深圳大学附属实验中学2023-2024学年高一上学期期末数学（有答案）

第21页/共21页深大实验2023—2024学年第一学期高一期末考试（数学）试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要2.函数的图像大致是（）A. B.C. D.3.已知，则（）A. B.C. D.4.已知集合，，则（）A. B.C. D.5.已知，且，则（）A. B. C. D.6.三个数的大小顺序是（）A. B.C. D.7.已知函数则方程有四个实根的充要条件为（）A. B.C. D.8.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（）(附：A.23% B.37% C.48% D.55%二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9已知，若，则（）A.的最大值为 B.的最小值为1C.的最小值为8 D.的最小值为10.下列化简正确的是（）A. B.C. D.11.函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）AB.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象12.已知函数，则（

）A.的定义域为B.当时，C.D.对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题，则命题否定是_________14.已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________．15.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.16.设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有__________个零点.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17化简求值（1）；（2）.18.已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.已知函数.（1）若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.20.进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会,也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台,计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3000万元,每生产(百辆),需投入流动成本(万元),且其中.由市场调研知道,每辆车售价25万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）写出年利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式；（2）年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润.(总利润总销售收入-固定成本-流动成本)21.已知函数.（1）求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程;（2）解关于x的不等式;（3）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域.22.若函数为定义在上的奇函数.（1）求实数的值，并证明函数的单调性；（2）若存在实数使得不等式能成立，求实数的取值范围.深大实验2023—2024学年第一学期高一期末考试（数学）试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.“”是“”的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系进行判断即可.【详解】充分性：若，则，故充分性成立；必要性：若，则，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要条件.故选：A2.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合奇函数的图象性质及特殊函数值判断即可.【详解】解：由，得函数为奇函数，排除B项，由，得，则排除C、D两项.故选：A.3.已知，则（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据对数的运算性质即可结合换底公式求解.【详解】，故选:B.4.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数定义域求法解不等式可求得集合，再利用交集运算法则可得结果.【详解】根据题意可知，即，解得或，即或；易知，解得或，即或；可得或，因此.故选：D5.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合同角三角函数及诱导公式即可求解.【详解】由，，得，则，故.故选：A6.三个数的大小顺序是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，由，即可得到结果.【详解】由三个数，可知其大小关系为.故选：A7.已知函数则方程有四个实根的充要条件为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意求分段函数的极值，作出函数简图，进而求解.【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，则的图象如图所示，要使方程有四个实根，需满足.故选：D.8.中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信通带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，由于技术提升，带宽W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（）(附：A.23% B.37% C.48% D.55%【答案】C【解析】【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和5000时C的比值即可求解.【详解】解：依题意得，当时，，当时，，∴，∴增长率约为.故选：C二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知，若，则（）A.最大值为 B.的最小值为1C.的最小值为8 D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】对于，由，即，当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确；对于，因为，当且仅当时，取到最小值，所以B错误；对于C，因为，所以，当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；对于，当且仅当，且，即时，取等号，所以正确.故选：ACD.10.下列化简正确的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】逆用二倍角的正弦、余弦、正切公式、两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】A：因为，所以本选项不正确；B：因为，所以本选项正确；C：因为所以本选项正确；D：因为，所以本选项正确，故选：BCD11.函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数在上单调递增D.将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象【答案】ABC【解析】【分析】借助图象周期求出、再由定点结合范围求出，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．【详解】对于选项A:由题意可得，故，则，，即，解得，又，即，故A正确；对于选项B:即，当时，有，故的图象关于点对称，故B正确；对于选项C:令，则，当时，，而在单调递增，故C正确；对于选项D:将函数的图象向由右平移个单位得到，故D错误．故选：ABC．12.已知函数，则（

