专题12圆（基础知识）（解析版）

专题12圆（基础知识）

一、知识梳理

一、圆的基本概念

1.圆的定义

（1）从画圆的角度：在一个平面内，线段0A绕固定的端点。旋转一周，另外一个端点

A的轨迹形成的图形叫做圆.

（2）从集合的角度：平面内到一个定点距离相等的所有的点组成的集合叫做圆.

表示：若圆心为0,通常汜为“00”，线段。4叫做半径.

2.相关概念：同圆、同心圆、等圆

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定了圆心和半径即确定了圆.

圆心半径

同圆相同相同

同心圆相同不相同

等圆不作要求相同

3.三角形外接圆

定理：过平面中不共线的三点，有且只能画一个圆.

外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形外接圆.任意三角形都有且仅有一个外接圆.

外心：外接圆的圆心叫外心.

4.弦和弧

【与三角形、四边形相比，圆没有边也没有角，所以，得造出些边角.】

（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.

特别地，直径是最长的弦，但半径不是弦.

（2）弧：圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称：弧.

半圆：直径把圆分为两个完全相同的部分，每个部分都叫半圆，半圆也是弧;

优弧：大于半圆的弧，为了区分，优弧可记为AC8；

劣弧：小于半圆的弧，A"通常指劣弧A艮

【易错点】

在同圆或等圆中，长度相等的弧叫等弧.

判断题：长度相等的弧叫等弧（x）

分析：等弧不仅强调长度相等，也要求形状一样，简单说，要能完全重合才叫等弧.

5.圆心角、圆周角

（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角；

（2）圆周角：顶点在圆上，且两边和圆相交的角叫做圆周角.

【小结】考虑圆本身并无边、角，所以弧、弦、圆心角、圆周角将会是圆中重点研究的对象.

二、圆中三大基本定理

1.垂径定理

（1）定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）逆定理：平分弦（该弦非直径）的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.

【逆定理里要排除掉一种情况：任意两条直径均互相平分，但并不一定互相垂直

【小结】垂径定理与逆定理结合，可得的结果就是：直径与弦，垂直与平分可互推.

（3）垂径定理应用

如图，圆心和弦的距离称为“弦心距”，即图中的0E.

△OEO和△OEC都是直角三角形，可由勾股定理得等式:

停）+（弦心距六（半径了

在这里可以给条件作变化，但终究还是利用勾股定理求得线段长度，若无直角三角

形，无脑作垂直即可.

【小结】关于求弦长：欲求弦长，先求弦长的一半.

2.弧、弦、圆心角关系定理：

（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

当N40B二NC。。时，则AB=CD

【圆的旋转对称性：当时，将AAOB绕。点旋转，可与△C。。重合.】

（2）推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦有一组量相等，那么它们

所对应的其它各组量分别相等.

【补充】关于四点共圆（课内不作要求）：

若A、B、C、。四点共圜，则有:

(1)四边形对角互补；

(2)Z1=Z7,Z2=Z4,Z3=Z6,Z5=Z8；

(3)bPABs/\PDC,、PADs/\PBC；

(4)托勒密定理：ACBD=ABCD+ACBD.

如何判定四点共圆？

以上三条中的任意一个条件都可判定“四点共圆”.即性质与判定可互推.

三、直线与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系

(1)点在圆上；(2)点在圆内；(3)点在圆外.

【小结】具体的位置关系由圆的半径，和点到圆心的距离d的大小关系决定.

2.直线与圆的位置关系

(1)相离：直线与圆无公共点；

(2)相切：直线与圆有且仅有一个公共点;

(3)相交：直线与圆有两个公共点.

r>d

【小结】具体的位置关系由圆的半径/•与圆心到直线的距离d的大小关系决定.

3.切线

(1)性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.

应用：连半径，得垂直.

(2)推论：①经过圆心且垂直于切线的直线比经过切点.

②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.

