2025年湖南省初中学业水平考试数学模拟卷(一)（解析版）

2025年湖南省初中学业水平考试数学模拟卷(一)(考试时量：120分钟，满分：120分)一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如果向东走10m记作，那么向西走记作（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据具有相反意义的量即可得．【详解】解：因为向东与向西是一对具有相反意义的量，所以如果向东走10m记作，那么向西走记作，故选：C．【点睛】本题考查了具有相反意义的量，熟练掌握具有相反意义的量是解题关键．2.祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．根据，即得解．【详解】解：，将1665000用科学记数法表示应为．故选：B．3.下列常见的几何体中，主视图和左视图不同的是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单几何体的三视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体．【详解】解：A、圆台的主视图和左视图都是梯形，本选项不符合题意；B、圆柱的主视图是长方形，左视图是圆，本选项符合题意；C、圆锥的主视图与左视图相同，都是等腰三角形，本选项不符合题意；D、球的主视图和左视图相同，都是圆，本选项不符合题意．故选：B．4.下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可．【详解】A．，故本选项原说法不符合题意；B．，故本选项原说法不合题意；C．，故本选项原说法不合题意；D．，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5.计算的结果为（）A. B.17 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算．根据乘法分配律，计算乘法，再计算加法即可求解．【详解】解：，故选：C．6.如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（）．A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】A【解析】【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．【详解】解：∵，∴，∵若，又，∴与满足“”的关系，无法证明全等，因此无法得出，故A是假命题，∵若，∴，在和中，，∴，∴，故B是真命题；若，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，故C是真命题；若，则在和中，，∴，∴，故D是真命题；故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．7.如图，AB是的弦，交于点，是上一点，连接BD，CD．若，则的度数为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，，∴，故选：B．8.6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（）A.5，4 B.6，5 C.6，7 D.7，7【答案】C【解析】【分析】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【详解】中位数：，众数：7故选：C．9.如图，在矩形中，，，为对角线，的平分线交于点E，连接DE交于点F．则下列结论中错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查矩形的性质，解直角三角形，勾股定理和相似三角形的判定和性质，先根据勾股定理求出，然后利用三角函数得到即可判断A选项，然后利用角平分线和30°的直角三角形的性质判断B选项；利用面积求出判断C选项；再根据勾股定理判断D选项即可解题．【详解】解：∵四边形是矩形，，，∵∴，故A正确，不符合题意；，∵是的角平分线，，故B正确，不符合题意；，故C错误，符合题意；，，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴，故D正确，不符合题意；故选：C．10.定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a﹣b+c=0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是（）A.方程有两个相等的实数根 B.方程有一根等于0C.方程两根之和等于0 D.方程两根之积等于0【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据已知得出方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，再判断即可．解：∵把x=1代入方程ax2+bx+c=0得出：a+b+c=0，把x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得出a﹣b+c=0，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x=1和x=﹣1，∴1+（﹣1）=0，即只有选项C正确；选项A、B、D都错误；故选：C．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11.计算：____．【答案】6【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先计算乘方和算术平方根，然后再进行加减运算即可得到答案．【详解】解：，故答案为：6．12.某十字路口有一组自动控制交通运行的红绿灯，按照绿灯亮，黄灯亮，红灯亮循环显示，小明每天骑车上学都要经过这个路口，那么他一次路过此路口，正好遇到绿灯的概率是_____．【答案】05##12【解析】【分析】本题主要考查了概率公式的应用，熟记概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．由绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，红灯亮25秒，直接利用概率公式求解即可得到答案．【详解】解：∵绿灯亮，黄灯亮，红灯亮循环显示，∴路过此路口，正好遇到绿灯的概率=．故答案为：0.5．13.分式方程的解为____．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．两边都乘以化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：方程两边同时乘以，得，，，检验：当时，．是原分式方程的解．14.若等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长是__．【答案】15【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：由等腰三角形的定义，分以下两种情况：（1）当边长为的边为腰时，则这个等腰三角形的三边长分别为，，，∵，∴不满足三角形的三边关系定理，不能组成三角形；（2）当边长为的边为腰时，则这个等腰三角形的三边长分别为，，，满足三角形的三边关系定理，此时这个等腰三角形的周长为；综上，这个等腰三角形的周长为，故答案为：15．15.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可）【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式，解得，则的值可以是0，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．16.一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是____．【答案】3【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键．设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可．【详解】设一次函数的解析式：，把，代入，得，解得：，，把代入，得．故答案为：3．17.如图，在等腰三角形中，，分别以点，点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接BD，则的度数为____．【答案】30°##度【解析】【分析】本题考查了等边对等角，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握等腰等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得，由作图可得垂直平分线，则有，所以，再根据，即可求解．【详解】解：∵是等腰三角形，，∴，根据作图可得，是线段AB的垂直平分线，∴，∴，∴，故答案为：30°

