2024年人教A版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年人教A版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得（）A.当时，该命题不成立B.当时，该命题成立C.当时，该命题成立D.当时，该命题不成立2、【题文】已知双曲线的左、右焦点分别为以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为则此双曲线的方程为（）A.B.C.D.3、【题文】已知为等比数列，则（）A.B.C.D.4、【题文】已知函数下列结论中正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象关于直线对称；C.函数的图象关于点（）对称；D.函数内是增函数.5、【题文】已知复数则（）A.B.C.D.6、从n(且n≥2)人中选两人排A，B两个位置，若其中A位置不排甲的排法数为25，则n=()A.3B.4C.5D.67、数列的前n项和为若则等于（）A.1B.C.D.8、椭圆的焦点为F1F2

椭圆上存在点P

使得隆脧F1PF2=2娄脨3

则椭圆的离心率e

的取值范围是(

)

A.[32,1)

B.[12,1)

C.(0,32]

D.(0,12]

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、已知根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．10、设焦点是的双曲线在第一象限内的部分记为曲线若点都在曲线上，记点到直线的距离为又已知则常数___________．11、在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有____．12、已知f(x)=(鈭�x2+x鈭�1)ex(e

是自然对数的底数)

的图象与g(x)=13x3+12x2+m

的图象有3

个不同的交点，则m

的取值范围是______．13、已知函数f(x)=13x3鈭�ax2+2x+3

在(鈭�隆脼,+隆脼)

上单调递增，则实数a

的取值范围是______．评卷人得分三、作图题(共6题，共12分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共32分)20、（本题满分13分）已知数列满足=-1，数列满足（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式.（2）求证：当时，（3）设数列的前项和为求证：当时，21、已知的展开式中，第5项的二次式系数与第3项的系数之比是3∶2（1）求n的值;（2）若展开式中各项的系数和为S，各项的二项式系数和为T，求的值.22、设函数f（x）=x2-alnx与的图象分别交直线x=1于点A；B，且曲线y=f（x）在点A处的切线与曲线y=g（x）在点B处的切线平行（斜率相等）．

（1）求函数f（x）；g（x）的表达式；

（2）当a＞1时；求函数h（x）=f（x）-g（x）的最小值；

（3）当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立；求实数m的取值范围．

23、对某校小学生进行心理障碍测试；得到如下列联表(

单位：名)

性别与心理障碍列联表。

。焦虑说谎懒惰总计女生5101530男生20105080总计2520651110试说明三种心理障碍分别与性别的关系如何.(

我们规定：如果随机变量K2

的观测值小于2.076

就认为没有充分的证据显示“两个分类变量有关系”.

参考值图表见题3)

评卷人得分五、计算题(共3题，共27分)24、1.（本小题满分12分）已知数列满足且（）。（1）求的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。25、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；26、解不等式组：．评卷人得分六、综合题(共2题，共16分)27、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．28、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】试题分析：“当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立”它的逆否命题为“当时该命题不成立，那么当时该命题也不成立”，因为它们同真，所以当时该命题不成立，那么可推得当时，该命题也不成立，故选择D.考点：四种命题和数学归纳法.【解析】【答案】D2、C【分析】【解析】

试题分析：由条件得：即而渐近线为在上，所以得所以双曲线方程为

考点：1.双曲线方程的求法；2.双曲线的渐近线.【解析】【答案】C3、D【分析】【解析】解：因为为等比数列，根据根与系数的关系得到则-7，选D【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】解：将代入得故选B【解析】【答案】B6、D【分析】【解答】从n(且n≥2)人中选两人排A，B两个位置，其中A位置不排甲的排法为分两类，一是不排甲，有种方法，二是将甲排在位置B，再从其余n-1人中选一个排在位置A，有n-1种方法，所以，有+n-1=25，即

解得；n=6，n=4（舍去），选D。

【分析】简单题，有条件的排列问题，应注意从特殊元素及特殊位置优先考虑。7、B【分析】【分析】因为=所以=选B。

【点评】常见的裂项公式：8、A【分析】解：设，P(x1,y1)1(鈭�c,0)2(c,0)c>0

则|PF1|=a+ex1|PF2|=a鈭�ex1

．

在鈻�PF1F2

中，由余弦定理得cos2娄脨3=鈭�12=(a+ex1)2+(a鈭�ex1)2鈭�4c22(a+ex1)(a鈭�ex1)

解得x12=4c2鈭�3a2e2.

