经济数学课件：函数的极限与连续

1《高等数学》

2函数的极限与连续§1.1函数§1.2数列的极限§1.3函数的极限§1.4无穷小量与无穷大量§1.5极限的运算法则§1.6两个重要极限§1.7无穷小的比较§1.8函数的连续性§1.9闭区间上连续函数的性质3学习目标理解函数的概念、函数的特性；了解反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、分段函数的概念；了解数列与函数极限的描述性定义；左、右极限的概念；无穷小、无穷大的概念及相互的关系与性质；对无穷小进行比较；掌握极限四则运算法则；应用两个重要极限求极限；无穷小的性质；函数在一点连续的概念；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质；间断点的类型；求连续函数和分段函数的极限.41.1函数1.常量与变量在自然现象或科学试验等过程中，经常会遇到两种不同的量：一种量在过程中不发生变化而保持一定的数值，这种量称为常量(或常数)；另一种量在过程中可以取不同的数值，这种量称为变量.如冰化成水的过程中，所吸收的热量、与温度、时间等是变量。通常用字母α，b，c等表示常量，用字母x，y，z等表示变量．52.区间与邻域对于某个实际问题来说，一个变量只能在一定的范围内取值．变量的取值范围通常用区间表示．区间分为闭区间、开区间、半开半闭区间、无穷区间等。67在区间定义的基础上，如图，我们把开区间(α-δ,α+δ)(δ>0)叫作点α的δ邻域，α叫作邻域的中心，δ叫作邻域的半径．83．函数的概念定义1

设x,y是两个变量，D是一个实数集．如果对于D内的每一个数x，按照某个对应法则，变量y都有唯一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作.x叫作自变量，y叫作因变量，或者函数值，实数集D叫作这个函数的定义域.函数所有函数值的集合叫作函数的值域．9求

例3求下列函数的定义域.（1）(2)y=（1）

所以定义域为

解例2设函数10解（2）要使函数有意义，必须同时满足：分母不为零且偶次根式的被开方式非负，反正弦函数符号内的式子绝对值小于或等于1。

解出

故不等式组的解为.因此，该函数的定义域为11例4已知函数

的定义域是

求的定义域

例5判断下列各对函数是否相同.(1)

(2)

12求函数的定义域时应遵守以下原则：(1)代数式中分母不能为零；(2)偶次根式内表达式非负；(3)对数中真数表达式大于零；(4)反三角函数要根据各自的定义域；(5)两函数代数和的定义域，应是两函数定义域的公共部分；(6)对于表示实际问题的解析式，还应该保证符合实际意义.134.函数的图像14二、函数的特性1.函数的单调性单调增加函数、单调减少函数、单调区间15例1yxox162．函数的奇偶性定义1yxox-x17定义2182.函数的奇偶性奇函数：奇函数的图象关于原点对称.偶函数：偶函数的图象关于y轴对称．例判断下列函数的奇偶性

(2)

(4)(1)(3)193.函数的有界性定义3204.函数的周期性定义321四、初等函数1、常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，这些都是实际生活中常用的函数，我们把这五类函数统称为基本初等函数．22（1）幂函数23（2）指数函数24（3）对数函数25（4）三角函数正弦函数26余弦函数27正切函数余切函数28（5）反三角函数定义1单调增加、有界、奇函数29例1求下列各式的值：解30定义2单调减少、有界函数31例3求下列各式的值：解一般地，由反余弦函数的定义，可以得到32定义3单调增加、有界、奇函数33定义4单调减少、有界函数34两个常用的函数(1)符号函数1-1xyo（5）

分段函数35(2)取整函数y=[x],[x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo36定义2、反函数37反函数存在定理定理383.复合函数的定义39例1写出下列函数的复合函数：注意并非任意两个函数都可复合成一个复合函数.例2指出下列复合函数的复合过程：404、初等函数

由基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限次复合而成的函数,叫作初等函数.注意分段函数不一定是初等函数.411.2数列的极限定义1按照一定顺序排成的一列数，叫作数列.组成数列的每个数都叫作这个数列的项.42例如43定义2例1观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：解4445一般地，有下述结论：例2观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：解46定理1例如有界无界47定理2注意例如数列481.3函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限49定义1定义250定理1