．18.如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形面积为____．【答案】60【解析】【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作，，根据等边对等角结合平行线的性质，推出，进而得到，得到，进而得到四边形的面积等于，设，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，过点作，，则：，∵，且，∴，∴四边形的面积，∵，∴，设，则：，由勾股定理，得：，∴，解：，∴，∴，∴四边形的面积为60．故答案为：60．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.计算：．【答案】【解析】【分析】考查了实数的运算，解题关键是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算按从左到右的顺序进行．利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再相加减即可．【详解】解：．20.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当时，原式．21.某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下：信息一：

信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89请根据以上信息，解答下列问题：（1）求所抽取的学生成组为C等级的人数；（2）求所抽取的学生成绩的中位数；（3）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．【答案】（1）7人（2）85（3）120人【解析】【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键．（1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可；（2）总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，由于C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，因此中位数为：；（3）拿360乘以A等级的人数所占百分比即可．【小问1详解】解：总人数为：（人），∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）；【小问2详解】解：总人数为30人，因此中位数是第15和第16名同学的成绩的平均数，∵C中1人，D中7人，B中12人，故中位数是B中第7和第8名同学的成绩的平均数，∴中位数为：；【小问3详解】解：成绩为A等级的人数为：（人），答：成绩为A等级的人数为120．22.如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可；（2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可．【详解】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果，故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；（2）证明：∵，，∴，∵，∴四边形为平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．23.2024年巴黎奥运会将于7月26日至8月11日举行，某经销店调查发现：与吉祥物相关的A，B两款纪念品深受青少年喜爱．已知购进3个A款比购进2个B款多用120元；购进1个A款和2个B款共用200元．（1）分别求出A，B两款纪念品的进货单价；（2）该商店决定购进这两款纪念品共70个，其总费用不超过5000元，则至少应购买B款纪念品多少个？【答案】（1）A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元（2）至少应购买B款纪念品30个【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，（1）设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，即可求解．【小问1详解】解：设A款纪念品的进货单价为x元，则B款纪念品的进货单价为y元，由题意得，，解得，答：A款纪念品的进货单价为80元，则B款纪念品的进货单价为60元．【小问2详解】解：设购买B款纪念品a个，则购买A款纪念品个，由题意得，，解得，，答：至少应购买B款纪念品30个．24.武威市某校学生开展测量南城门楼高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如下表：活动课题测量南城门楼高度活动目的运用三角函数知识解决实际问题活动工具测角仪、皮尺等测量工具方案示意图测量步骤（1）利用测角仪站在B处测得城门楼最高点P的仰角为；（2）前进了14米到达A处（点A，B，O在同一水平线上，测角仪高度忽略不计），在A处测得P点的仰角为．测量数据，，米参考数据，，，，，．根据上表中的测量方案及其数据，计算城楼的高度（结果保留整数）．【答案】鼓楼的高度约为24米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是是解题的关键．根据题意可得∶，米，然后设米，则米在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义表示出的长，从而可得，进行计算即可解答．【详解】由题意得：，米，设米，则米在中，，∴米，在中，，∴米，∴，解得，∴米，答：鼓楼的高度约为24米．25.在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标．（3）如图2，连接，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为．当取得最大值时，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；（2）令时，，求出，进一步求出直线解析式为，设，则，表示出，，利用，可得，可得；（3）由得到，进而得到，作交y轴于N，作轴交于Q，求出直线的解析式为，进而得到，求出，再证明，设，则，得到，得到，即可得到此时，点P的坐标为，点Q的坐标为，求出，，证明，得到，由即可求出答案．【小问1详解】解：∵抛物线与轴交于点，，∴，解得：，∴抛物线解析式为．；【小问2详解】解：∵当时，，∴，设直线的解析式为，∴，解得：，∴直线的解析式为，设，则，∵轴于点D，∴，，∴，∴，∵，∴，解得，（此时，重合，不合题意舍去），∴，∴；【小问3详解】解：∵，，∴，，作交y轴于N，作轴交于Q，直线的解析式为，，直线的解析式为，将代入，