(3)切线的判定

①定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；

②距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

③判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

【思考】如何选择距离法与判定定理？

圆周角定理

倒角：证明夹角为直角J弦切角定理

有交点：连半径，证垂直

【策略】等腰三角形

倒边：证明和已知垂线平行

无交点：作垂直，证半径

4.切线长

（1）定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长度叫做这点到圆的切线长.

如图，过园外一点尸作圆的切线以交圆于4点，则必的长叫做P到圆。的切线长.

（2）切线长定理

①由圆外一点作圆的两条切线，具切线长相等：PA=PB,

②圆心与这个点的连线平分两条切线形成的夹角：ZOPA=ZOPB.

5.弦切角

（1）定义：顶点在圆上，一边和圆相切，另一边和圆相切的角叫弦切角.

（2）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.（不能直接用）

四、正多边形与圆

1.正多边形

(1)各条边相等，且各个内角也都相等的多边形叫正多边形.

(2)正多边形相关概念

①中心：正多边形外接圆的圆心；

②半径：正多边形外接圆的半径；

③中心角：正多边形每一条边所对的圆心角；

④边心距：中心到正多边形边的距离.

(3)重新认识正三、四、六边形

通过这里的特殊角，可以计算“边：边心距：半径”.

(4)性质

正多边形是轴对称图形，有〃条对称轴

正偶数边形是中心对称图形，但正奇数边形不是，所以正多边形也是旋转对称图形.

五、扇形与圆锥

1.扇形

(1)定义：一条弧和经过这两条弧的端点的两条半径所组成的图形.

【扇形相当于圆的一个部分，圆就是圆心角为360°的扇形

①圆心角(n)：Z.AOB：②半径(r)：。4、OB；③弧(/)：AB

(2)两个重要公式：

①弧长：Z=—2^r=—

360180

②面积：或(将也用/替换掉，结果类似于三角形面积公

3602180

式)

2.圆锥

(1)定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面

所围成的几何体叫做圆锥.

(2)高(//)：圆锥的顶点和II锥的底面圆心之间的距离；

(3)母线(7)：底面圆周上任意一点到顶点的距离；(侧面展开形成扇形的半径)

(4)侧面积(5例)：侧面展开(是个扇形)的面积；

(5)表面积(S)：侧面展开扇形面积+底面圆面积(5=万，十万〃)

【划重点】侧面展开扇形弧长二底面圆周长：—2^/=2^r->r=—

360360

3.阴影部分面积

(1)割补法：割割补补，哪里需要补哪里

S阴=S扇形人。8一S&AOB

(2)拼凑法：拼拼凑凑，拼凑出新的图形

(3)等积变形

利用平行线间距离处处相等，可找到等面积三角形.

六、圆中的相似

1.相交弦定理

(1)定理：如图，弦与弦C。交于圆。内一点尸，则%

(2)证明：连接A。、BC,

根据有圆周角定理可得：/DAP=NBCP,ZADP=ZCBP,

/.AAPDsMPB,

.PA_PD

*'~PC~~PB

：.PAPB=PCPD

2.切割线定理

（1）定理：如图，。为圆0外一点，以是圆的切线，PC是圆的割线，求证：PA2=PBPC.

(2)证明：连接AB、AC,

根据弦切角定理，可得:又NP是公共角,

，△布BsgCA,

.PBPA

••---=---,

PAPC

AP4=PBPC.

3.割线定理

(1)定理：如图，P是圆。外一点，PB、尸。是圆的两条割线，则以PB=PCPD.

V

(2)证明:

法一：连接AC、BD,

y

D

根据园内接四边形外角等于内对角,可得：NMC=NPDB,NPCA=NPBD,

:APACSAPDR,

.PAPC

PDPB

・•・PAPB=PCPD.

法二：连接力O、BC,

■

y

根据圆周角定理，可得：NB=/D,又NP是公共角，

:•丛PADs丛PCB,

.PA._PD

^~PC~~PB

：.PAPB=PCPD.