的充分必要条件是＝A＝A51例1解522、自变量趋于有限值时函数的极限53定义4定义554定理1例3解55例4解56例5解57例5解581.4无穷小量与无穷大量1、无穷小定义1极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小。例如注意（2）绝对值很小的常数不是无穷小。（1）函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋向。（3）常数中只有数0是无穷小.。59无穷小量的性质性质1有限个无穷小量的代数和是无穷小量；性质2有限个无穷小量的乘积是无穷小量；性质3无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量；性质4常数与无穷小量的乘积是无穷小量．60定理1具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数的极限。即612、无穷大62定义2例如特殊情形：正无穷大，负无穷大．63注意（1）函数是无穷大,必须指明自变量的变化趋向.（2）任意一个绝对值很大的常数都不是无穷大量。.例如643、无穷小与无穷大的关系定理2651.5极限的运算法则一、极限的四则运算法则定理166推论1推论2注意（1）使用上述法则时，要求每个参与运算的函数的极限都必须存在。（2）在使用商的法则时，还要求分母的极限不能为零。67数列极限的四则运算法则如果

an=a，bn=b那么（anbn）=ab

（anbn）=ab

=特别地：

（c

an

(c为常数)注意：如果是商的运算,则要求bn=b2、参与运算的数列的个数必须是有限的法则的前提：1、参与运算的数列必须有极限68例1解例2解69例3例4解解70例5例6解解71例7解72例8解73归纳例6、例7及例8，可得以下的一般结论74例9解

75例10解76二、复合函数的极限法则定理277例11解78例12求解练791.6两个重要极限准则1一、极限存在的两个准则准则2单调有界数列必有极限．递增有上界，递减有下界80扇形AOB的面积证:当即亦即时，在单位圆中显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积注二、两个重要极限

81当时注82解:例2.

求解:

令则因此原式例1.

求83例3例4解解84例5.

求解:

原式=

852.证:当时,设则

86当则从而有故说明:

此极限也可写为时,令

87例6.

求解:

令则说明

：若利用

则原式88例7解89例8例9解解90内容小结1、数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则2.两个重要极限或注:

代表相同的表达式单调有界数列必有极限91思考与练习填空题

(1～4)

作业

P381

(1)，(3)，(5)，（7），（9）;

2(1)，(3)，(5)，（7），（9）;

921、7无穷小的比较一、定1.10反映了无穷小趋于0的速度的快慢，阶数越高，趋于0的速度越快。93例1比较下列无穷小的阶数的高低：解94例2证明：当时常用的等价无穷小95二、定理1.13

定理1.14若存在则定理说明：在求两个无穷小之比的极限时，分子、分母可用等价无穷小来代换，它可简化极限运算。理解会用96例3例4例5例697内容小结1、无穷小阶的比较2、等价无穷小求极限时可代换（记住）常用的等价无穷小981.3函数的连续性一、函数的增量与连续定义1.1699注意100例1解1012、函数连续的定义定义1.17y102例2证103定义1.18（1）

在点

处有定义，即

有意义；（2）

极限存在，即

=（3）

极限值等于函数值，即

=连续包括3层意思104105例3证106二、函数的间断点定义5107间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点

.为振荡间断点

.108为可去间断点.(2)为其跳跃间断点

.间断点举例109为其无穷间断点.为其振荡间断点

.110定理1.15三、连续函数的和、差、积、商的连续性例如，函数y=sinx和y=cosx在

处是连续的

显然它们的和﹑差﹑积﹑商在

处连续．111四、反函数与复合函数的连续性定理1.16如果y=f(x)在区间单调且连续，则（1）反函数在相应的区间上连续且与y=f(x)具有相同的单调性。（2）反函数在相应的区间上连续且与y=f(x)具有相同的单调性。112定理1.17设y=f[g(x)]由y=f(u)与u=g(x)复合而成，若，y=f(u)在连续则注1把定理中的x

x0换成x

，可得类似的定理注2：在定理中，因为有所以有

在连续的条件下，求复合函数的极限时，函数符号与极限符号可交换次序。113定理1.18设y=f[g(x)]由y=f(u)与u=g(x)复合而成，若u=g(x)在，y=f(u)在连续，则y=f[g(x)]在连续连续。114三角函数：sinx

，cosx

，tanx

，cotx五、初等函数的连续性幂函数：指数函数：

(a>0，a

1)；对数函数：

(a>0，a

1)；反三角函数：arcsinx

，arccosx

，

arctanx

，arccotx

；结论1：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．结论2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的．115初等函数的连续性在求函数极限中的应用：如果f(x)是初等函数,且x0是f(x)的定义区间内的点，则116

解

解117

解

令则x=log

a

(1+t)，当x

0时t

0，于是=lna118例8解

注意

因为分段函数一般不是初等函数，所以定理3对分段函数一般不成立.在讨论分段函数的连续性时，要根据连续的定义讨论分段点的连续性.119

内容小结在点连续的等价形式左连续右连续在点间断的类型第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在120一、有界性与最值定理例如1.9闭区间上连续函数的性质1、最大值与最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有

