分岔与混沌完整版本

2025/1/11机械系统与振动国家重点实验室1分岔与混沌2025/1/112机械系统与振动国家重点实验室第一章分岔１从一个例子说起２分岔的定义及类型３典型的分岔４求解方法５工程和自然界中的例子６分岔研究的历史与现状７分岔研究的意义2025/1/11机械系统与振动国家重点实验室3什么是分岔现象?2025/1/114机械系统与振动国家重点实验室1从一个例子说起[例1]Euler杆在轴向压力作用下的弯曲问题。这是Euler在1744年研究的一个问题，它是一个最简单的分岔现象。

一根理想的弹性直杆，在压力p的作用下，直的状态总是一种平衡位置。当压力p增加时，起初杆还是直的。一旦超过了某个临界压力，直杆的直的状态就不再是稳定的了，杆便产生了弯曲变形，当p超过临界压力时，挠度s随压力增加得是很快的。这是一类典型的分岔问题。图1Euler杆2025/1/115机械系统与振动国家重点实验室Euler直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值当时，杆保持着原来的直线平衡稳定态，即当时，有三种平衡状态,原来的直线变成不稳定态(保持直线)，稍有扰动平衡状态便会偏向+s或-s。偏向+s或-s方向分岔出稳定的弯曲状态，即2025/1/116机械系统与振动国家重点实验室图2Euler直杆随压力变化的分岔图2025/1/117机械系统与振动国家重点实验室２分岔的定义及类型2025/1/118机械系统与振动国家重点实验室２.1分岔的定义(Bifurcation)分岔现象是指动态系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化。泛指在一个动力学系统中，当控制参量改变时，其相图发生拓扑结构的突然变化，包括解的数目的变化、解的稳定性的变化等。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。2025/1/119机械系统与振动国家重点实验室2.2分岔的类型我们知道Jacobi矩阵的特征值确定系统状态的稳定性。对于一般动力系统，控制参数的变化会引起特征值的变化，当控制参数达到分岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它可以表现为在复平面的运动。由此也可以定义三种分岔类型:1.叉型分岔、鞍-结分岔和霍普分岔

2025/1/1110机械系统与振动国家重点实验室叉型分岔霍普分岔鞍结分岔特征值为实数，沿复平面的实轴由负变正穿过虚轴。特征值为复数，沿左半平面，由变穿过虚轴。特征值为实数，沿实轴左右趋于虚轴，即2025/1/1111机械系统与振动国家重点实验室十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔，而霍普分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它们在分岔点均满足：2025/1/1112机械系统与振动国家重点实验室3.

局部分岔和全局分岔2.静态分岔和动态分岔局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构如何发生变化。全局分岔则分析向量场的大范围的拓扑结构。静态分岔和Hopf分岔都属于局部分岔，而其它的分岔则属于全局分岔。局部分岔是全局分岔分析的一个重要内容。一般来说，完整的全局分岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对局部分岔的研究就显得尤为重要。静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等；动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（倍周期分岔）等。2025/1/1113机械系统与振动国家重点实验室3典型实例2025/1/1114机械系统与振动国家重点实验室典型实例3.1叉型分岔上式中，x是实数，是可正可负的参数，令=0，可知方程(1)的定态平衡解是（1）其平衡态的稳定性可由Jacobi矩阵的特征值特性，也即由下式来决定。典型实例是2025/1/1115机械系统与振动国家重点实验室图3叉型分岔——超临界情况

图4

叉型分岔——亚临界情况

我们再考虑另一种对称情况，即

平衡点而对应特征值则为

对于图3，当时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当时，这一支就变得不稳定了；一旦当有新的平衡分支解又变成稳定的了，这种情况被称为超临界分岔。反过来，若新的平衡分支解，在时是不稳定的，则称之为亚临界分岔。2025/1/1116机械系统与振动国家重点实验室3.2霍普分岔

是一个平衡点，其Jacobi矩阵是

得出特征值

由此可见，当参数由负变正时，点（0，0）则由稳定的平衡点变成不稳定的平衡点。分别沿实轴上方和下方穿过虚轴，（2）2025/1/1117机械系统与振动国家重点实验室令经过变换可得

当时，有（3）（4）式（4）表明，轨线以常速度旋转。而(3)式则说明还存在另一平衡态，即：

。这种情况与叉型分岔十分相似：时，是稳定焦点；

而当时，就变成不稳定点，

从而分岔出半径为极限环。这种由失稳后出现的极限环分岔称之为霍普分叉。如下图所示。

的2025/1/1118机械系统与振动国家重点实验室图5霍普分叉－超临界情况

2025/1/1119机械系统与振动国家重点实验室3.3鞍－结分岔

典型方程

由得平衡点(a)当μ＜0时,解解x0

为虚数，因此不存在平衡点。方程的解在x0=0处发生了分裂。解时，解是不稳定的，它是鞍点。（５）解时，此解是稳定的，是稳定的结点。，说明上述(b)当μ＞0时出现两个平衡点