二、中考真题演练

一、垂径定理

1.（2020•滨州）在中，直径A6—15,弦£>K_LA2于点C,若OC:OB-3:5,则£）£■的

长为（）

A.6B.9C.12D.15

【解答】解：如图所示：连接。Q,

直径AB=15,

BO=7.5,

•.OC:O8=3:5,

..CO=4.5,

二.DC=4DO?-CO?=6,

•DF=?DC=]2.

故E选：C.

2.（2021•长沙）如图，在°。中，弦4?的长为4,圆心到弦AB的距离为2,则NAOC的

度数为—.

【解答】解：•••OC_LAB，

/.AC=BC=—AB=—x4=2,

22

•.OC=2,

・•・AAOC为等腰直角三角形，

/.ZAOC=45°f

故答案为：45°.

3.（2021•自贡）如图，为的直径，弦CDJ_"于点尸，14c于点E,若OE=3,

OB=5,则CD的长度是（）

A.9.6B.4x/5C.5百D.10

【解答】解：vOFlAC,

AE=EC，

:.ZAFC=ZAEO=90°f

•.OE=3,03=5,

AE=>IAO2-OE2=4,

.-.AC=8,

vZA=Z4,ZAEO=ZAFC,

/.AA£C^AAFC,

AOEO53

----=----,即an：—=----f

ACFC8FC

FC=——

•.C£）_LA4,

48

7.CD=2CF=—=9.6.

5

故选：A.

4.（2021•牡丹江）半径为12sz的圆中，垂直平分半径的弦长为一.

【解答】解：如右图所示：设圆为0O,弦为半径OC被A8垂直a分于点。，连接Q4,

由题意可得：OA=OC=\2crnfCOLAB,OD=DC=6cm,

\COrAB,

:.AD=DB>

在RtAODA中，由勾股定理可得：AD=>JOA2-OD2=V122-62=6^3(cm),

AB=2AD=12^(cm)t

5.（2021•凉山州）点P是OO内一点，过点尸的最长弦的长为10cm,最短弦的长为6c帆,

则OP的长为（）

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

【解答】解：如图所示，。）14内于点".

根据题意，得：AB=\Oc7fifCD=f）cni.

•.•AB是直径，且8_LAB,

CP=—CD—3cm.

2

根据勾股定理，得OP==CP2=6-32=4（cm）.

故选：B.

6.（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=4工+苧与OO相交于A,B

两点，且点A在x轴上，则弦的长为

【解答】解：设直线交y轴于C,过。作于。，如图:

在产®X+空中,令1=0得X型

333

...C（0，W）,OC=竽，

在尸旦十辿中令），=0得与+毡=0,

3333

解得r=—2,

A（—2,O）,04=2,

班

RtAAOC中，tanZC4O=—=-2-=—,

OA23

,-.ZC4O=30°,

RtAAOD中，AD=OAcos30°=2x—=x/3,

2

\ODLAB.

AD=BD=x/3,

AB=25

故答案为：2>/3.

7.（2020•武汉）如图，在半径为3的0O中，是直径,AC是弦，。是AC的中点，AC

与8。交于点E.若石是8。的中点，则AC的长是（)

O

A.-y/3B.36C.3应D.4夜

2

【解答】解：连接8,交AC于尸，

•.•。是AC的中点，

:.ODYAC,AF=CF,

二.ZD庄=90。，

•;OA=OB,AF=CF,

:.OF=-BC.

2

•.•AB是直径，

Z4CB=90°,

在A£ED和AECB中

NDFE=NBCE=9。。

•NDEF=NBEC

DE=BE

:.AEFD=^CB(AAS),

:.DF=BC,

:.OF=-DF

2f

•.QD=3,

:.OF=\,

:.BC=2,

在RtAABC中，AC2=AB2-BC\

AC=>JAB2-BC2=>/62-22=乙夜,

8.（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材,

埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”用现在的几何语言

表达即：如图，CZ）为cx＞的直径，弦AB_LCO，垂足为点E，CE=1寸，AB=10寸，则

直径m的长度是（）

A.12寸B.24寸C.13寸D.26寸

【解答】解：连接OA,

•.•A8_LCD,且A8=10寸，

.\AE=BE=5^f

设圆O的半径。4的长为x,则OC=OD=x,

•/C£=l,

:.OE=x-\，

在直角三角形4OE中，根据勾股定理得：

/一（工_1）2=52,化简得：x2-%2+2x7=25,

即2x=26,

..CD=26（寸）.

