备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第十章-§10-2-排列与组合

第十章

计数原理§10.2

排列与组合考试要求1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题.

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.排列与组合的概念名称定义排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照____________排成一列组合合成一组一定的顺序2.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的排列数，用符号___表示.(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号___表示.不同排列不同组合3.排列数、组合数的公式及性质公式(1)

＝_______________________＝________(n，m∈N*，且m≤n).

＝____________(n，m∈N*，且m≤n).特别地，

＝1性质(1)0！＝__；

＝___.(2)_________n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！2.解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排.(2)合理分类与准确分步.(3)排列、组合混合问题要先选后排.(4)相邻问题捆绑处理.(5)不相邻问题插空处理.(6)定序问题倍缩法处理.(7)分排问题直排处理.(8)“小集团”排列问题先整体后局部.(9)构造模型.(10)正难则反，等价转化.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(

)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(

)(3)若组合式

，则x＝m成立.(

)(4)＝n(n－1)(n－2)…(n－m).(

)×√××√2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是A.18 B.24 C.30 D.36√3.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有___种.36探究核心题型第二部分例1

(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为A.576 B.288 C.144 D.48√题型一排列问题(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成_____个无重复数字的六位奇数.288对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.思维升华跟踪训练1

(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有A.18种

B.36种

C.72种

D.108种√(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有______种排法.5760题型二组合问题例2

(1)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法中正确的有①如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法；②如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法；③如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法；④如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法.A.①② B.②③ C.③④ D.①②④√故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故④正确.(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有A.80种

B.180种

C.260种

D.420种√根据题意，分2种情况讨论，①选出的3人中有1名国外记者、2名国内记者，②选出的3人中有2名国外记者、1名国内记者，由分类加法计数原理可知，共有80＋180＝260(种)选法.组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.思维升华跟踪训练2

(1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为A.12 B.24 C.34 D.60√(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为_____.252排列与组合的综合问题例3

已知有3名男生，4名女生，则下列说法错误的是A.全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法B.全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法C.任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有

70种D.全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法√题型三命题点1相邻、相间问题例4

有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有____种.

命题点2定序问题840例5

(1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为A.60 B.90 C.120 D.150命题点3分组、分配问题√满足条件的分法可分为两类，由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为150.(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人.若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有A.20种

B.36种C.72种

D.84种√求解排列、组合应用问题的常用方法思维升华捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟踪训练3

(1)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法不正确的是A.若A，B不相邻，有72种排法B.若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法C.若A在B右边，有60种排法D.若A，B两人站在一起，有48种排法√(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是A.72 B.120 C.144 D.168√先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品，小品，相声”、“小品，相声，小品”和“相声，小品，小品”.对于第一种情况，形式为“□小品歌舞小品□相声□”，有

＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品□相声□小品□”，有

＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法.(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有______种.(用数字作答)1680课时精练第三部分基础保分练1234567891011121314√2.将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为A.10 B.20 C.30 D.40√1234567891011121314将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有

＝20(种).3.(2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有A.12种

B.24种

C.36种

D.48种√123456789101112131412345678910111213144.由0,1,2,3,4,5组成的无重复数字的三位数中，是5的倍数的有A.120个

B.30个

C.36个

D.48个√因为5的倍数的特征是个位数字为5或0，所以按照个位数字分为两类：当个位数字为5时，首位数字从1,2,3,4中选一个，十位数字从0及余下的3个数字中选一个，所以有4×4＝16(个)；当个位数字为0时，前面两位数字从1,2,3,4,5中选2个排列，所以有

＝5×4＝20(个)，所以所求的三位数共有16＋20＝36(个).5.将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为A.15 B.20 C.30 D.42√123456789101112131412345678910111213146.(2023·济宁模拟)2022年7月19日，亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，为了办好这届体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与.某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为A.144 B.150 C.168 D.192√1234567891011121314由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1,1，所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.12345678910111213147.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组.其中可以构成三角形的组数为A.208 B.204 C.200 D.196√12345678910111213148.现有4个编号为1,2,3,4的不同的球和4个编号为1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子内.则下列说法中正确的有①恰有1个盒子不放球，共有72种放法；②每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种；③有2个盒子内不放球，另外2个盒子内各放2个球的放法有36种；④恰有2个盒子不放球，共有84种放法.A.①②

B.①③C.①②③

D.②③④√1234567891011121314对于①，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，即共有3×3＝9(种)放法，故②正确；12345678910111213149.(2022·大同模拟)在5G，AI，MR等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将5G技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态.现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为____.1234567891011121314361234567891011121314123456789101112131410.某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是_____.2161234567891011121314123456789101112131411.(2023·苏州模拟)阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法共有A.144种

B.216种C.288种

D.432种√综合提升练1234567891011121314123456789101112131412.把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为_____(用数字作答).961234567891011121314先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号.在4个空位插3个板子，共有

＝4(种)分法，再对应到4个人，有＝24(种)分法，则共有4×24＝96(种)分法.123456789101112131413.(2022·济南模拟)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有A.36种

B.44种

C.48种

D.54种√拓展冲刺练1234567891011121314由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有

种