2025/1/1120机械系统与振动国家重点实验室图6鞍结分岔

2025/1/1121机械系统与振动国家重点实验室4求解方法研究分岔的一些方法奇异性理论方法庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法中心流形法李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）幂级数法摄动法Shilnikov法数值法奇异性理论方法2025/1/1122机械系统与振动国家重点实验室奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化为较简单的范式（NormalForm）进行识别和分类，再通过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态，随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应用奇异性方法。该方法参考：1.ArnoldVI.BifurcationandSingulariticsinMathematicsandMechanics.Proc.ofthe17thIUTAM,19882.ArnoldVI.数学和力学中的分叉和奇异性.力学进展，1989,19(2):59-663.GolubitskyMandSchaefferDG.SingulariticsandGroupsinBifurcationTheory.Vol.1,Springer-Verlag,1985庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法2025/1/1123机械系统与振动国家重点实验室考虑微分方程x=f（x），x∈Rn（1）设f（x）足够光滑，且f（0）=0。现在研究对于某个给定正整数r≥2，通过坐标的多项式变换，使得在f的泰勒展开式中直到r次的项都有比较简单的形式。庞加莱伯克霍夫范式定理

设f（x）是Cr向量场（r≥2），f（0）=0，L=Df（0），则在原点附近存在一个坐标的r次变换，使得在新坐标系中，方程（1）化为下面的标准形：y=Ly+g2（y）+…+gr1（y）+gr（y）+o（‖y‖r）

（2）系统y=Ly+g2（y）+…+gr1（y）+gr（y）称为方程（1）的一个r阶（截断）PB范式。2025/1/1124机械系统与振动国家重点实验室需要注意：1.对于给定的r来说，r阶PB范式的取法一般不是唯一的。2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结构往往有密切的关系，但并不一定相同。一般来说，对于给定的r，r阶PB范式到底能在多大程度上反映原系统的定性性态仍然是一个未完全解决的问题。3.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PB范式通常就能提供重要的定性性态信息，这对原系统拓扑结构的研究有很大帮助。庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法2025/1/1125机械系统与振动国家重点实验室经典作品参考：(a)ArnoldVI.GeometricalMethodsintheTheoryofODE.Springer-Verlag,1983(b)WangD.AnintroductiontotheNormalFormtheoryofODE.AdvancesInMathematics,1990,30:38-71(c)GuckernheimerJandHolmesP.NonlinearOscillators,DynamicalSystemsandBifurcationsofVectorFields.Springer-verlag,1983如何求PB规范形方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、共振法等。对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明等工具。如何确定规范形与原方程系数关系：直接比较法、计算机代数方法等（目前无其它更好方法）。庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法中心流形定理2025/1/1126机械系统与振动国家重点实验室把一个对n维动力系统在奇异点附近的各种性态的研究简化为一个m维（m<=n)中心流形上的流的方程去研究。

在高维动态系统非双曲平衡点的领域，存在一类维数较低的局部流形，当系统的相轨迹在该流形上时，可能存在分岔等动力学行为，而在该流形之外，动力学行为非常简单。这类流形被称为中心流形。中心流形为研究分岔问题提供了一种降维方法。该方法将复杂的行为分离出来，可以在维数较低的中心流形上进行研究。2025/1/1127机械系统与振动国家重点实验室中心流形定理（CenterManifoldTheorem）

考虑自治系统（时不变系统）dx/dt=f(x)。对其在平衡点线性化，则雅克比矩阵为A=df/dt(x0)。中心流形定理指出，如果f(x)是r阶连续可导，则在任意平衡点，存在唯一的r阶连续可导的稳定流形，存在唯一的r阶连续可导的不稳定流形，并存在（不一定唯一）r-1阶连续可导的中心流形。中心流形定理李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）2025/1/1128机械系统与振动国家重点实验室在静态分岔的分析中，常在奇异点附近把方程的局部问题，用李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）化为较低维数的方程的局部解问题去研究。LS法的基本思想是把空间表示成两个子空间的直和，并将方程分别投射到这两个子空间上。这样得到两个方程，其中一个总有唯一解(由隐函数定理知），把求出的解代到另一方程中去，原来的方程求解问题变为求这个低维方程的问题。参考文献：陈予恕，非线性振动系统的分叉与混沌理论，1993，高等教育出版社。幂级数法和摄动法2025/1/1129机械系统与振动国家重点实验室幂级数法

通过解的渐进展开，利用投影关系和Fredholm择一性进行分叉分析。可应用于：静态分叉、Hopf分叉、次谐分叉和概周期分叉领域。参考：

(a)IoosGandJosephDD.ElementarystabilityandBifurcationTheory(2nded.).Springer-Verlag,1999