9.（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如

图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端量的弧的中心C到

的距离C0=l.&7〃，AB=6.4cm,很快求得圆形瓦片所在圆的半径为4所.

【解答】解：点是A8的中点，CD±ABf

.♦.8过圆心，AD=BD=-AB=-x6.4=3.2(cm),

22

设圆心为O,连接。4,如图，

设G)O的半径为Rem,则OO=(R—L6)m,

在RtAOAD中，(/?-1.6)2+3.22=N，解得R=4(cm),

所以圆形瓦片所在圆的半径为4的.

故答案为4.

0

10.(2021•鄂州)简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全

书》中用图画描绘了简车的工作原理，如图1.简车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的

圆，如图2.已知圆心O在水面上方，且OO被水面截得的弦长为6米，G)O半径长为

4米.若点。为运行轨道的最低点，则点。到弦所在直线的距离是()

图1图2

A.1米B.(4-/)米C.2米D.(4+6)米

【解答】解：连接OC交于。，连接。4,

•.•点。为运行轨道的最低点，

..OC±AB,

AD=-AB=3(米)，

2

在RtAOAD中，OD=y/OA2-AD'=742-32=V7（米），

.••点C到弦AB所在直线的距离。=OC-00=（4-夕）米,

故选：B.

水面

图2

11.（2021•柳州）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图

所示，若水面宽度A8=24加，则水的最大深度为（）

-----24-►

A.5cmB.ScmC.10c/nD.\2cm

【解答】解：连接08,过点。作OCJ_A8于点。，交于点C,如图所示:

•/AB=24cm,

.■.BD=^AB=\2(cm)t

・.OB=OC=T3an,

在RtAOBD中，OD='OB?-必=J13?-12?=5(即),

:.CD=OC-OD=\3-5=S(an)t

即水的最大深度为8a〃,

故选：B.

—24―►

12.（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上FI出时的画面，“图上”太阳与

海平线交于A,B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米.若从目前太

阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）

C.1.2厘米/分D.1.4厘米/分

【解答】解：设“图上”圆的圆心为O,连接04,过点。作于。，如图所示:

A4=I6厘米,

/.AD=-AB=S（厘米）,

2

•.•Q4=10厘米,

/.0D=y/0A2-AD2=V102-82=6（厘米）,

・••海平线以下部分的高度=。4+（%>=10+6=16（厘米）,

•.•太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟,

一.“图上”太阳升起的速度=1676=1.0（厘米/分）,

13.（2U2U•广州）往直径为52c机的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面

宽AB=48cm,则水的最大深度为（）

B.10（?/nC.16cmD.20cvn

【解答】解：连接。过点O作OC_LAB于点D,交于点C,如图所示:

,/AB=48c5,

BD=—AB=—x48=24(c/w),

22

QO的直径为52cm,

OB=OC-26cm,

在RtAOBD中，OD=y/OB2-BD2=\)262-242=10(cm),

CD=OC—OD=26-10=16(c/n),

故选：C.

14.（2019•黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（A8）,点。是这段弧所在圆的圆心,

AB=40/〃，点C是AB的中点，点。是的中点，且C£>=10/〃，则这段弯路所在圆的半

B.24〃?C.30"?D.60/zz

【解答】解：AB=40m,

AD=DB=20m,

22

在RtAAOD中，O^=OD+ADt

设半径为r得：r2=(r-10)2+20:,

解得：r=25(/n),

••・这段弯路的半径为25m

故选：A.

