大同市考试高三数学试卷

大同市考试高三数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的图像开口向上，对称轴为$x=\frac{-b}{2a}$，则下列选项中正确的是（）

A.$a>0$，$b<0$，$c>0$

B.$a>0$，$b>0$，$c>0$

C.$a<0$，$b<0$，$c<0$

D.$a<0$，$b>0$，$c>0$

2.已知数列$\{a_n\}$是等差数列，且$a_1=1$，$a_5=11$，则该数列的公差是（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在$\triangleABC$中，$\angleA=60^\circ$，$\angleB=45^\circ$，若$AB=2$，则$AC$的长度是（）

A.$\sqrt{6}$

B.$\sqrt{3}$

C.2

D.$\sqrt{2}$

4.若不等式$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}>\frac{3}{x+2}$恒成立，则实数$x$的取值范围是（）

A.$x<-2$或$x>0$

B.$x<-2$或$x>0$或$x=1$

C.$x<-2$或$0<x<1$或$x>2$

D.$x<-2$或$0<x<1$或$x>2$或$x=1$

5.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，若存在实数$a$，使得$f(a)=0$，则下列选项中正确的是（）

A.$a=1$或$a=2$或$a=3$

B.$a=1$或$a=2$或$a=3$或$a=4$

C.$a=1$或$a=2$或$a=3$或$a=4$或$a=5$

D.$a=1$或$a=2$或$a=3$或$a=4$或$a=5$或$a=6$

6.若复数$z$满足$|z-2i|=|z+1|$，则复数$z$在复平面内的轨迹是（）

A.圆心为$(1,0)$，半径为$\sqrt{2}$的圆

B.圆心为$(1,0)$，半径为$\sqrt{3}$的圆

C.圆心为$(2,0)$，半径为$\sqrt{2}$的圆

D.圆心为$(2,0)$，半径为$\sqrt{3}$的圆

7.若数列$\{a_n\}$是等比数列，且$a_1=2$，$a_4=32$，则该数列的公比是（）

A.$\frac{1}{2}$

B.2

C.4

D.8

8.已知函数$f(x)=\lnx+1$，若$f'(x)>0$，则实数$x$的取值范围是（）

A.$x>1$

B.$x>0$

C.$x>0$或$x<1$

D.$x>0$或$x<1$或$x=1$

9.若复数$z$满足$|z-2i|=|z+1|$，则复数$z$在复平面内的轨迹是（）

A.圆心为$(1,0)$，半径为$\sqrt{2}$的圆

B.圆心为$(1,0)$，半径为$\sqrt{3}$的圆

C.圆心为$(2,0)$，半径为$\sqrt{2}$的圆

D.圆心为$(2,0)$，半径为$\sqrt{3}$的圆

10.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，若存在实数$a$，使得$f(a)=0$，则下列选项中正确的是（）

A.$a=1$或$a=2$或$a=3$

B.$a=1$或$a=2$或$a=3$或$a=4$

C.$a=1$或$a=2$或$a=3$或$a=4$或$a=5$

D.$a=1$或$a=2$或$a=3$或$a=4$或$a=5$或$a=6$

二、判断题

1.在直角坐标系中，若点$A(2,3)$关于直线$y=x$的对称点为$B$，则点$B$的坐标为$(3,2)$。（）

2.在等差数列中，若$a_1=5$，$a_5=15$，则该数列的公差为$2$。（）

3.在任意三角形中，若$AB=AC$，则$\angleB=\angleC$。（）

4.对于任意实数$x$，不等式$\sqrt{x^2}\geqx$恒成立。（）

5.在复数范围内，若$z_1$和$z_2$是共轭复数，则它们的和$z_1+z_2$一定是实数。（）

三、填空题

1.函数$f(x)=2x^3-9x^2+12x$的导数$f'(x)$为__________。

2.若等差数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=3$，公差$d=2$，则第10项$a_{10}$的值为__________。

3.在$\triangleABC$中，若$\angleA=30^\circ$，$\angleB=75^\circ$，则$\angleC$的度数为__________。

4.若复数$z$满足$|z-2i|=|z+1|$，则复数$z$在复平面内的轨迹方程为__________。

5.函数$f(x)=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$的零点为__________。

四、简答题

1.简述等差数列和等比数列的定义，并给出一个例子说明。

2.如何判断一个二次函数的图像开口方向和对称轴的位置？

3.在直角坐标系中，如何利用两点坐标求出两点之间的距离？

4.请解释复数乘法的几何意义，并举例说明。

5.简述函数极值的概念，并说明如何求一个函数的极大值或极小值。

五、计算题

1.计算下列极限：

\[

\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}

\]