摄动法

包括：平均法、多尺度法、KBM法、内谐波平衡法等，应用于：周期或概周期领域。

数值法2025/1/1130机械系统与振动国家重点实验室

除摄动方法外，上述方法都属于定性研究。数值方法进行定量研究，特别是在确定分叉点位置、追踪分岔解等方面，数值方法是必要的。参考文献：

(a)KubicekMandMarkerM.ComputationalMethodsinBifurcationTheoryandDissipativeStructures.Springer-Verlag,1983庞加莱映射-十分重要的映射2025/1/1131机械系统与振动国家重点实验室为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹用一个截面（叫庞加莱截面）将其横截，根据轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映射。在截面图上，轨迹下一次穿过截面的点X(n+1)可以看成前一次穿过的点X(n)的一种映射X(n+1)=f(X(n))（n=0,1,2,…）这个映射就叫庞加莱映射。它把一个连续的运动化为简洁的离散映射来研究。绘制庞加莱映射是在普通的相平面上进行，它不是像画相轨道那样随时间变化连续地画出相点，而是每隔一个外激励周期（T=2π/ω）取一个点，例如取样的时刻可以是t=0,T,2T…相应的相点记为P0(x0,y0)，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)…这些离散相点就构成了庞加莱映射。2025/1/1132机械系统与振动国家重点实验室如不考虑初始阶段的暂态过渡过程，只考虑Poincare截面的稳态图像，当Poincare截面上只有一个不动点和少数离散点时，可判定运动是周期的。在庞加莱映射中的不动点反映了相空间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等;当Poincare截面上是一封闭曲线时，可判定运动是准周期的;当Poincare截面上是成片的密集点，且有层次结构时，可判定运动处于混沌状态。2025/1/1133机械系统与振动国家重点实验室５工程中及自然界中分岔的例子2025/1/1134机械系统与振动国家重点实验室现在看来，分叉可以看作一个依赖于参数的系统，当参数达到某个值时，即临界值时，系统的状态发生了与原来状态很不同的情况。从这种观点来看，自然界的许多现象，凡是发生突然变化，而且变化前后有显著不同的情况，都可以从分叉的角度加以研究。不管这个系统是属于科学的、技术的、经济学的、心理学的，还是社会学的。2025/1/1135机械系统与振动国家重点实验室最常见的例子：水水在普通气压的条件下在摄氏100℃沸腾，变为气相。这100℃就是一种临界温度，也就是一个相变的分岔点。静态分岔的例子2025/1/1136机械系统与振动国家重点实验室工程中静态分岔的例子2000年4月14日中午12点10分，湖南耒（lei）阳电厂使用近五年的72MX120M大型煤棚发生突然整体倒塌。所幸未发生人员伤亡。2025/1/1137机械系统与振动国家重点实验室中新网04年5月23日电，巴黎当地23日清晨7点左右，该市北部的夏尔·戴高乐机场的候机楼发生屋顶坍塌事故，已造成至少6人死亡，3人受伤。该候机楼2003年的6月17日举办了落成典礼，但直到11月份才正式投入使用。2025/1/1138机械系统与振动国家重点实验室世界贸易双塔楼建于1973年110层，高1377英尺（合４１２米）2025/1/1139机械系统与振动国家重点实验室2025/1/1140机械系统与振动国家重点实验室2025/1/1141机械系统与振动国家重点实验室人们常见的口琴上有许多簧片。拿其中的一片来看，当吹的风小时，簧片不发生运动。而当吹的口风稍大时，即超过了某个临界风速，簧片就会产生周期运动而振动起来。这是一种典型的霍普夫分岔。风琴、唢呐、单簧管、双簧管、号、笛等乐器都是利用这个原理制作出来的。Hopf分岔的例子2025/1/1142机械系统与振动国家重点实验室进一步讲，如果，激发振动的来源不是风，而是摩檫或水力等其他作用，也会出现霍普夫分岔，大量的弓弦乐器就都是这种分岔。当然，霍普夫分岔，并不只可以被利用来制作乐器给人们带来快乐，也还带来烦恼和灾难。Hopf分岔的例子2025/1/1143机械系统与振动国家重点实验室在20世纪三、四十年代，航空中曾经有一种可怕的空难，在飞行中当速度超过某个临界速度时，由机翼产生突然的“颤振”而发生的机毁人亡。如果把机翼看作上面说的口琴上的簧，那末“颤振”现象就容易理解了。几乎所有的噪音，如树叶的沙沙声、机器的隆隆声、摩檫噪音、有时水管子流水的嗡嗡声等都是和霍普夫分岔相关的。Hopf分岔的例子2025/1/1144机械系统与振动国家重点实验室在1940年建成的美国的西北部一座吊桥，长853.4m的塔科姆(Tacoma)大桥，建成后不久，由于同年11月7日的一场不大的风（仅每秒19m）引起了振幅接近9m的“颤振”，在这样大振幅振荡下，结构不一会便塌毁了。Hopf分岔的例子2025/1/1145机械系统与振动国家重点实验室在生态学研究中，有一种所谓“捕食者”的模型。它是研究有两种动物，例如是大鱼和小鱼，大鱼吃小鱼。一般讲，大鱼和小鱼可以在一定的数量上得到平衡。不过，还有一种更为常见的现象是，大小鱼的数量周期性地振荡变化。当大鱼多了时，小鱼就少了，于是大鱼就因为找不到食物而饿死减少；大鱼少了，小鱼又因为没有天敌大量繁殖而增加。如此周而复始。这种振荡也是一种典型的霍普夫分岔。1918年意大利数学家Volterra(1860-1940)最早研究了两种生物的捕食者模型。Hopf分岔的例子2025/1/1146机械系统与振动国家重点实验室1900年，法国人白纳（Benard）做了一个实验。在温度均匀的水平金属板上盛放一薄层液体。当加热金属板且上下的温差不大时，液体的状态处于静止，热量是通过热传导的方式自下向上传递。当温差达到某个临界值时，静止平衡的液体成为不稳定的，液体开始流动。此时流场成规则的胞状结构，在每一胞中，流体自中心至边沿形成环流。这个现象解释了白天在日照下地面温度升高后产生局部地区的风的成因。Hopf分岔的例子2025/1/1147机械系统与振动国家重点实验室从卫星上拍摄的白纳对流2025/1/1148机械系统与振动国家重点实验室经济学中的Hopf分岔例子：企业R&D的投资决策模型：E为企业产品销售额，F为R&D支出值，Fmin为维持企业总体上的产品销售平衡状态（零增长）所需的R&D支出值，Gt为保证R&D的投入不会低于某一限度的单边受限函数，Gt0，E*是决策者期望的最大产品销售额，为决策者灵敏度，为环境变量。R&D投入Ft随决策者灵敏度