15.（2021•西宁）如图，AB是桢的直径，弦COJ.A8于点E,8=10,BE=2,则O。

的半径oc=

c

【解答】解：...弦C£>_LA8于点E,8=10,

.\CE=-CD=5NOEC=90°,

2f

设。8=OC=x,贝l」OE=x-2,

222

在RtAOCE中，由勾股定理得：CE+OE=OC1

即52+(X-2)2=X2,

解得：x=—,

4

即OC=—f

故答案为：

4

16.（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题:

“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是：

今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道

长AS=1尺（1尺=10寸）.问这根圆形木材的直径是26寸.

【解答】解：由题意可知。石_L4B,

•・•。七为。O半径，

尺=5寸，

设半径=寸,

•.£7)=1,

OD=r—\,

则RtAOAD中，根据勾股定理可得：（r-l）2+52=r,

解得：r=13>

二木材直径为26寸；

故答案为：26.

二.弧、弦、圆心角的关系+圆周角定理

1.（2021•鞍山）如图，为QO的直径，C,。为QO上的两点，若NABD=54。，则NC

的度数为（）

D

A.34°B.36°C.46°D.54°

【解答】解：连接4）,如图，

为CX9的直径，

/.ZADB=90°,

.\ZA=90o-ZABD=90o-54o=36°,

ZC=ZA=36°.

故选：B.

D

2.（2021•阜新）如图，A,B,C是QO上的三点，若NO=70。，则NC的度数是（）

&

A.40°B.35°C.30°D.25°

【解答】解：•.•N4O8和NC都对A8,

/.ZC=-ZAOB=-x70°=35°.

22

故选：B.

3.（2021•牡丹江）如图，点A,8,C为0。上的三点，ZAOB=-^BOC,ZZMC=30°,

3

则NAOC的度数为（）

【解答】解：•.ZBOC=2Z^4C=60°,OB=OC,

.•.ABOC是等边三角形，

^AOB--/BOC-20°,

3

ZAOC=ZBX+ZAO8=600+20°=80。，

故选：C.

4.（2021•桂林）如图，是00的直径，点C是上一点，连接AC,BC,则NC的

度数是（）

【解答】解：♦.•他为OO的直径，

ZC=90°,

故选：B.

5.（2021•赤峰）如图，点C,。在以为直径的半圆上，且NADC=120。，点E是AO上

任意一点，连接BE、CE.则NBEC的度数为（）

c

E

A.20°B.30°C.40°D.60°

【解答】解：连接AC,如图，

•.•四边形ABCD为OO的内接四边形，

:.ZADC+ZABC=\S00,

.•.ZABC=l80°-120o=60°,

•「AB为直径，

/.ZACB=90°,

•/«4C=90°-60o=30°,

/.ZBEC=ZR4C=30°.

故选：B.

6.（2021•常州）如图，8c是0O的直径，AB是G）O的弦，若/40C=60°,则NQ4B的

度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【解答】解：•.•NAOC=60。，

Z5=izAOC=30°,

2

:OA=OB,

Z(74B=ZB=30o,

故选：C.

7.（2021•黄石）如图，A、8是GX）上的两点，NAO3=60°,OF_LAB交于点尸，

则N」RA户等于（）

【解答】解：.OFA.AB,

AF=BF,

ZAOF=Z.BOF=-ZAOB=1x60°=30°,

22

NBAF=-ZBOF=lx30°=15°.

22

故选：C.

8.（2021•吉林）如图，四边形AHCD内接于OO,点P为边4）上任意一点（点尸不与点A,

。重合）连接CP.若N8=120。：则NAPC的度数可能为（）

A.30°B.45°C.50°D.65°

【解答】解：•.•四边形ABC。内接于OO,

/.Zfi+ZD=180°,

VZB=120°,

.•.ZD=180°-Z5=60°,

•.•NAPC为APCD的外角，

.-.ZAPC>ZD,只有。满足题意.

故选：。.

