第二章连续系统时域分析

第二章连续系统的时域分析§2.1引言§2.2微分方程的式的建立与求解§2.3系统的冲激响应§2.4卷积的图解和卷积积分限的确定§2.5卷积积分的性质1§2.1引言1/12/20252系统数学模型的时域表示时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。

本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。1/12/20253系统分析过程经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与

(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；卷积积分法:

任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)1/12/20254本章主要内容线性系统完全响应的求解；冲激响应h(t)的求解；卷积的图解说明；卷积的性质；零状态响应：。1/12/20255§2.2微分方程的式的建立与求解1/12/20256主要内容物理系统的模型微分方程的列写n阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法1/12/20257许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程来描述。一．微分方程的列写1/12/20258根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。

网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。1/12/20259二．求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：列写方程，求解方程。

求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。

1/12/202510齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式注意重根情况处理方法。特解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出特解。经典法

全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解。1/12/202511

我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为时的方程的解，初始条件

初始条件的确定是此课程要解决的问题。1/12/202512三

零输入响应和零状态响应起始状态与激励源的等效转换系统响应划分对系统线性的进一步认识1/12/2025131．起始状态与激励源的等效转换在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。电容的等效电路电感的等效电路1/12/2025142．系统响应划分自由响应＋强迫响应

(Natural+forced)零输入响应＋零状态响应

(Zero-input+Zero-state)暂态响应+稳态响应

(Transient+Steady-state)1/12/202515也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。

形式取决于外加激励。对应于特解。(1)自由响应：强迫响应：3、各种系统响应定义1/12/202516是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间t增加，它将消失。

由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。

(2)暂态响应：稳态响应：1/12/202517没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。

不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。

(3)零输入响应：零状态响应：1/12/202518系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值决定的初始值求出待定系数。

系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值为零决定的初始值求出待定系数。

求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。4、求解系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即1/12/202519系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号作用下的响应，用表示。§2.3系统的冲激响应

1/12/202520由于冲激函数及其各阶导数仅在t=0处作用，而在t>0的区间恒为零。也就是说，激励信号的作用是在t=0的瞬间给系统输入了若干能量，贮存在系统的各贮能元件中，而在t>0系统的激励为零，只有冲激引入的那些贮能在起作用，因而，系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定。1/12/202521+-列微分方程：一、简单电路可直接计算1/12/202522上式从到取积分，得电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到由三要素公式得当时，此时电路是一个特殊的零输入响应。1/12/202523与RL电路相对偶，可得RC电路的冲激响应Rc+_1/12/202524二先计算系统的阶跃响应，然后利用冲激响应与阶跃响应的关系求冲激响应与的关系（线性时不变系统）1/12/2025251/12/202526+-如1/12/202527例：如图所示电路，R1=R2=1,c=1F,求阶跃响应和冲激响应解：先用三要素法求阶跃响应+-1/12/202528从波形图上也能得到同样的结论：(0.5)0.2510.51/12/202529三、从微分方程求解得冲激响应当已知微分方程时，求解冲激响应有两种方法。(1)间接法：人为假设描述n阶连续系统的微分方程右侧只有一项，为则有1/12/202530当时，由因果性为保证等式两边平衡，只能是第n阶导数项包含冲激函数。而且只有一项。这时则n-1阶导数项包含，而n-2阶导数项包含…,当时，由于将是一个特殊的零输入响应，它取决于时的n个初始条件。1/12/202531在t=0处，只有是不连续的，而其余的如等都是连续的，因而的低于n-1阶导数在t=0处是连续的。即注意：…，，，…是一族很有用的函数。只有1/12/202532对上述微分方程两边取积分上式左边只第一项不为零，其他项为零单位冲激信号引起的t=0+时的n个初始条件为1/12/202533一、卷积的图解能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定更为一般的卷积积分的上下限。进一步加深对其物理意义的理解。§2.4卷积的图解和卷积积分限的确定

1/12/2025344.相乘5.积分求函数的面积。求响应，必须：1.换元（t)1/12/20253511t0130.5t0110130.50解：1/12/202536-1-30.50-1+t-3+t0.50(1)当-1+t<0即t<1时，-1+t-3+t011y(t)=0移动距离

t前沿坐标-1+t两函数无公共的非零区域1/12/202537011-3+t-1+t-3+t-1+t0111/12/202538-3+t-1+t-3+t-1+t0110111/12/2025390.512341/12/20254010t解：(1)当t<0时1t010ty(t)=01/12/2025410101tt1/12/202542二、卷积的另一种计算方法当被卷积函数中有分段连续函数时，直接用公式1/12/202543用图解来说明。t-t2-t2t11/12/2025441/12/2025451/12/2025461/12/202547一、卷积代数(1)交换律如，输入和冲激响应的函数表达式互换位置，则零状态响应不变。§2.5卷积积分的性质1/12/202548证：1/12/202549(2)分配律利用卷积的定义比较容易得到两个子系统并联1/12/2025501/12/202551两次卷积运算是二重积分，变换积分次序可得。(3)结合律两个子系统级联1/12/202552二、卷积的微分与积分(1)卷积的微分性质1/12/202553(2)卷积的积分性质(3)卷积的微积分性质当为正整数时，表示求导数的阶数，当为负整数时，表示求重积分的次数。1/12/202554注意：应用微积分性质时，被积分的函数应为可积函数，被求导的函数在处应为零值。1/12/202555三、含有冲激函数的卷积由第二章第二节，任意信号的分解，记为1/12/202556即：任意函数与单位冲激函数的卷积仍为该函数本身。即：即：任意函数与延迟冲激函数的卷积只是把该函数延迟了时间，而其波形不变。此性质称为冲激函数的重现性。1/12/202557冲激函数三个常用性质小结：1.筛选性：(抽样性)2.加权性：3.重现性：(“照相”)写详细，为1/12/202558利用微积分性质还可以得到推广后，有利用卷积的性质能大大简化卷积计算。1/12/2025591/12/202560-221A0(1)(1)tt0023-1-2At解：这类题只需要画图即可。1/12/202561-2T0At2Tt0AA2A02Tt-2TaA-T(1)(1)0Tt0Tt1/12/202562210t1-101t解：2t-1tt+111/12/202563t-1tt+121t-1tt+1t-1tt+121t-1tt+1t-1tt+10211/12/2025641t-2t-1011-101t-2tt-2t1/12/2025651-101t-2tt-2t1-101t-2tt-2t1/12/2025661/12/202567例：已知波形如图，求1021-10tt1/12/2025681/12/202569例：已知波形如图，求0123t20123t1-1解：直接求卷积比较复杂，利用卷积的性质及函数与冲激函数的卷积较为简便1/12/202570结果如图所示0123t(2)(2)0123t1-20123t2451/12/2025711/12