变化的分岔行为R&D投入Ft随环境变量

变化的分岔行为2025/1/1149机械系统与振动国家重点实验室其它分岔的例子同样，股票市场的涨落、经济危机的周期性地发生、沙漠中沙丘周期性地起伏、心脏从正常跳动转化为颤动也都是一种分岔现象。2025/1/1150机械系统与振动国家重点实验室树叶子被风吹得沙沙声；机器的隆隆声、摩擦噪音；刮锅时刺耳的摩擦噪音；水管子流水的时候的嗡嗡声。其他分岔实例2025/1/1151机械系统与振动国家重点实验室６分岔研究的历史与现状2025/1/1152机械系统与振动国家重点实验室托里拆利EvangelistaTorricelli,

1608－1647

分岔现象的研究可以追溯到关于平衡的稳定性问题的提出。1644年，意大利著名学者伽利略的学生，托里拆利给出了关于平衡的稳定性的最原始的提法。他说：“如果物体的重心可以沿一个球运动，而且将物体提离球的最低点，则物体不可能保持静止。”2025/1/1153机械系统与振动国家重点实验室拉格朗日

JosephLouisLagrange

1736－18131788年法国学者拉格朗日在他的《分析力学》中将托里拆利的的平衡条件加以推广，提为：“当保守系统处于势能严格极小的状态时，系统处于稳定平衡。”这是判断静力平衡稳定性的最早的一般论述。当平衡系统依赖于参数时，稳定性可以随参数变化发生改变。这种从稳定到不稳定、或者从不稳定到稳定的变化，就是静力平衡问题的分岔。2025/1/1154机械系统与振动国家重点实验室欧拉

LeonhardEuler

1707－1783

托里拆利讨论平衡的稳定性之后，过了100年，欧拉在1744年给出了弹性受压杆在屈曲（即直杆平衡不稳定）后的大变形分析，即所谓的欧拉弹性线，这可能是弹性体平衡分岔的最早的例子。2025/1/1155机械系统与振动国家重点实验室庞加莱

JulesHenriPoincaré

1854－1912

最早关于动力学分岔的例子，大概是法国学者庞加莱开始的。他研究在万有引力场作用下的旋转流体团。2025/1/1156机械系统与振动国家重点实验室麦克斯韦耳

JamesClerkMaxwell

1831－1879最早从理论上研究这个问题的是麦克斯威耳，他在1868年发表论文讨论这一问题，并且给出了一个使调速器稳定工作的条件。2025/1/1157机械系统与振动国家重点实验室李亚普诺夫

АлександрМихаиловичЛяпунов

1857－1918

李亚普诺夫1892年提交的博士论文《运动稳定性一般问题》在俄罗斯力学家茹可夫斯基等参加答辩后在1893年通过了莫斯科大学的博士学位。李亚普诺夫在他的博士论文中，不仅给出了运动稳定性的严格定义，而且还给出了两种严格的判定方法。这个定义与判定方法至今仍是运动稳定性研究领域的主要内容。它在天文学、微分方程、控制论等领域内一直是关键问题之一。2025/1/1158机械系统与振动国家重点实验室安德罗诺夫АлександрАлександровичАндронов1901－1952这个结论说明分叉是在动力系统中十分普遍的现象。所以后人把从平衡状态进入振荡状态的分叉称为霍普分叉。1928年苏联力学家安德罗诺夫在讨论振动和极限环时引进了自振的概念。随后德国数学家霍普夫在1942年严格论证了一个动力系统从平衡解转化为周期解的条件。霍普夫