2.解下列不等式：

\[

x^2-4x+3>0

\]

3.求函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$的导数$f'(x)$，并找出函数的极值点。

4.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=4n^2-3n$，求该数列的首项$a_1$和公差$d$。

5.计算下列积分：

\[

\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx

\]

六、案例分析题

1.案例背景：某班级的学生参加了一场数学竞赛，成绩分布如下表所示：

|成绩区间|学生人数|

|----------|----------|

|0-20分|2|

|21-40分|5|

|41-60分|8|

|61-80分|10|

|81-100分|5|

请根据上述数据，分析该班级学生在数学竞赛中的整体表现，并给出改进建议。

2.案例背景：某公司为了提高员工的工作效率，决定对现有的工作流程进行优化。在优化过程中，公司采用了以下方法：

-对工作流程进行重新设计，减少不必要的步骤；

-引入自动化工具，提高工作效率；

-对员工进行培训，提高其技能水平。

请分析该公司在优化工作流程过程中可能遇到的问题，并提出相应的解决方案。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，每件产品的成本为50元，售价为100元。为了促销，工厂决定对每件产品进行打折销售，打折后的售价为原售价的85%。如果工厂希望每件产品的利润至少为15元，那么最多可以打几折？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm和3cm。现在需要将这个长方体切割成若干个相同的小长方体，每个小长方体的体积为12cm³。请计算至少需要切割几次？

3.应用题：某城市计划建造一条新的道路，道路的长度为10公里。已知道路的宽度需要满足以下条件：道路边缘的宽度至少为2米，道路中间的车道宽度至少为3米，道路两侧的绿化带宽度至少为1米。请计算这条道路的总面积。

4.应用题：一个班级有40名学生，其中30名学生参加了数学竞赛，25名学生参加了物理竞赛，有5名学生两个竞赛都参加了。请问这个班级有多少学生没有参加任何竞赛？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.A.$a>0$，$b<0$，$c>0$

2.B.3

3.A.$\sqrt{6}$

4.C.$x<-2$或$0<x<1$或$x>2$

5.B.$a=1$或$a=2$或$a=3$或$a=4$

6.A.圆心为$(1,0)$，半径为$\sqrt{2}$的圆

7.B.2

8.A.$x>1$

9.A.圆心为$(1,0)$，半径为$\sqrt{2}$的圆

10.B.$a=1$或$a=2$或$a=3$或$a=4$

二、判断题

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题

1.$6x^2-18x+12$

2.3

3.105°

4.$(x-1)^2+(y-2)^2=2^2$

5.$x=1$或$x=2$

四、简答题

1.等差数列的定义：若数列$\{a_n\}$中，任意相邻两项的差值都是常数$d$，则称这个数列为等差数列。例如，数列1,4,7,10,13...就是一个等差数列，其公差$d=3$。

等比数列的定义：若数列$\{a_n\}$中，任意相邻两项的比值都是常数$q$（$q\neq0$），则称这个数列为等比数列。例如，数列2,6,18,54,162...就是一个等比数列，其公比$q=3$。

2.二次函数的图像开口方向和对称轴的位置判断：

-开口方向：若二次项系数$a>0$，则图像开口向上；若$a<0$，则图像开口向下。

-对称轴位置：二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。

3.在直角坐标系中，利用两点坐标求两点之间的距离公式为：

\[

d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

\]

其中，$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$为两点的坐标。

4.复数乘法的几何意义：在复平面上，两个复数$z_1=a+bi$和$z_2=c+di$的乘积$z_1z_2$等于将$z_1$绕原点旋转$z_2$的辐角（即与实轴的夹角），并将$z_1$的模乘以$z_2$的模。例如，$z_1z_2=(2+3i)(1+i)=-1+5i$，表示将$z_1$逆时针旋转$45^\circ$，并将模乘以$\sqrt{10}$。

5.函数极值的概念：函数在某一点取得局部最大值或最小值，这个点称为函数的极值点。求函数极值的方法：

-求导数$f'(x)$，令$f'(x)=0$，解得驻点。

-判断驻点两侧导数的符号，若从正变负，则该点为极大值点；若从负变正，则该点为极小值点。

五、计算题

1.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$

2.$x^2-4x+3>0$的解集为$x<1$或$x>3$。

3.$f'(x)=3x^2-12x+9$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$和$x=3$。判断得$x=1$为极小值点，$x=3$为极大值点。

4.$S_n=4n^2-3n$，由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得到$a_1=3$，$a_n=4n-3$，解得公差$d=2$。

5.$\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx=\left[x^3-x^2+x\right]_0^1=1-1+