I，使得对于任一x

I都有则称

是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）1212、定理1.19(有界性与最值定理)若在闭区间上连续，则在上有界且必有最大值和最小值。注1

：定理1说明，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，那么至少有一点x1

[a，b]，使f(x1)是f(x)在[a，b]上的最大值，又至少有一点x2

[a，b]，使f(x2)是f(x)在[a，b]上的最小值．注2：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值．122例1在开区间(a，b)考察函数y=x．xyOy=xab

函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值．例2

在闭区间[0，2]考察函数yx2112Oy=f(x)在闭区间[0，2]内既无最大值又无最小值．123二、零点定理与介值定理1、零点：如果

，则

称为f(x)的零点．abOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b)定理1.20（零点定理）设f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号（即f(a)f(b)<0））那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x

(a<x<b)使f(x)=0．124几何意义：abOxyx1x2xx3y=f(x)f(a)f(b)位于x轴两侧的连续曲线，至少有一次穿过x轴。例1

证明在区间(0，1)内至少有一个根．证：

在闭区间[0，1]上连续，又f(0)=1>0，f(1)=-2<0．根据零点定理，在(0，1)内至少有一点

，使得f(

)=0，即

(0<

<1)．即证。xxx125定理1.21（介值定理）几何意义：

连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少交于一点.abOxyy=f(x)f(a)f(b)y=Cx1x126推论

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值．几何意义：abOxyy=f(x)mMy=CCx1127

本章小结数极限自然数有理数实数复合函数初等函数数列极限函数极限函数的连续性间断点函数连续函数与连续重点128一、课程概况建院初期：数学专业的专业课理工，管理类专业公共基础课师范类数学专业理工、管理类专业高等数学129近期：

高等数学理工、管理类专业为理工、管理类专业的公共基础必修课130八年来,课程建设

课程建设取得了一定成效

院级精品课程院级优秀教学团队

不动慢动大动照搬本专科教学因课时变化进行的小改小变围绕高职培养目标进行的全面建设131开设时间第一学年总课时90（课时）学分6学分前导课程——初等数学后续课程——相关专业课132二、课程设计2.1、课程定位

公共基础课程

基础性应用性1332.2、课程理念

以应用为目的，以必需、够用为度提高素养服务专业夯实基础突出应用1342.3、课程目标

素质目标知识目标掌握一元微积分、微分方程、概率统计、无穷级数、多元函数微积分、线性代数等三位一体相互支撑能力目标培养学生严谨的学习态度、良好的学习习惯、一定的数学修养。培养自主学习能力、逻辑思维能力、抽象思维能力、辩证思维能力、计算能力、分析解决问题能力、空间想象能力。1353.1、课程结构

培养学生的数学素养，奠定必要的数学基础。体现与专业接口，为专业服务，提高数学应用能力。

体现数学应用，拓展学生思维，提高学习数学的积极性。

公共选修课程

应用数学课程

基础数学课程

循序渐进三、课程实施1363.2、课程内容基础数学课程应用数学课程公共选修课程一元微积分，课时为60学时，开设时间：第一学年第一学期

微分方程、概率统计、无穷级数、多元函数微积分、线性代数等，课时为30学时，在第二学期开设。

数学实验、数学建模、线性代数教学内容137zzzzzzzzz课程实施班级授课教学模式讲授法讲练结合法小组讨论法案例教学法教学方法黑板+粉笔+教具多媒体网络教学手段

3.3、课程实施138重

知识的传授理论的推导技能的强化教师的讲授学生能力的培养

实际应用训练数学思想的培养学生学习主动性的养成三个“转变”重139

年龄结构30岁以下30-4040-5050岁以上1144

学历结构本科生研究生博士生82

职称结构助教讲师副教授1453.4、课程团队——院优秀教学团队市教学名师1人学科带头人1人骨干教师3人140近三年科研情况主研省厅级课题：四项主研市院级课题：近十项获省级优秀教育科研成果奖：二项获市级科技进步管理奖：二项公开发表论文：近三十篇1413.5、课程资源自编《高等数学》教材上、下册（川大出版社），2009年9月第一次出版。制订了课程标准，统一了教案，制作与教材相应PPT。并将这些及相关参考资料打包上网，构建了网上课程教学资源库。网络学习系统：《高等数学》院级精品课程1423.5、考核方式及评价标准平时考核（30）期末考试（