E.Hopf

1902-19832025/1/1159机械系统与振动国家重点实验室７分岔现象研究的意义2025/1/1160机械系统与振动国家重点实验室沟通了不同领域，寻求他们共同的规律。又由于分岔是非线性问题，所以它成为新近形成的“非线性科学”的主要内容。对具体问题的分岔准确计算，使我们能够掌握这种问题的变化规律。对确定论或宿命论哲学的否定。分岔研究的意义2025/1/1161机械系统与振动国家重点实验室一方面来自各个具体的出现分岔现象的领域，这种研究的目的在于揭示那些具体领域中若干不同现象的转变点。另一方面人们把分岔作为一种各个领域共有的普遍规律来研究，旨在发现分岔问题共同规律。由于在分岔研究中，人们遇到越来越复杂的方程，这些方程又都是非线性的，所以大多要借助于计算机求解去发现分岔点和追踪系统分岔后的行为。因之，关于分岔问题在计算机上的数值方法，就成为分岔研究和数值方法的一个重要的研究方向。目前对分岔的研究2025/1/1162机械系统与振动国家重点实验室结论分岔是系统两种性质上不同的状态转变点。掌握系统的分岔点对把握系统的性质和行为非常重要。分岔问题是实质非线性问题。分岔是非常普遍的现象。2025/1/1163机械系统与振动国家重点实验室第二章混沌2025/1/1164机械系统与振动国家重点实验室第二章混沌１混沌的发现２混沌的定义３混沌的特征４走向混沌的道路5

有趣的吸引子6混沌在现代科技领域的应用2025/1/1165机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现

混沌学的研究热潮始于上一世纪70年代，但这门新学科的渊源却可以追溯到19世纪末。庞加莱公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家、物理学家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性。

2025/1/1166机械系统与振动国家重点实验室１混沌的发现庞加莱对三体问题的研究。“太阳系是稳定吗？”是可预测的吗？2025/1/1167机械系统与振动国家重点实验室长期以来有两种对立的见解：一派以庞加莱（Poincare）为代表，认为其系统是不可预测的。另一派则以拉普拉斯（Laplace）为首，他说：“如果我们知道宇宙每一颗粒子，在某一特定时刻的准确位置和速度，便可以计算出宇宙的过去和未来。”这是一种机械唯物论，认为整个宇宙都是受机械律支配的。１混沌的发现2025/1/1168机械系统与振动国家重点实验室关于单体和两体问题，可以利用牛顿力学得到精确的解，但利用牛顿力学得到的三体系统方程却一直未得到精确的解。

不过庞加莱在当时指出了其某些解的复杂性，并提出了百年数学难题——庞加莱猜想。

１混沌的发现2025/1/1169机械系统与振动国家重点实验室

庞加莱在《科学的价值》一书中写道，“可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别。前者的微小误差促成了后者的巨大误差，于是预言变的不可能了”。这些描述实际上已经蕴涵了“确定性系统具有内在的随机性”这一混沌现象的重要特征。

世界上了解混沌的存在的可能性的第一人2025/1/1170机械系统与振动国家重点实验室H.Poincare的科学哲学思想也为发现混沌清除了一大理论障碍。他明确地提出了偶然性的客观意义，他认为“偶然性并非是我们给我们的无知所取的名字”，“对于偶然发生的现象本身，通过概率运算给予我们的信息显然将是真实的”。从这一认识出发，他鲜明地批判了“绝对的决定论”，认为精确的定律并非决定一切，他们只是划出了偶然性可能起作用的界限。《科学与假说》(1901)，《科学的价值》(1905)和《科学与方法》(1908)

2025/1/1171机械系统与振动国家重点实验室Poincare数学上的成就：他与Lyapunov一起奠定了微分方程定性理论的基础；他为现代动力系统理论贡献了一系列重要概念，如动力系统、奇异点、极限环、稳定性、分叉、同宿、异宿等；提供了许多有效的方法和工具，如小参数展开法、摄动方法、H.Poincare截面法等。他所创立的组合拓扑学是当今研究混沌学必不可少的工具。现代动力系统理论的几个重要组成部分，如稳定性理论、分叉理论、奇异性理论和吸引子理论等，都发源于H.Poincare的早期研究。2025/1/1172机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现最早将庞加莱的拓扑动力学思想引到其他领域的工作是以电工学和电工技术为背景的。称为杜芬方程。其中f(x)含三次项，g(x)为周期函数。杜芬方程是今日混沌学文献中常见的方程之一。可以参考《混沌、分形及其应用》（王东生等编）p1811918年，杜芬（G.Duffing）研究了具有非线性恢复力项的受迫振动系统，揭示出许多非线性振动的奇妙现象。他所研究的动力学方程经标准化后为2025/1/1173机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现1928年，荷兰物理学家范德波尔（B.vanderpol）研究三极管振荡器，建立了以他的名字命名的运动方程2025/1/1174机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现

上一世纪六十年代初，洛伦兹通过对天气的简化模型研究，在计算机上发现似随机的运算结果，即“混沌”。——被誉为混沌解的第一个实例，从而揭开了对混沌现象深入研究的序幕。在著名论文“确定性非周期流”中讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，该简化方程后来被称为著名的洛伦兹方程。计算结果的实质意义：气候不能精确重复与无法长期天气预报之间必然存在着一种联系，这就是非周期性与不可预见性之间的关系

