深圳市龙华区2023-2024学年高一（上）期末数学试卷

第16页（共16页）2023-2024学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）半径为2的圆中，弧长为的圆弧所对的圆心角的大小为（）A． B． C． D．2．（5分）函数的定义域是（）A．（﹣∞，3] B．（﹣1，+∞） C．（0，3] D．（﹣1，3]3．（5分）“x≠1”是“x2﹣3x+2≠0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a＝log30.9，b＝30.9，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a5．（5分）如图，直线l和圆c，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90度）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）A． B． C． D．6．（5分）定义一种运算：＝ad﹣bc．已知函数f（x）＝，为了得到函数y＝cos2x的图象，只需把函数y＝f（x）图象上的所有点（）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度7．（5分）如图，有三个相同的正方形相接，若∠ABC＝α，∠ACD＝β，则α+β＝（）A． B． C． D．8．（5分）设集合A＝{（x，y）|logax+logay＝0}，B＝{（x，y）|x+y＝a}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．1＜a＜2 C．0＜a＜2且a≠1 D．a＞2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）下列各组函数中，是相同函数的是（）A．与g（x）＝x B．f（x）＝2lnx与g（x）＝lnx2 C．f（x）＝22x与g（x）＝4x D．与g（x）＝lgx﹣lg（x﹣1）（多选）10．（5分）已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．a（a﹣b）＞b（a﹣b） B． C．3﹣a＜3﹣b D．ln（1+ea）＞ln（1+eb）（多选）11．（5分）已知函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）的值域是（﹣∞，1）∪（1，+∞） B．f（x）的图象关于原点对称 C．f（x）在其定义域内单调递减 D．方程f（x）＝x+1有且仅有两根（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），x＝﹣为f（x）的零点，且在上单调递减，则下列结论正确的是（）A． B．若，则 C．是偶函数 D．ω的取值范围是三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|2x﹣3＜0}，则A∩B＝．14．（5分）设a，b∈R，且3a＝6b＝4，则＝．15．（5分）如图，单位圆被点A1（1，0），A2，A3，…，A12平均分成12份，以x轴的正半轴为始边，OAi（i＝1，2，…，12）为终边的角记为αi，则＝，＝．（说明：∑是一个连加符号，…+xn）16．（5分）已知a＞0且a≠1，若函数中至少存在两点A，B，使A，B关于y轴对称，则a的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）计算：；（2）已知角α终边上一点，求的值．18．（12分）已知函数的一条对称轴为．（1）求φ的值；（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间．19．（12分）如图，给出函数f（x）＝x2的部分图象．（1）请在图中同一坐标系内画出函数g（x）＝2x的图象．设f（x）与g（x）在y轴左边的交点为A，试用二分法求出A的横坐标x0的近似解（精确度为0.3）；（2）用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，请写出M（x）的解析式．20．（12分）已知函数f（x）＝log3x+m•logx3，x＞0且x≠1．（1）若m＝﹣3，求方程f（x）＝2的解；（2）若对∀x∈（1，+∞），都有f（x）＞4m﹣2恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）如图所示，某开发区有一块边长为km的正方形空地ABCD．当地政府计划将它改造成一个体育公园，在半径为2km的扇形EAF上放置健身器材，并在剩余区域中修建一个矩形运动球场PMCN，其中P是弧EF上一点，M、N分别在边BC、CD上．设∠PAE＝θ，球场PMCN的面积S＝f（θ）．（1）求S＝f（θ）的解析式；（2）若球场平均每平方米的造价为元，问：当角θ为多少时，球场的造价W最低．22．（12分）若函数y＝f（x）的定义域为（0，m），若对于给定的正实数n，存在0＜xn＜m﹣n，使得f（x1）＝f（x1+n），则称函数y＝f（x）在（0，m）上具有性质P（n）．（1）若函数f（x）＝x+在区间（0，m）上具有性质P（1），求正整数m的最小值；（2）若函数f（x）＝sinπx在区间（0，2）上具有性质P（n），求n的取值范围．