9.（2021•海南）如图，四边形4As是G）。的内接四边形，破是G>O的直径，连接AE.若

ZBCD=2NBAD,则NQAE的度数是（）

A.30°B.35°C.45°D.60°

【解答】解：•四边形ABS是。。的内接四边形，

.•48+/84。=180°,

\ZBCD=2ZBADf

,-.ZBCD=120°,ZMD=60°,

•.・庞:是OO的直径，

.•.ZE4E=90°,

/.ZZME=90o-ZZMD=90o-60o=30°,

故选：A.

10.（2021•宜昌）如图，C,。是OO上直径两侧的两点，设NABC=25。，则NBOC=（

）

【解答】解：连接OC,如图，

­.Z4BC=25°,

.­.ZAOC=2ZABC=2x25°=50°,

.•.ZSOC=180o-ZAOC=180o-50°=13（r,

N3OC=，N3OC=LX1300=65。.

22

解法二：因为AB是直径，

所以448=90。

所以NBDC=NCAB=900—ZABC=65°.

故选：D.

11.（2021•聊城）如图，A,B,。是半径为1的0O上的三个点，若AB=V5,ZC4B=3O°,

A.95°B.100°C.105°D.110°

:.O^+OB1=ABZ,

/.ZAOB=90°,

.\ZACB=45°,

ZABC=180°-45。-300=105。，

故选：C.

12.（2021•长沙）如图，点A,B,。在上，ZBAC=54G,则4OC的度数为（）

c

A.27°B.108°C.116°D.128°

【解答】解：•.・NA=54。，

.•.ZBOC=2Z4=108°,

故选：B.

13.（2021•邵阳）如图，点A,B,C是0。上的三点.若NAOC=90。，Zfi4C=30°,

则NAO8的大小为（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【解答】解：•.•NaAC与4OC所对弧为8C，

由圆周角定理可知：N8OC=2NWC=60。，

又ZAOC=90°,

NAQ8=NAOC-4OC=90°-60°=30。.

故选：B.

14.(2021•嘉峪关)如图，点A,B,C,D,E在°。上，AB=CD,4403=42。，则

ZCED=()

'D

A.48°B.24°C.22°D.21°

:.ZAOB=ZCOD=42°f

ZCED=-ZCOD=21°.

2

故选：D.

15.(2021•眉山)如图，在以AB为直径的G)O中，点C1为圆上的一点，3C=3AC,弦CO_LA4

于点E,弦AF交CE于点、H,交BC于点G.若点”是4G的中点，则NCB尸的度数为(

)

【解答】解：•.•他是直径,

.•.ZAC8=90。，

:.ZABC+ZCAB=90°,

BC=3ACt

...ZCAB=3ZABC,

\CDA.AB,

ZACE=22.5°f

♦.•点”是AG的中点，ZACB=90°,

:.AH=CH=HG,

:.ZCAH=ZACE=22.5°t

•;NCAF=/CBF,

/.NQm=22.5。，

故选：c.

16.（2021•重庆）如图，AB是G）O的直径，AC,8c是0。的弦，若NA=20°,则々的

度数为（）

A.70°B.90°C.40°D.60°

【解答】解：•••AB是。O的直径，

NC=90°,

•/ZA=20°,

.•.Zfi=90°-ZA=70°,

故选：A.

17.（2021•重庆）如图，四边形438内接于G）O若NA=80°,则NC的度数是（）

Q

A.80°B.100°C.110°D.120°

【解答】解：...四边形ABC。内接于OO,

.-.ZA+ZC-1800,

-.•ZA=80°,

.\ZC=100°,

故选：B.

二.填空题（共8小题）

18.（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是0。的内接四边形，NADC=150°,弦AC=2,

则OO的半径等于—.

【解答】解：连接。4,OC,

•.•四边形ABCD是OO的内接四边形，

.-.ZADC+ZABC=180°,

vZAZ）C=150°,

.-.ZABC=30°,

.\ZAOC=2ZABC=60°,

,OA=OCt

・.△CMC为等边三角形，

:.OA=AC=2f

即OO的半径为2.