2025/1/1175机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现主要贡献：在耗散系统中首先发现了混沌运动；揭示了确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性等混沌基本特征；在现代混沌研究中发现了第一个奇怪吸引子，洛伦兹吸引子标志着混沌学研究正式开始；为混沌研究提供了一个重要模型，引发出大量研究成果，至今仍然是混沌开发的一个富矿区；最先采用数值计算方法研究混沌，对混沌研究方法论有重要贡献。——数值实验2025/1/1176机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现

1964年法国天文学家伊侬(HenonM)从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，给出了下列的Henon映射该方程组当参数b=0.3，且改变参数a时，就发现其系统运动轨道在相空间中的分布似乎越来越随机。伊侬得到了一种最简单的吸引子，并用它建立的“热引力崩坍”理论，解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。2025/1/1177机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现

1971年法国物理学家茹厄勒(RuellD)和荷兰数学家塔肯斯(TakensF)为耗散系统引入了“奇怪吸引子”(Strangeattractor)这一概念，提出了一个新的湍流发生机制，以揭示湍流的本质。然而，因为湍流是一种极其复杂的现象，它是如何发生的，至今人们仍不完全清楚，但是，混沌现象的发现，对揭示湍流有很大启发。2025/1/1178机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现

1975年美籍华人学者李天岩和美国数学家约克〔YorkeJ)在美国《数学月刊》发表了题为“PeriodThreeImpliesChaos”

（周期3蕴涵着混沌）的著名文章，深刻地揭示了从有序到混沌的演化过程。文章标题中的“Chaos/混沌”一词便在现代意义下正式出现在科学语汇之中。李天岩

JYorke2025/1/1179机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现

1976年美国数学生态学家梅(May)在美国《自然》杂志上发表的题为“具有极复杂的动力学的简单数学模型”文章中指出，在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为。如称之为人口(或虫口)方程，即著名的逻辑斯谛(Logistic)模型。该模型看来似乎很简单，并且是确定性的，但参数

在一定范围变化时，它却具有极为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌，从而向人们表明了混沌理论的惊人信息。2025/1/1180机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现

1978年和1979年菲根鲍姆(FeigenbaumM)等人在梅的基础上独立地发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，从而使混沌在现代科学中具有坚实的理论基础。2025/1/1181机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现艰苦研究六年，菲根鲍姆终于发现并证实了4.6692这个新的常数（菲根鲍姆常数）2025/1/1182机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现这一普适性的发现推动了二十世纪八、九十年代混沌运动的研究形成了一股科研热潮。从它开始，物理学家以极大的热情加入了这原本属于数学家的研究领域，并在两个方面起了重要作用：一是用观察员的身份搜索了各种系统中的混沌运动极其特殊现象。二是从实用者的角度，探索了混沌运动现象在各个领域里的可能应用。2025/1/1183机械系统与振动国家重点实验室1混沌的发现自此，混沌研究开始由纯理论研究逐渐走向应用研究，越来越多的控制工程、通信、生物医学、机械等工程技术界的学者专家也开始加入这个原本主要是物理学家、数学家们参加的纯理论基础研究领域。所以说在各个领域的主要期刊中也有混沌方面的研究。

到目前为止，混沌理论已经发展成为内容丰富、覆盖面广、成就卓著的研究领域，并在现代科学技术中起到了重要作用，它的研究面之广除了几乎所有的自然科学界以外，还涉及到经济界、社会界、甚至哲学界等领域之中。2025/1/1184机械系统与振动国家重点实验室2混沌的定义现代科学中的混沌：混沌是“无序中的有序”，有序是指其确定性，而无序则是指其最终结果的不可预测性。作为一个科学概念：一类确定性非线性系统长期动力学行为所表现出的似随机性。数学上：混沌这一词一直没有一个统一的严格定义，目前关于混沌的定义至少有九种不同的描述方法，其中比较常用的有Li-Yorke,Devaney,Marotto意义下的三种混沌定义。

2025/1/1185机械系统与振动国家重点实验室3混沌的特征第一个特征：对初始条件的敏感性

‧蝴蝶效应(butterflyeffect)第二个特征：不可预测性第三个特征：有界性和遍历性

‧乱中有序第四个特征：自我相似性

‧分形(fractal)第五个特征：非周期性

‧功率谱的连续与宽频带2025/1/1186机械系统与振动国家重点实验室Folklore:

"Forwantofanail,theshoewaslost;丢了一个钉子，坏了一只蹄铁；Forwantofashoe,thehorsewaslost;Forwantofahorse,theriderwaslost;Forwantofarider,amessagewaslost;Forwantofamessage,thebattlewaslost;Forwantofabattle,thekingdomwaslost!“坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，误了一条消息；误了一条消息，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国！第一个特征：对初始条件的敏感性3混沌的特征2025/1/1187机械系统与振动国家重点实验室麻省理工学的气象学家洛伦兹(EdwardLorenz)形容蝴蝶效应，他说：南美洲亚马逊河流域的热带雨林中一只蝴蝶，偶然煽动了翅膀，所引起的微弱气流可能会造成一周后纽约的龙卷风；也就是说，只要开始有一点点小小的差异，影响会随着时间而扩大，造成后来南辕北辙的结果。第一个特征：对初始条件的敏感性3混沌的特征蝴蝶效应(butterflyeffect)2025/1/1188机械系统与振动国家重点实验室第二个特征：不可预测性

