_n=10000\times1.1^{n-1}\times0.1$

（2）$q=1.1,b_n=1000\times1.1^{n-1}$

（3）$b_5=1000\times1.1^4=16105,S_{10}=1000\times\frac{1.1^{10}-1}{1.1-1}=16105$

七、应