）A.的定义域为B.当时，C.D.对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立.【答案】ACD【解析】【分析】根据可判断选项A；根据的单调性，判断的单调性可判断选项B；根据的奇偶性可判断选项C；由复合函数单调性和奇偶性可判断选项D.【详解】对于A，由，得，即恒成立，故A正确；对于B，令，易知在单调递减，且，则在单调递减，且，故B错误；对于C，令，则，，为上的奇函数，，，故C正确；对于D，由B选项知，在单调递减，且，在单调递减，且，为上的奇函数，在单调递减，且，又，在上单调递减，在上单调递减，对定义域内的任意两个不相等的实数，，恒成立，故D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若命题，则命题的否定是_________【答案】【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解即可.【详解】由题意，根据全称量词命题的否定的定义有，命题p的否定是：.故答案：.14.已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式___________．【答案】【解析】【分析】根据奇函数满足求解即可.【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式.故答案为：15.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】利用一次函数和对数函数及分段函数单调性解决即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以当时，一次函数是增函数，得出，即；当时，对数函数是增函数，得出；又因为，解得；取交集得；故答案为：16.设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有__________个零点.【答案】6【解析】【分析】由函数是定义域为的奇函数，结合的条件可得函数的一个周期为4，根据函数的单调性与零点存在性定理可得零点个数.【详解】如图，因为函数是定义域为的奇函数，所以，且.又，即，所以函数的图象关于直线对称，且，所以，所以4是函数的一个周期，所以.易知函数在上单调递增，且，所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上.由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点.因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，所以，所以函数的图象关于点中心对称，所以函数在区间上有且仅有2个零点.因为函数在区间上没有零点，所以函数在区间上没有零点.结合，得函数在区间上有6个零点.故答案为：6.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.化简求值（1）；（2）.【答案】（1）29（2）1【解析】【分析】（1）利用指数的运算法则计算即可；（2）利用对数的运算法则计算即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】原式.18.已知集合．（1）若，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）解不等式得出A，代入得出B，进而根据并集的运算求解，即可得出答案；（2）根据已知可推得A，分以及，根据集合的包含关系列出不等式组，求解即可得出答案.【小问1详解】解可得，或，所以，或.当时，，所以或.【小问2详解】由“”是“”的必要不充分条件，所以，.又或，.当，有，即，显然满足；当时，有，即.要使A，则有或，解得或.综上所述，或.19.已知函数.（1）若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）转化为一元二次不等式恒成立问题，令解出即可；（2）由判别式确定a的范围，分类再解不等式即可.【小问1详解】由题意，可得，；【小问2详解】①当时，即时，原不等式的解集为；②当时，即或时，当时，，原不等式的解集为，当时，，原不等式的解集为；③时，即或时，，解得或，原不等式的解集为.20.进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会,也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台,计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3000万元,每生产(百辆),需投入流动成本(万元),且其中.由市场调研知道,每辆车售价25万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）写出年利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式；（2）年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润.(总利润总销售收入-固定成本-流动成本)【答案】20.21.当年产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为3250万元【解析】【分析】(1)根据总利润总销售收入-固定成本-流动成本,代入相关数据运算化简即可.(2)当时,利用一元二次函数知识,在对称轴处取得最值;当时,利用基本不等式知识,通过变形得再求最值即可.然后通过比较得到利润最大值.【小问1详解】当时,.当时,.综上,【小问2详解】当时,，当时,万元.当时,,当且仅当时,等号成立.所以当年产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为3250万元.21已知函数.（1）求函数的最小正周期、单调递增区间和对称轴方程;（2）解关于x的不等式;（3）将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，求函数在上的值域.【答案】（1），单调递增区间为；对称轴（2）（3）【解析】【分析】（1）应用两角和的正弦公式及二倍角公式化简得，应用整体代入法即可求解单调区间与对称轴；（2）结合函数图像解不等式；（3）应用换元法求值域;【小问1详解】，函数的最小正周期.令，解得，所以函数的单调递增区间为.令，解得，所以的对称轴方程为.【小问2详解】即，所以，解得.【小问3详解】由题知，则，令，则，当时，;当时，.综上可知所求值域为.22.若函数为定义在上的奇函数.（1）求实数的值，并证明函数的单调性；（2）若存