3混沌的特征天体力学中平面三体问题很好地说明了这种内随机性。当用计算机计算1个小质量天体在2个等量大天体M1、M2所在平面的垂线上运动时，来回摆动若干次以后，行为变得随机起来，人们再也无法预测它的位置、速度及回归时间。2025/1/1189机械系统与振动国家重点实验室第三个特征：有界性和遍历性Henon映射的混沌吸引子3混沌的特征有界性：混沌的运动轨线始终局限于一个确定的区域，这个区域称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走出混沌吸引域。所以从整体上来说混沌系统是稳定的。遍历性：混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混沌会到混沌区内每一个状态点。2025/1/1190机械系统与振动国家重点实验室Henon映射的混沌吸引子第三特征：有界性和遍历性3混沌的特征2025/1/1191机械系统与振动国家重点实验室第四个特征：自我相似性

‧分形(fractal)3混沌的特征混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。2025/1/1192机械系统与振动国家重点实验室第五个特征：非周期性3混沌的特征混沌是一种不同于周期、准周期或随机运动的运动形式，它也具有非周期性，这就使得混沌信号在时间轴上表现出类似随机的特性。它具有功率谱的连续与宽频带特性:混沌系统本身所具有的内在随机性则使得系统功率谱象随机系统那样也具有连续性，并有较好的宽频特性。因此，利用传统的频谱分析工具难以区分混沌系统和随机系统。2025/1/1193机械系统与振动国家重点实验室4走向混沌的道路

(1)倍周期分岔进入混沌一个系统，在一定条件下，经过周期加倍，会逐步丧失周期行为而进入混沌。(2)阵发混沌进入混沌

阵发混沌是指系统从有序向混沌转化时，在非平衡非线性的条件下，某些参数的变化达到某一临界阈值时，系统会时而有序，时而混沌，在两则之间振荡，有关参数继续变化，整个系统会由阵法混沌发展为混沌。⑶茹勒—泰肯（Ruelle—TaKens）道路

所谓茹勒—泰肯道路，就是指只要系统有三个以上的频率互相耦合时，系统就出现混沌现象。

2025/1/1194机械系统与振动国家重点实验室4.1倍周期分岔

解释倍周期分岔现象，我们从混沌描述中最重要的的一维非线性迭代方程式入手。这类方程中最有典型意义的是虫口方程－逻辑斯蒂（Logistic）映射。

(1)

式中的是与虫口增长率有关的控制参数，同时它的大小也反映了系统非线性的强弱。

当时，不管初值是多少，经过足够长的迭代，结果都会达到同一个确定值

。这个值就叫做周期一或不动点，，我们可以把这一结果想象成每年的虫口都一样。

2025/1/1195机械系统与振动国家重点实验室4.1倍周期分岔继续增大参数

，当

>3，周期一点不再稳定。初值稍有变化，迭代的结果就再也不会回到周期一点，而出现了周期二。例如：

当时，0.7是周期一点。现用0.669去迭代，就会出现周期二。迭代情况如下：0.669---0.738---0.644---0.764---0.601---0.799---0.545---0.829---0.472---0.830---0.469---0.830---0.470---0.830---0.470……

2025/1/1196机械系统与振动国家重点实验室4.1倍周期分岔现在，让参数

再增大，当

=3.449时，周期二解也变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期四解。当参数继续增大，使得

=3.544时，周期四解又变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期八解。一直迭代下去，还会出现周期十六、周期三十二等等。这就是著名的倍周期分岔现象。

2025/1/1197机械系统与振动国家重点实验室4.1倍周期分岔值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一直这样分下去，但对应的

值却有一个极限

,，到达

,时，迭代的稳定解是2

周期解---周期无穷大，也就是没有周期。所以这时得到的是非周期解，迭代的数据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。2025/1/1198机械系统与振动国家重点实验室图4-1倍周期分岔图

2025/1/1199机械系统与振动国家重点实验室图4-2混沌内部的自相似结构

2025/1/11100机械系统与振动国家重点实验室图4-3倍周期分岔谱图

2025/1/11101机械系统与振动国家重点实验室4.2阵发混沌(Intermittentchaos)

1979年，法国数学家玻木(Pomeau)和曼维尔(Manneville)在计算洛论兹方程的y分量时发现：当瑞利参数r在到达临界值rc附近时y

分量的周期性变化被一种随机的、突发性的冲击所打断。当r<rc时，系统处于长时间周期运动状态；当r刚超过阈值rc时，开始偶尔出现一些突发性冲击；随着r数值的逐渐增长，这种突发性冲击越来越频繁，最后周期运动几乎完全消失，系统进入完全随机的运动状态。阵发混沌即系统的运动在某些时间段落，十分接近周期过程，而在规则的运动段落之间，夹杂着看起来很随机的跳跃---系统时而处于周期过程，时而处于非周期过程，呈现出“阵发”行为。2025/1/11机械系统与振动国家重点实验室1025有趣的吸引子2025/1/11103机械系统与振动国家重点实验室5有趣的吸引子