隆脽x12隆脢(0,a2]

隆脿0鈮�4c2鈭�3a2e2<a2

即4c2鈭�3a2鈮�0.

且e2<1

隆脿e=ca鈮�32

．

故椭圆离心率的取范围是e隆脢[32,1)

．

故选：A

．

先根据椭圆定义得到|PF1|=a+ex1|PF2|=a鈭�ex1

再利用余弦定理得到余弦定理得cos2娄脨3=鈭�12=(a+ex1)2+(a鈭�ex1)2鈭�4c22(a+ex1)(a鈭�ex1)

求出x12=4c2鈭�3a2e2

利用椭圆的范围列出不等式求出离心率的范围．

本题主要考查了椭圆的应用.

当P

点在短轴的端点时隆脧F1PF2

值最大，这个结论可以记住它.

在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．【解析】A

二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】试题分析：根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到分母为右式为将规律表示出来可得答案．考点：归纳推理．【解析】【答案】．10、略

【分析】试题分析：因为双曲线的焦点为所以双曲线的标准方程可设为且因为双曲线上的点到直线的距离为存在极限，所以直线与双曲线的渐近线平行，即所以渐近线方程为又因为所以直线与双曲线的渐近线的距离为即考点：双曲线的几何性质.【解析】【答案】11、cos2α+cos2β+cos2γ=2【分析】【解答】解：我们将平面中的两维性质；类比推断到空间中的三维性质．

由在长方形中；设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β；

则有cos2α+cos2β=1；

我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质；

∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中；

对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α；β，γ；

∴cosα=cosβ=cosγ=

∴cos2α+cos2β+cos2γ

==2．

故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．

【分析】本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，根据长方体性质可以类比推断出空间性质，从而得出答案．12、略

【分析】解：令h(x)=f(x)鈭�g(x)=(鈭�x2+x鈭�1)ex鈭�(13x3+12x2+m)

则h隆盲(x)=(鈭�2x+1)ex+(鈭�x2+x鈭�1)ex鈭�(x2+x)=鈭�(ex+1)(x2+x)

令h隆盲(x)>0

得鈭�1<x<0

令h隆盲(x)<0

得x>0

或x<鈭�1

．

隆脿h(x)

在x=鈭�1

处取得极小值h(鈭�1)=鈭�3e鈭�16鈭�m

在x=0

处取得极大值h(0)=鈭�1鈭�m

隆脽

函数f(x)g(x)

的图象有三个交点，即函数h(x)

有3

个不同的零点；

隆脿{h(0)>0h(鈭�1)<0

即{鈭�1鈭�m>0鈭�3e鈭�16鈭�m<0

解得：鈭�3e鈭�16<m<鈭�1

故答案为：(3e鈭�16,鈭�1)

．

令h(x)=f(x)鈭�g(x)

求出导数，求出单调区间，和极值，函数f(x)g(x)

的图象有三个交点，即函数h(x)

有3

个不同的零点，即有h(鈭�1)<0

且h(0)>0

解出即可．

本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查构造函数，运用导数求极值，考虑极值的正负来判断函数的零点，属于中档题．【解析】(3e鈭�16,鈭�1)

13、略

【分析】解：若函数f(x)=13x3鈭�ax2+2x+3

在(鈭�隆脼,+隆脼)

上单调递增；则f隆盲(x)鈮�0

恒成立；

即f隆盲(x)=x2鈭�2ax+2鈮�0

恒成立；

则判别式鈻�=4a2鈭�4隆脕2鈮�0

即a2鈮�2

则鈭�2鈮�a鈮�2

故实数a

的取值范围是[鈭�2,2]

故答案为：[鈭�2,2].

