杨辉三角的研究课教学讲义

杨辉三角的研究课复习1、什么是杨辉三角？二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．2、杨辉三角蕴含的二项式性质（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是．（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是（3）杨辉三角具有对称性、等距性（对称美），即（4）第n行的和，即（5）偶数项的二项式系数和=奇数项的二项式系数和=（6）若n为偶数，则中间项的二项式系数最大;若n为奇数，则中间项两项的二项式系数最大。3、介绍杨辉——古代数学家的杰出代表

杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．（2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？

第P列斜线上的前Q个数之和等于第(P+1)列斜线上的第Q个数。（3）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此数列{an}满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n≥3)这就是著名的斐波那契数列．介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？

兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．讓我們慢慢地算一下一月初

兔子剛出生，但是還沒成熟，還不能生小兔子

一對小兔子二月初

但是還沒成熟，還不能生小兔子

一對小兔子三月初

成熟第一代兔子生了一對小兔子

二對小兔子四月初

成熟第一代兔子生了一對小兔子

三對小兔子五月初

成熟第一二代兔子各生了一對小兔子

五對小兔子六月初

成熟三對兔子各生了一對小兔子

八對小兔子七月初

成熟五對兔子各生了一對小兔子

13對小兔子八月初

成熟八對兔子各生了一對小兔子

21對小兔子九月初

成熟13對兔子各生了一對小兔子

34對小兔子十月初

成熟21對兔子各生了一對小兔子

55對小兔子11月初

成熟34對兔子各生了一對小兔子

89對小兔子12月初

成熟55對兔子各生了一對小兔子

144對小兔子2.已知：110=1，111=11，112=121，113=1331……

请借助贾宪三角求出114的值。答：114=146413.已知：1+2=3，1+2+3=4，1+2+3+4=10，

1+2+3+4+5=15……

请借助贾宪三角求出下列各式的值：①1+2+3+4+5+6+7②1+3+6+10+15+21③1+5+15+35+56=28=56=126161520156

1

172135352171

182856705628814.已知：1+1=2，1+2+1=4，1+3+3+1=8，1+4+6+4+1=16……

请求出下列各式的值：1+5+10+10+5+1；1+6+15+20+15+6+1。并总结出规律。这是一个由数字组成的三角形数表，它具有以下特点。1.除第一行外，每行两端都是1，除1以外，每个数都等于它上面两个数之和；2.每一横行都表示(a+b)n展开式中的系数，其中n等于行数减1；3.可以求出n＝7、8、9…时二项展开式各项的系数；4.第(n+1)行各数之和，即(a+b)n展开式各项系数之和等于2n；5.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项系数相同并且最大；6.若n是一个质数，那么第(n+1)行除了两端的1以外的各个数，都是n的倍数。如3

、5

、7是质数，则第4

、6

、8行都有这一特性；

7.斜数第一列的数字全是1；斜数第二列的数