吸引子是指非线性系统最终形成的运动状态在相空间中的不变流形或点集。例如，平衡，简谐运动，亚简谐运动，拟周期运动，相空间中其他点(运动状态)都被吸引到这些点集或不变流形中，故称为吸引子。通俗地说，就是相空间（或状态空间）中的图形，它对系统施加了一种“磁铁般的”吸引力，似乎要把系统都拉向它。2025/1/11104机械系统与振动国家重点实验室5有趣的吸引子相空间（Phasespace）：是一个数学空间，是由描述动力学系统瞬态必不可少的状态变量构成的正交坐标空间，也称之为状态空间。每一个状态也称为相，在相空间上的曲线称为相轨迹。可借助计算机来描述系统的相轨迹2025/1/11105机械系统与振动国家重点实验室5有趣的吸引子

例如，在直线上运动的质点，几何空间是一维的，而它的动力学描述则需要它的位置（x）和速度（v）两个变量，因此它的相空间是一平面，即2维的。同样，一个在3维几何空间运动的质点描述它的相空间是6维的，即3个位置变量和3个速度变量。

（1）相空间是一个数学空间，和几何空间是有区别的。特点：2025/1/11106机械系统与振动国家重点实验室5有趣的吸引子（2）描述一个相空间的状态变量可以是不同的。例如上述的质点运动就可以用动量（momenta）来代替速度：υ

→mυ

来画图。也可用状态变量的叠加来画图，等等。2025/1/11107机械系统与振动国家重点实验室（3）两条代表能量及几乎相等的相轨迹，可能相互十分接近，但是绝不会相交。5有趣的吸引子HyperchaoticChenAttractor2025/1/11108机械系统与振动国家重点实验室具有吸引子的系统的运动形式：图1平衡态图2周期运动不动点极限环5有趣的吸引子2025/1/11109机械系统与振动国家重点实验室具有吸引子的系统的运动形式：由有限个周期运动线性叠加而成，这些周期运动的周期中至少有两个周期的比值为无理数。图3拟周期运动环面5有趣的吸引子2025/1/11110机械系统与振动国家重点实验室不动点、极限环和环面这三种类型的吸引子的拓扑结构分别是0维、1维和2维。这类吸引子也称为平凡吸引子。5有趣的吸引子①定态——相空间的定点吸引子（运动状态可预测）（有阻尼单摆方程）②周期振荡——极限环吸引子（运动状态可预测）（范德玻耳方程）③混沌态——奇怪吸引子（运动状态不可预测）（洛仑兹方程）2025/1/11111机械系统与振动国家重点实验室奇怪吸引子奇怪吸引子是指非线性系统的运动状态在相空间中形成变化的流形或点集。也称为混沌吸引子。5有趣的吸引子系统的状态进入相应吸引域内，运动轨道都会向吸引子会聚，但是，一切到达吸引子后的轨道由于其对初始条件的敏感依赖性又会急剧的分离、发散，但仍要一直处在吸引域的界限之内---轨道相互缠绕，来回穿行，永不相交。

2025/1/11112机械系统与振动国家重点实验室奇怪吸引子中国科大的汪秉宏教授对奇怪吸引子的解释是这样的：

(1)它是一个吸引子。因而它具有吸引子的不变性、吸引性、可回复性和不可分解性。然而，有限个孤立的稳定不动点集合或多周期的极限环并不构成奇怪吸引子。至少必须是3维或3维以上的相空间中的动力学流的极限集合，才能构成奇怪吸引子。5有趣的吸引子2025/1/11113机械系统与振动国家重点实验室5有趣的吸引子例：洛仑兹吸引子—相曲线不闭和、不相交—运动为非周期性的，而且具有不可预测的随机性。洛仑兹吸引子的数学模型

2025/1/11114机械系统与振动国家重点实验室受迫单摆蔡氏电路化学反应5有趣的吸引子其他奇怪吸引子2025/1/11115机械系统与振动国家重点实验室6.1在通信领域的使用

6混沌在现代科技领域的应用通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务的兴起，对保密通信提出了更高的要求。利用混沌进行保密通信是现在十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感，并导致了混沌信号的类随机特性。用它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性。因而，调制混沌信号即使被敌方截获，也很难被破译，这就为混沌应用于保密通信提供了有利条件。因此利用混沌进行保密通信是目前十分热门的研究课题。

2025/1/11116机械系统与振动国家重点实验室6混沌在现代科技领域的应用6.2在气象学中的应用

在近年的气象研究中，利用混沌进行中期预报的研究。由于气候系统是非线性系统，其初值问题的数值解是不确定的，研究气候状态的特征就要研究混沌态的特征，研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化。在这些研究中使用的数学工具主要是分形理论，如分数维、