故答案为：2.

19.（2021•阿坝州）如图，A,B,。是0。上的三个点，N8=40。，则NQ4C的度数为

B

【解答】解：•••N8=40。，

..ZAOC=2N4=80°,

\OA=OCf

:.ZOAC=ZOCAf

ZOAC=-(l800-ZAOC)=1x(180°-80°)=50°,

22

故答案为：50°.

20.（2021•朝阳）已知QO的半径是7,4?是G）O的弦，且45的长为7退，则弦所对

的圆周角的度数为一.

【解答】解：NACB和NAZ汨为弦所对的圆周角，连接。4、OB,如图，

过O点作OH_LAB于H,则=拽，

22

7G

在RtAOAH中，vcosZOAH=—=,

OA12

Z<W/=30°,

\OA=OBf

4OBH=4OAH=琳,

.\ZAOB=120°,

.\ZACB=-ZAOB=60°,

2

•/ZAPB+ZACB=180°,

..ZAD8=180。-600=120。，

即弦AB所对的圆周角的度数为60。或120。.

故答案为60。或120。.

c

D

21.（2021•淮安）如图，4?是GO的直径，8是G）O的弦，NC4B=55。，则NO的度数

是.

【解答】解：•.•48是OO的直径，

/.Z4CB=90°,

•.•ZG4B=55°,

..4=90°-NC4B=35。，

,-.ZD=Z5=35°.

故答案为：35°.

22.（2021•徐州）如图，A8是。0的直径，点C、。在桢上，若NADC=58。，则44C=

B

【解答】解：TAB是OO的直径，

.-.ZACB=90°,

vZB=ZADC=58o,

二44C=90°—NB=32°.

故答案为32.

23.（2021•黑龙江）如图，在OO中，AB是直径，弦AC的长为5cm,点。在圆上且

ZADC-30°,则0O的半径为____cm.

\ZAOC=2ZADCfNADC=30。,

J.ZAOC=60°,

\OA=OC,

「.AAOC是等边三角形，

OA=AC=5（cm）,

・•.G）O的半径为5a〃.

故答案为：5.

24.（2021•盐城）如图，在G）O内接四边形ABCZ）中，若NABC=100。，则NM>C=

【解答】解：•.•四边形A8CD是OO的内接四边形,

.".ZABC+ZADC=180°,

.•.ZADC=180°-100o=80°.

故答案为：80.

25.（2021•常德）如图，已知四边形48s是圆。的内接四边形，/4。£>=80°,则

【解答】解：•.・NSAD为8。所对的圆周角且NB">=80。，

ZBAD=-Z50D=-x80°=40°,

22

又•.•四边形是圆O的内接四边形，

，/BAD+NBCD=180P,

.•.ZfiCD=180o-Zfi4£>=180°-40o=140°,

故答案为：140。.

三、正多边形与圆+扇形面积弧长+圆锥

一.正多边形和圆（共2小题）

1.（2021♦兴安盟）一个正多边形的中心角为30。，这个正多边形的边数是（）

A.3B.6C.8D.12

【解答】解：•.•正多边形的中心角和为360。，正多边形的中心角是30°,

.­.这个正多边形的边数=—=12.

30°

故选：D.

2.（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口。=2。“帆,

则边长a=/ww.

【解答】解：如图，连接"、OD,过O作a7_LCD于〃.

360°

vZCOD=^-=60°,OC=OD,

6

.•.△CO。是等边三角形，

ZCOH=90°-60°=30°,

,OHLCDf

.-.CH=DH=-CD,OH=-b=\(Knuii)

22f

CH=10xtan30°=1(〃〃〃),

3

,2丽、

・・a=2Cn=---(rnrri)9

故答案为：邛.

3

二.弧长的计算（共12小题）

3.图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条04和08的夹角

为150。，04的长为30a〃，贴纸部分的宽AC为1&?〃，则8的长为（）

D.25%cm

【解答】解：04的长为30cm，贴纸部分的宽AC为l&w,

:.OC=OA-AC=\2cmt

又Q4和。区的夹角为150。，

8的长为：1‘°乃"1~=10乃（a”）.