2023-2024学年广东省深圳市龙华区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案BDBCDABC一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【分析】根据弧长公式求解即可．【解答】解：由弧长公式l＝α•r，得α＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了弧长公式应用问题，是基础题．2．【分析】根据被开方数大于等于0，对数的真数大于0即可得出f（x）的定义域．【解答】解：解得﹣1＜x≤3，定义域是（﹣1，3]．故选：D．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，是基础题．3．【分析】由x2﹣3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的必要不充分条件．【解答】解：由x2﹣3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；因此前者是后者的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，一元二次方程的解法，属于基础题型．4．【分析】直接应用指数函数、对数函数单调性进行比较．【解答】解：因为log30.9＜log31＝0，30.9＞30＝1，，所以a＜0，b＞1，0＜c＜1，所以a＜c＜b．故选：C．【点评】本题考查了指数函数、对数函数单调性的应用，考查了函数思想，属于基础题．5．【分析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项【解答】解：观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求故选：D．【点评】本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力．6．【分析】直接利用题意和函数的图象的平移变换求出结果．【解答】解：由题可知函数，将其图象上所有点向右平移个单位长度可得到函数y＝cos2x的图象，故选：A．【点评】本题考查的知识要点：定义性函数，函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．7．【分析】结合两角和的正切公式求解．【解答】解：设正方体棱长为1，由图可得，则且0＜α+β＜π，所以．故选：B．【点评】本题考查了两角和的正切公式，属中档题．8．【分析】分别求得集合A，B，再结合A∩B＝∅，即可求解结论．【解答】解：由logax+logay＝0得xy＝1（x＞0，y＞0），a＞0且a≠1，所以集合，集合B＝{（x，y）|y＝﹣x+a}．A∩B＝∅等价于函数y＝﹣x+a与函数没有交点，即无解，所以a＜2，又因为a＞0且a≠1，所以0＜a＜2且a≠1，故选：C．【点评】本题考查了集合定义的理解和应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【分析】根据两函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是相同函数．【解答】解：对于A，，定义域是R，g（x）＝x的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于B，函数f（x）＝2lnx定义域是（0，+∞），函数g（x）＝lnx2的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），两函数的定义域不同，不是相同函数；对于C，f（x）＝22x＝4x，定义域为R，g（x）＝4x的定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（1，+∞），函数g（x）＝lgx﹣lg（x﹣1）的定义域为（1，+∞），两函数的定义域不同，不是相同函数．故选：AC．【点评】本题考查了判断两函数是否为相同函数的应用问题，是基础题．10．【分析】根据不等式的性质以及函数的单调性依次判断即可．【解答】解：对于A选项，a（a﹣b）＞b（a﹣b）等价于a2﹣2ab+b2＞0，当a＞b时，显然成立，A正确；对于B选项，函数在定义域内不是增函数，所以当a＞b时，不一定成立，B错误；对于C选项，函数y＝3﹣x在R上是减函数，所以当a＞b时，3﹣a＜3﹣b，C正确；对于D选项，y＝ln（1+x）在（﹣1，+∞）内是增函数，当a＞b时，ea＞eb＞0，所以ln（1+ea）＞ln（1+eb），D正确，故选：ACD．【点评】本题主要考查不等式的性质应用，以及函数的单调性，属于中档题．11．【分析】求出f（x）的定义域，利用换元法求出f（x）的值域判断A选项，再结合奇函数的定义判断B选项，通过举反例否定C选项的结论，对于D，先将原方程化为得，利用y＝与y＝2x﹣1图象交点的个数判断D选项．【解答】解：对于A选项，函数的定义域是{x|x≠0}，令t＝2x（t＞0且t≠1），函数（t＞0且t≠1）的值域为{y|y＜﹣1或y＞1}，则f（x）的值域是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），A错误；对于B选项，因为，所以函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，B正确；对于C选项，在函数f（x）的定义域内任取两个数﹣1和2，﹣1＜2，不满足单调递减，故C错误；对于D选项，f（x）＝x+1，即＝x+1，整理得，作出y＝与y＝2x﹣1的图象：可知它们有两个交点，即方程f（x）＝x+1有且仅有两根，D正确．故选：BD．【点评】本题考查函数的值域、奇偶性以及单调性的判断方法，同时考查了方程的根与函数图象交点间的关系，属于中档题．12．【分析】由题意，利用正弦函数的零点和单调性，正弦函数的图象，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于A选项，由是f（x）的零点，得，所以，即，ω＞0．