现代物化电子教案：湖南大学112三种统计的最概然分布培训教材

1.2

三种统计的最概然分布1.2.1玻尔兹曼分布

（1）有简并度时定位体系的分布能级ε0

ε1

ε2

······εi

······简并度g0g1g2······gi

······粒子分布数n0n1n2······ni

······∑ni

=N(粒数守恒)∑εini

=U(能量守恒)设体系：N个粒子、体积为V、能量为U体系中的粒子按能级分布（Xi)：满足：先从N个分子中选出N0个粒子放在能级上，取法有下列种:

但能极上有个不同状态，每个分子在能极上都有种放法，所以共有种放法；这样将N0个粒子放在能极上，共有 种微态数。依次类推，这种分配方式的微态数为：能级ε0

ε1

ε2

······εi······简并度g0

g1

g2

······gi······粒子分布数N0N1N2······Ni······总微观状态数为：适用于独立定域子体系。例题一个系统，由彼此独立的一维谐振子组成，系统的总能量为，3个谐振子定域在a,b,c附近振动，试计算该系统可能的微观状态。已知一维谐振子的能量为：解答：(2)非定位体系分布的微观状态数

非定位体系由于粒子不能区分，它在能级上分布的微态数一定少于定位体系，所以对定位体系微态数的计算式进行等同粒子的修正，即将计算公式除以。

则非定位体系在U、V、N一定的条件下，所有的总微态数为：非定位体系分布的微观状态数

（3）无简并度定位体系的最概然分布ii当Ni适合于(1.12)式的那种分配是微观状态数最多的一种分配,这种分配叫做最概然分布。因它不同一般的分配,我们加以*号以示区别即:

1Ne1*=+Îab

Neii*=+Îab

例如将(1.6)对N1微商:

ln!lnln∑Ni∑NilnNi

NNNN

i+--=-=

¶¶lnlnlnNNNNN1111111=--+=-代入(1.10a)式得:

lnN11=+Îab或

11Î+=baeN

(1.11)同样可得到:ieNiÎ+=ba

(1.12)

i∑

lnNi!

玻兹曼的最概然分布公式若考虑简并度，则定域子体系的玻尔兹曼最概然分布为：

讨论：

、称为玻尔兹曼因子，它与能量零点的选取有关。、、定义分母为粒子的配分函数。表示单粒子所有可及能级上的有效量子态数之和。称能级i的有效量子态数。配分函数q决定了系统的粒子在各能级的分布情况。决定系统的宏观性质，宏观状态函数可以通过配分函数求出，因此，配分函数就是连系系统微观性质和宏观性质之间的桥梁。

在上述M-B分布定律中，假设在能级的任意量子状态上都可以容纳任意数量的粒子，但从量子力学原理和实验事实的观察中知道，这一假设是不完全正确的。

对于等同粒子，有两种情况，精确的描述需用量子统计。1.2.2BOSE-EINSTEIN统计玻色子:自选为波函数为对称的每个量子态中容纳的粒子数不受限制不受泡利原理限制的量子气体，如光子及含电子、中子和质子的总数为偶数的分子或原子。(1)在能级i上的分布相当于将ni个球投入一个由gi个连续格子构成的盒子内，即将ni个球与（gi-1）个隔板一起进行组合:(2)玻色子在εi能级上的分布(3)玻色子分布（X)的微观状态数(4)玻色子分布的总微观状态数(5)玻色-爱因斯坦最概然分布

(P9~10)

玻色子系的最概然分布为：1.2.3费米-狄拉克统计（1）

费米子:波函数为反对称遵守保利不相容原理，且gi>ni

如电子、质子、中子和由奇数个基本粒子组成的原子和分子（D,3Li,9Be,13C,17O,NO)(2)费米子在εi能级上的分布在某一能级εi上的分布相当于ni个只有一个粒子的格子与（gi-1）个空格一起进行组合(3)费米-狄拉克分布的微观状态数(P10～11)2、体系总分布的微观状态数1、体系某分布（X）的微观状态数(4)费米-狄拉克统计

（费米子的最概然分布P10～11）◎共同点：β表达一致◎异同点：描述不同体系

MB分布→粒子遵守经典力学规律

1.2.4三种统计分布的比较→粒子遵守量子力学规律BE分布FD分布MB分布→◎

α表达有区别：BE和FD分布→◎联系：当温度不太低，密度不太高，粒子质量不太小时，，BE分布和FD分布可转化为MB分布第二小节思考题某分子的许可能级是ε0，ε1，ε2，简并度为g0=1,g1=2,g2=1,五个可别粒子按照N0=2,N1=2,N2=1的分布方式分配在三个能级上，则该分布方式的样式数

为多少？答案：120在下列表达式中，不属于M-B分布的是：ABCD答案：B答案：28A

可别粒子体系最概然分布的微观状态数

B

不可别粒子体系某一分布的微观状态数

C

晶体中某一分布的微观状态数

D

理想气体中某一分布的微观状态

答案：CABCD答案：D课后文献阅读推荐文献（1）量子力学是经典统计力学的自然推广北京大学学报(自然科学版)1994

03

2猫态的经典统计性质量子光学学报1996

02

3量子统计向经典统计过渡的条件安庆师范学院学报(自然科学版)1998044经典统计与贝尔定理常州工学院学报199804

5论经典统计力学与量子统计力学中的公理假设北京工业大学学报1999

01

6经典统计物理与量子统计物理的比较与讨论新疆教育学院学报(汉文版)1999

04

7Bayes统计与经典统计方法及其在水文水资源中的应用长江职工大学学报2000

018理想气体量子统计到经典统计的过渡广西师范大学学报(自然科学版)2000

04

9经典统计适用条件的讨论龙岩师专学报200003

10经典统计4粒子关联模式的演化方程及其图形表示柳州师专学报200004

文献（2）

陶瓷材料可靠性分析中的统计断裂强度理论Ⅰ—经典统计断裂强度理论中国陶瓷20000512量子统计与经典统计的区别和联系

湖北大学成人教育学院学报2003.02.13物质抗磁性的经典统计解释