180

故选：B.

4.（2021•牡丹江）一条弧所对的圆心角为135。，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍,

则这条弧的半径为（）

A.45cmB.40c/nC.35cmD.30c/n

【解答】解：设弧所在圆的半径为rem,

由题意得，上空=21x3x5,

180

解得，「=40.

故选：B.

5.（2021•梧州）若扇形的半径为3,圆心角为60。，则此扇形的弧长是（）

13

A.—7TB.冗C.—7TD.2万

22

【解答】解：•.•一个扇形的半径长为3,且圆心角为60。，

.••此扇形的弧长为竺叱=兀.

180

故选：B.

6.（2021•台湾）将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形.若其中一个

扇形的弧长为5乃，则另一个扇形的圆心角度数是多少？（）

A.30B.60C.105D.210

【解答】解：由题意可求得圆形的周长C=2笈、6=12万，

其中一个扇形的弧长£）=5万，则另一个扇形的弧长a二12冗一54=74,

设另一个扇形的圆心角度数为〃。,

根据弧长公式：L=—有:

180t

7%=也解得“=210,

180

故选：D.

7.（2021•兰州）如图，传送带的一个转动轮的半径为lOem,转动轮转〃。，传送带上的物

品A被传送6冗cm，则n=

【解答】解：♦.■物品A被传送的距离等于转动了〃。的弧长,

/27TX10,

------二6乃,

180

解得：n=108,

故答案为：108.

8.（2021•哈尔滨）一个扇形的弧长是84cm,圆心角是144。，则此扇形的半径是cm.

【解答】解：设扇形的半径为「刖，由题意得,

1447n.。

-----=o^r9

180

解得「=10（。〃），

故答案为：10.

9.（2021•长春）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径04的长度为200米，圆心角

4404=90°,则这段铁轨的长度为一米.（铁轨的宽度忽略不计，结果保留外

90

【解答】解：圆弧长是：G200fo（米）.

180

故答案是：100房.

10.（2021•娄底）如图所示的扇形中，已知Q4=20,4c=30,A8=40,则8

由题意蟹=4。,

/.=360,

「A甯

故答案为：100.

11.（2021•河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,。均在小正

方形的顶点上，且点8,C在AD上，ZBAC=22.5°,则BC的长为

【解答】解：如图，圆心为。，连接。4,OB,OC,OD.

0

•.OA=OB=OD=5,ZBOC=2Za4C=45°,

BC的长二甯5万

故答案沏于

12.（2021•温州）若扇形的圆心角为30。，半径为17,则扇形的弧长为.

【解答】解：根据弧长公式可得：

.n4r30-1717

I==-------------=——71.

1801806

故答案为：-7T.

6

13.（2021•泰州）扇形的半径为8cm,圆心角为45。,则该扇形的弧长为

【解答】解：由题意得，扇形的半径为8cm,圆心角为45。，

故此扇形的弧长为：冬*=2加的），

180

故答案为：21

14.（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为135。，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍,

则这条弧的半径为一.

【解答】解：设弧所在圆的半径为一，

由题意得，上空=21x5x3,

180

解得，r=40cm.

故应填40.

三.扇形面积的计算（共3小题）

15.（2021•衢州）已知扇形的半径为6,圆心角为150。,则它的面积是（)

A.-71B.3JTC.5%D.15乃

2

【解答】解：扇形面积二”也至二15%，

360

故选：D.

16.（2021•青海）如图，一根5加长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只

小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）

【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5,

11“诋Q907rx2525/八

所以面积=——--=—7r（m~）;

3604

小扇形的圆心角是180。-120°=60°,半径是5?,

milIn607rxi7C.2、

则面积=------=一（犷），

3606

则小羊A在草地上的最大活动区域面积=至；r+¥=ZZ万（病）.