一轮复习(配北师版)第9章-解析几何-高考解答题专项五-第3课时-圆锥曲线中的存在性(或证明)问题

高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题高考解答题专项五2023考情分析存在性问题与证明问题是近几年高考试题对解析几何考查的一种热点题型,以判断满足条件的点、直线、参数是否存在,证明直线与圆锥曲线的位置关系,数量关系(等量或不等量)为主要呈现方式,多以解答题的形式考查.增素能精准突破突破点一

圆锥曲线中的证明问题(1)求椭圆E的方程;(2)设A(0,b),B(0,-b),C(a,b),O(0,0),过B点且斜率为k(k>0)的直线l交E于另一点M,交x轴于点Q,直线AM与直线x=a相交于点P.证明:PQ∥OC.(1)解:由题可知2c=4,即c=2.∴椭圆的左、右焦点分别为(-2,0),(2,0),由椭圆的定义知突破方法关于证明问题的解题方法(1)求值证明:对于定值、定点等类型的证明,通过计算,求出相应的值、方程即可证明.(2)转化证明:将要证明的命题转化为斜率、弦长、中点、位置关系等.对点训练1(2021陕西宝鸡一模)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l:y=2x+a与抛物线C交于A,B两点.(1)若a=-1,求△FAB的面积;(2)已知圆M:(x-3)2+y2=4,过点P(4,4)作圆M的两条切线,与曲线C交于另外两点分别为D,E,求证:直线DE也与圆M相切.(2)证明:设过点P的切线方程为x=t(y-4)+4,D(x1,y1),E(x2,y2).把x=t(y-4)+4代入抛物线方程可得y2-4ty+16t-16=0,Δ=16t2-4(16t-16)=16(t-2)2>0,t≠2.则4,y1是方程y2-4ty+16t-16=0的两根,可得y1=4t1-4,同理y2=4t2-4.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,过定点P(2,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,连接AF并延长交椭圆C于M,求证:∠PFM=∠PFB.突破技巧1.转化法证明:对于转化法,先是对已知条件进行化简,根据化简后的情况,将证明的问题转化为另一问题,如将要证明的问题转化为斜率、弦长、中点、位置关系等.2.答题模板对点训练2(2020河南开封三模)已知抛物线C:x2=2py(p>0),F为抛物线C的焦点.以F为圆心,p为半径作圆,与抛物线C在第一象限交点的横坐标为2.(1)求抛物线C的方程;(2)直线y=kx+1与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,设切线l1,l2的交点为P,求证:△PAB为直角三角形.(1)解:记抛物线C与圆F在第一象限的交点为M.由题意,圆F与抛物线C的准线相切,且M到抛物线C准线的距离等于圆F的半径p.代入抛物线方程,得4=p2(p>0),所以p=2.抛物线C的方程为x2=4y.突破点二

圆锥曲线中的存在性问题

(1)求双曲线C的方程;(2)设过点(1,0)的直线l与曲线C交于M,N两点,问在x轴上是否存在定点Q,使得

为常数?若存在,求出Q点坐标及此常数的值;若不存在,说明理由.突破技巧关于存在性问题的解题策略(1)直接求解,求出要探究的参数值、点、直线等,即可说明存在性,若无解,则不存在.(2)假设存在,并作为条件使用,结合已知条件进行推导,探究是否有矛盾,没有矛盾符合题意则存在,否则不存在.(1)求E的方程;(2)设P为E上异于A1,A2的动点,直线A1P与y轴交于点C,过A1作A1D∥PA2,交y轴于点D.试探究在x轴上是否存在一定点Q,使得

=3,若存在,求出点Q坐标;若不存在,说明理由.解法2

(1)同解法1.(2)当点P与点B1重合时,C点即B1(0,1),而点D即B2(0,-1),(1)求C的离心率e;(2)设A为C的左顶点,Q为第一象限内C上的任意一点,问是否存在常数λ(λ>0),使得∠QF2A=λ∠QAF2恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.(2)当QF2⊥x轴时,∠QF2A=90°,所以|AF2|=|F2Q|,则∠QAF2=45°,所以λ=2.下面证明一般情况也成立.下面证明当Q为第一象限内C上的除了使∠QF2A=90°的任意一点时,∠QF2A=2∠QAF2,设Q(x0,y0),因为∠QF2A∈(0°,90°)∪(90°,180°),2∠QAF2∈(0°,90°)∪(90°,180°),突破技巧对条件中角相等关系的使用,一般把角的等量关系转化为角的三角函数的等量关系,取哪一种三角函数,要根据图形中角的位置决定,若角的一边平行于坐标轴,角的位置比较正,一般取正切,这样与直线的斜率能建立联系,若角的两边都不平行坐标轴,一般取余弦,可用向量的数量积表示.在平面直角坐标系中,∠ABC的角平分线l的一个方向向量可表示为对点训练4(2021广东湛江一模