再根据在上单调递减，故有≥﹣，可得0＜ω≤6．因为0＜φ＜π，所以只能取k＝0，，故A正确．对于B选项，由，＝，可得（，0）是函数f（x）的对称中心，即f（）＝0．故函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）是中心对称图形，故B正确．对于C选项，由于，奇偶性无法判断，故C错误．对于D选项，由A选项得，因为函数f（x）在上单调递减，ωx+∈[+，+]，所以，（k∈Z）．解得（ω＞0）．所以当k＝0时，．当k＝1时，ω＝6，此时，φ＝＝，不满足0＜φ＜π．所以，故D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查正弦函数的零点和单调性，正弦函数的图象，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【分析】先求出集合B，再由交集定义能求出结果．【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x∈N|2x﹣3＜0}＝{0，1}，则A∩B＝{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．【分析】利用对数的定义，得出a＝，b＝，再利用换底公式和对数运算法则计算化简即可．【解答】解：由已知，a＝，b＝，则＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了指数与对数的互化，换底公式和对数运算法则．属于基础题．15．【分析】根据单位圆的对称性，直接可求值．【解答】解：单位圆被点A1（1，0），A2，A3，…，A12平均分成12份，则每一份为，以x轴的正半轴为始边，OAi（i＝1，2，…，12）为终边的角记为αi，且有cosα1＝﹣cosα7，cosα2＝﹣cosα6，cosα3＝﹣cosα5，cosα8＝﹣cosα12，cosα9＝﹣cosα11，且cosα4＝cosα10＝0，则＝cosα1+cosα2+…+cosα12＝0，同理，根据对称性，可得＝sinα1+sinα2+…+sinα7＝0+2sin30+2sin60+1＝2+．故答案为：0，．【点评】本题考查诱导公式，考查三角函数定义，属于中档题．16．【分析】函数f（x）至少存在两点A，B，使A，B关于y轴对称，可理解为y＝（2﹣a）x，x≤1关于y轴对称的图象与x＞1的图象有交点即可．【解答】解：如下图，分别画出a在不同取值范围的图象：若函数f（x）至少存在两点A，B，使A，B关于y轴对称，则可理解为y＝（2﹣a）x，x≤1关于y轴对称的图象与x＞1的图象有交点即可，观察图象可得：a＞3．，又a＝2时y＝0，x≤1，本身存在关于y轴对称的点．综上所述，a＝2或a＞3，则a的取值范围为：（3，+∞）∪{2}．故答案为：（3，+∞）∪{2}．【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【分析】（1）利用指数幂运算性质即对数运算法则即可求解；（2）先利用诱导公式转化为﹣tanα，根据角α终边上有一点，得出，即可求值．【解答】解：（1）＝＝3．（2）因为＝＝﹣tanα，由于角α终边上有一点，所以，即．【点评】本题考查幂和对数的基本运算及诱导公式的应用，属于中档题．18．【分析】（1）由题意，利用正弦函的图象的对称性，求出φ的值．（2）由题意，利用正弦函的单调性，求出当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵函数的一条对称轴为，∴2×+φ＝π+，k∈Z，即φ＝，k∈Z．∵|φ|＜，∴φ＝．（2）由（1）得，令，k∈Z，求得，k∈Z．∵x∈[0，π]，∴当k＝0时，；当k＝1时，．故当x∈[0，π]时，f（x）的单调递增区间为，．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于中档题．19．【分析】（1）画出函数g（x）＝2x的图象，利用二分法求解x0的近似解即可；（2）根据函数f（x）＝x2和f（x）＝2x的图象，利用图象求解M（x）的解析式即可．【解答】解：（1）画出函数g（x）＝2x的图象，如图所示：令F（x）＝f（x）﹣g（x），则当x＜0时，方程F（x）＝0的近似解x0等价于求函数F（x）在（﹣∞，0）内的零点，因为，F（0）＝f（0）﹣g（0）＝0﹣1＝﹣1＜0，所以F（﹣1）•F（0）＜0，由零点存在定理可知，x0∈（﹣1，0），又因为，所以，由零点存在定理可知，又因为，故，由零点存在定理可知，因为，所以可取x0为（或者区间内的任意值）；（2）由x2＝2x，得x＝x0，x＝2或x＝4，结合（1）的图象，可得M（x）＝．【点评】本题主要考查了二分法的应用，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．20．【分析】（1）令t＝log3x，代入则有t＝﹣1或t＝3，即有log3x＝﹣1或log3x＝3，求解即可；（2）令t＝log3x，由题意可得恒成立，即t2+（2﹣4m）t+m＞0在t∈（0，+∞）上恒成立，结合二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）令t＝log3x，则，当m＝﹣3时，f（x）＝2等价于，即t2﹣2t﹣3＝0，得（t+1）（t﹣3）＝0，有t＝﹣1或t＝3，则log3x＝﹣1或log3x＝3，所以或x＝27；（2）令t＝log3x，由x∈（1，+∞），得t∈（0，+∞），依题意得恒成立，因为t＞0，所以t2+（2﹣4m）t+m＞0在t∈（0，+∞）上恒成立，令g（t）＝t2+（2﹣4m）t+m，对称轴，①当2m﹣1≤0时，即，g（t）min＞g（0）＝m，得m≥0．所以；②当2m﹣1＞0，即，，得．所以．综上所述，m