2024年北师大版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高二数学上册月考试卷971考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、设sinα=sinθ+cosθ，sin2β=2sinθ•cosθ；则（）

A.sin2α=1+sin2β

B.sin2α=1+2sin2β

C.sin2α=1-sin2β

D.sin2α=1-2sin2β

2、若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值等于8，则动点M的轨迹方程为()A.B.C.D.3、【题文】若是等差数列，首项则使前n项和成的。

最大自然数n是：（）A.4019B.4020C.4021D.40224、若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的（）A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.都不对5、下列四个命题中错误的是(

)

A.在一次试卷分析中，从每个考室中抽取第5

号考生的成绩进行统计，不是简单随机抽样B.对一个样本容量为100

的数据分组；各组的频数如下：

。区间C.[17,19)

E.[21,23)

E.[21,23)

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、已知集合则__.7、数列中，若则8、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a=8，∠B=60°，∠C=75°，那么b等于____．9、【题文】已知数列的前n项和是且则____．10、【题文】某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9。已知这组数据的平均分数为10，方差为2，则的值为____。评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)11、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

12、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）13、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共2题，共18分)18、已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A，B，C为抛物线上三点．若且．

（1）求抛物线方程；

（2）（文）若OA⊥OB；直线AB与x轴交于一点（m，0），求m．

（2）（理）若以为AB为直径的圆经过坐标原点O；则求证直线AB经过一定点，并求出定点坐标．

19、已知函数（为实常数）．（1）若求函数的单调区间；（2）设在区间上的最小值为求的表达式．评卷人得分五、计算题(共3题，共18分)20、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．21、1.（本小题满分12分）分别是椭圆的左右焦点,直线与C相交于A,B两点（1）直线斜率为1且过点若成等差数列，求值（2）若直线且求值.22、解关于x的不等式ax2﹣（2a+2）x+4＞0．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】

∵sinα=sinθ+cosθ，sin2β=2sinθ•cosθ

∴sin2α=sin2θ+cos2θ+2sinθ•cosθ；

∴sin2α=1+sin2β；

故选A．

【解析】【答案】将sinα=sinθ+cosθ两边平方，由平方关系化简后，再把sin2β代入即可．

2、C【分析】试题分析：因为由双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线。此时即所以点的轨迹方程是故C正确。考点：双曲线的定义。【解析】【答案】C3、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B4、C【分析】解：根据题意；设命题A为“若p，则q”；

则命题B为“若q；则p”；

命题C为“若￢p；则￢q”；

显然；B与C是互为逆否命题．

故选：C．

把命题A；B、C写成“若p；则q”的形式，即可得出B与C的关系．

本题考查了四种命题之间的关系的应用问题，解题时应先把命题写成“若p，则q”的形式，是基础题．【解析】【答案】C5、B【分析】解：对于A

系统抽样的特点是从比较多比较均衡的个体中抽取一定的样本，并且抽取的样本具有一定的规律性，在一次试卷分析中，从每个试室中抽取第5

号考生的成绩进行统计，这是一个系统抽样，故正确；

对于B

估计小于29

的数据大约占总体的52%

错误；

对于C隆脽

相关系数的绝对值越大，越具有强大相关性，隆脿

正确。

对于D

由题意，K2隆脰7.8

隆脽7.8>6.635

隆脿

有0.01=1%

的机会错误；

即有99%

以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”；正确．

故选B．

对4

个命题分别进行判断；即可得出结论．

本题考查命题的真假判断，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】B

二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】试题分析：因为所以考点：1.二次不等式；2.集合的运算.【解析】【答案】7、略

【分析】试题分析：当时，当时，综上考点：数列前n项和与的关系.【解析】【答案】8、略

【分析】

∵在△ABC中；∠B=60°，∠C=75°；

∴∠A=180°-∠B-∠C

=180°-60°-75°

=45°；又a=8；

∴由正弦定理=得：

b===4．

故答案为：4．

【解析】【答案】依题意可求得∠A，利用正弦定理即可求得b．

9、略

【分析】【解析】

试题分析：因为，

所以，n=1时，=2；

当时，由两式两边分别相减得，-2n+4，验证知，n=1时，=2，适合上式，故-2n+4。

考点：本题主要考查等差数列的通项公式；求和公式。

点评：简单题，涉及往往通过研究的差，发现结论。【解析】【答案】-2n+410、略

【分析】【解析】

试题分析：利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可。解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8；解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为4.

考点：平均值。

点评：本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．【解析】【答案】4三、作图题(共9题，共18分)11、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

12、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．13、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共2题，共18分)18、略

【分析】

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）

∵点A（x1，y1）在抛物线y2=2px上；

∴根据抛物线的定义得同理可得

∵

∴①

∵∴=（y1），=（y2），=（y3）；

又∵

∴②

联解①②得：P=2

因此，抛物线方程为：y2=4x

（2）（文）设A（x1，y1），B（x2，y2）；

∵OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0③

设过点m的直线方程为：y=k（x-m）；

由消去x得：ky2-4y-4km=0

由韦达定理得：y1y2=-4m，所以x1x2=•=（y1y2）2=m2；

将上式代入③，得m2+（-4m）=0；所以m=0（舍）或m=4．

（2）（理）设直线AB方程为：y-y1=k（x-x1）；

其中斜率k===

∴直线AB方程化为：y-y1=（x-x1）；

∵以为AB为直径的圆经过坐标原点O；

∴∠AOB=90°，可得向量所以=x1x2+y1y2=0④

∵A（x1，y1），B（x2，y2）都在抛物线y2=4x上；

∴x1=y12，x2=y22，代入④得：（y1y2）2+y1y2=0

∴y1y2=-16（舍y1y2=0），可得y2=-

将y2=-和代入直线AB方程，化简可得：4x-（y1+）y-16=0

令y=0；得x=4，因此直线AB经过定点（4，0）．

【解析】【答案】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据根据抛物线的定义得：①；根据向量的坐标运算得：②，联解①②可得抛物线方程为：y2=4x；

（2）（文）设A（x1，y1），B（x2，y2），根据OA⊥OB，得=x1x2+y1y2=0③．再由直线y=k（x-m）与抛物线方程消去x得：ky2-4y-4km=0，结合韦达定理得：y1y2=-4m，结合抛物线方程求得x1x2=（y1y2）2=m2，将它代入③，得m2+（-4m）=0；所以m=0（舍）或m=4．

（理）设直线AB方程为：y-y1=k（x-x1），其中斜率k==直线AB方程化为：y-y1=（x-x1）．结合以为AB为直径的圆经过坐标原点O；

可以证明出x1x2+y1y2=0④，将x1=y12，x2=y22，代入④得：（y1y2）2+y1y2=0，从而y1y2=-16，可得y2=-．最后将y2=-和代入直线AB方程，化简可得：4x-（y1+）y-16=0；再令y=0得x=4，因此直线AB经过定点（4，0）．

19、略

【分析】试题分析：（1）根据绝对值的含义，取绝对值符号写出函数的分段形式；（2）根据二次函数的对称轴方程与区间位置，分类讨论求最小值的解析式．（1）的单调递减区间为和（2）当时，在上单调递减，所以当时，当时，（ⅰ）当即时，此时在上单调递增，所以时，（ⅱ）当即时，当时，（ⅲ）当即时，此时在上单调递减，所以时，当时，此时在上单调递减，所以时，综上：考点：二次函数的性质；函数的图象与图象变化．【解析】