根据函数单调递增；则等价为f隆盲(x)鈮�0

恒成立，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．

本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，将函数单调递增转化为f隆盲(x)鈮�0

恒成立是解决本题的关键．【解析】[鈭�2,2]

三、作图题(共6题，共12分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共32分)20、略

【分析】

（1）由题意即4分（2）当时，即时命题成立假设时命题成立，即当时，=即时命题也成立综上，对于任意8分（2）当时，平方则叠加得13分【解析】略【解析】【答案】21、略

【分析】

（1）由题知第五项的二项式系数为,第三项的系数为（3分）故(6分)（2）令得各项系数和(9分)二项式系数和(11分)故(12分)【解析】【答案】22、略

【分析】

（1）由f（x）=x2-alnx，得所以f′（1）=2-a．

由得所以．

又由题意可得f'（1）=g'（1）；

即故a=2，或．

所以当a=2时，f（x）=x2-2lnx，

当时，．

（2）当a＞1时，a=2，

函数h（x）的定义域为（0；+∞）．

=．

由x＞0，得

故当x∈（0；1）时，h'（x）＜0，h（x）递减；

当x∈（1；+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增；

所以函数h（x）在（0，+∞）上的最小值为．

（3）因为a＜1，所以此时

当时，由得

f（x）在上为减函数，．

当时，由得

g（x）在上为增函数，且．

要使不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立，当时；m为任意实数；

当时，不等式f（x）≥m•g（x）化为

而．

所以．

所以当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在上恒成立的实数m的取值范围为．

【解析】【答案】（1）求出函数f（x）和g（x）的导函数并求出它们在x=1的导数值；由导数值相等求出a的值则两个函数的解析式可求；

（2）把a=2代入两个函数解析式；求出函数h（x），求导后把导函数进行因式分解，然后由x=1对定义域分段，求出导函数在两段内的符号，判出单调性，从而求得函数h（x）的最小值；

（3）把a=分别代入函数f（x）和g（x）的解析式，分别求出导函数后判断各自导函数在上的符号，由导函数的符号得到原函数的单调性，进一步得到函数f（x）在上的最小值和函数g（x）在上的最大值，把不等式f（x）≥m•g（x）分离参数m后求出的最小值；则实数m的取值范围可求．

23、略

【分析】

对三种心理障碍焦虑；说谎、懒惰分别构造三个随机变量K12,K22,K32

由题中数据分别计算K12K22K32

的观测值；比较即可得出结论．

本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．【解析】解：对三种心理障碍焦虑；说谎、懒惰分别构造三个随机变量K12,K22,K32

由题中数据可得：K12

的观测值为k1=110隆脕(5隆脕60鈭�25隆脕20)230脳80脳20脳90隆脰0.8627<2.076

K22

的观测值为k2=110隆脕(10隆脕70鈭�20隆脕10)230脳80脳20脳90隆脰6.366>5.024

K32

的观测值为k3=110隆脕(15隆脕30鈭�15隆脕50)230脳80脳20脳90隆脰1.410<2.076

所以样本数据没有充分的证据显示焦虑与性别有关；

有97.5%

的把握认为说谎与性别有关，样本数据没有充分的证据显示懒惰与性别有关．五、计算题(共3题，共27分)24、略

【分析】【解析】

（1）由题得又则3分（2）猜想5分证明：①当时，故命题成立。②假设当时命题成立，即7分则当时，故命题也成立。11分综上，对一切有成立。12分【解析】【答案】（1）（2）有成立。25、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则26、解：由|x﹣1|＜3解得﹣2＜x＜4；

由＞1得﹣1=＞0；

解得3＜x＜5；

所以，不等式解集为（3，4）．【分析】【分析】根据不等式的解法即可得到结论．六、综合题(共2题，共16分)27、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC