专题09 直线与圆的位置关系（4大易错点分析）（解析版）-2024年中考数学考试易错题（浙江专用）

专题09直线与圆的位置关系

②忽榭二例雇内tniM与首线长定理的南tri关率

易错点一：直线与圆的位置关系

直线与圆的三种位置关系及对应判定方法:

设。。的半径为「，直线/与©。相交OdV一

圆心。到直线/的

直线/与相切

距离为dOoQd=r

直线/与。。相离厂

易错提醒：①直线与圆的位置关系的判定方法是相互的，即可以逆用；

②公式中d表示圆心到直线的距离，是垂线段的长度，不是任意两点间的距离；

例1.（2024•镇海区校级模拟）一圆的半径为3,圆心到直线的距离为4,则该直线与

圆的位置关系是（）

A.相切B.相交

C.相离D.以上都不对

【分析】先确定出d和r的大小，然后根据d和,•的大小关系进行判断即可.

【解答】解：・・•由题意可知d=4,r=3,

：，d>r.

・••直线与圆相离.

故选：C.

例2.已知OO的半径为5,点。到直线〃的距离为4,则直线。与OO公共点的个数

为（）

A.3个B.2个C.1个D.0个

【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论.

【解答】解：的半径为5,点。到直线。的距离为4,

...d=4Vr=5,

，直线a与圆相交,

工直线a与公共点的个数为2个,

故选：B.

例3.（2024•西湖区校级开学）如图，在矩形A8CO中，BC=6,A8=3,。0是以BC

为直径的圆，则直线与。。的位置关系是」

D

BC

【分析】作OE_L/W于£则OE=A8=3,由题意得出半径=3,rf1d=r,即可得

M结论.

【解答】解：如图所示：作。从LAO于£

贝ljOE=AB=3,

VBC=6,

：，OB=1-BC=3,

2

：.OE=OB,即圆心到直线的距离=半径,

・•・直线AO与。。相切.

故答案为：相切.

AED

BOC

变式1.（2023秋•江北区期末）如图，在RlZXABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

若OC与直线A8相交，则OC半径一的值或取值范围为（)

BA

A.0VY2.4B.r=2.4C.r>2.4D.2.4<r<4

【分析】过。作CZ)J_4B于。，根据勾股定理得到4B=10(7〃，再根据三角形的面

积公式得到CO的长，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论.

【解答】解：过C作COJ_AB于。，

VZC=90°,4C=4,BC=3,

22

•4+3=5,

AB

•・•直线AB与0c相交，则r的取值范围是r>2.4.

故选：C.

变式2.(2023•滨江区二模)已知。。的直径为4,圆心。到直线/的距离为2,则直

线/与OO()

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

【分析】根据直线与圆的位置关系判定方法，假设圆心到直线的距离为〃，当d>r,

直线与圆相离，当,/=八直线与圆相切，当d<r,直线与圆相交，由。0的直径为

4a〃，点。到直线/的距离为2a〃，得出d=r,进而/与。0的位置关系.

【解答】解：:。。的直径为4,

•••OO的半径为2,

•・•点。到直线/的距离为2,

・与OO的位置关系相切.

故选：B.

变式3.(2023•郸州区校级三模)在矩形ABC。中，AB=6,8c=8,点。在对角线AC

上，圆。的半径为2,如果圆O与矩形A8C。只有一个公共点，那么线段AO的长

是蛇或空.

3-3

【分析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设O。与4。边相切于E，连接

如图2,设与8c边相切于凡连接OF,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：在矩形A5c。中，

VZD=90°,4B=6,BC=8,

•••AC=IO,

如图1，设。0与AQ边相切于应连接OE,

则OELAD,

：.OE//CD,

：.△AOES/^AC。，

•.•'OE'二AOr

CDAC

•・•,A0_—2,

106

・"。=四，

3

如图2,设。。与BC边相切于凡连接OF,

则OFLBC,

：.OF//AB,

:.XCOFsXcXB、

・OC=OF

**ACAB'

•・•'0C._2—,

106

・・.OC=里，

3

・・・4。=”

3

••・如果圆O与矩形4BCD只有一个公共点，那么线段AO长的是蛇或空,

33

故答案为：22或殁.

33

1.（2021秋•遵化市期末）设OO的半径是6cm,点。到直线/的距离为d.0O与直

线/有公共点，则（）

A.d>6cmB.d=6cmC.0Wd<6c〃?D.0W4W6c〃?

【分析】利用直线与圆的位置关系判断方法，相切：一条直线和圆只有一个公共点，

叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点.相交：一条

直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，进而得出答案.

【解答】解：・・・0。的半径是6c〃?，点。到直线/的距离为"，。0与直线/有公共

点，

・••直线/与OO相切或相交，

；.0WdW6cn?.

故选：D.

2.(2023秋•台州期中)已知。。的半径是5cm,若圆心O到直线43的距离是8c小

则直线48与的位置关系是相离.

【分析】根据圆心O到直线AB的距离与。。的半径的大小关系可得直线AB与0。

的位置关系.

【解答】解：•・•圆心O到直线A8的距离为的半径为5cm,

工直线与。0相离，

故答案为：相离.

3.(2023春•上城区校级月考)已知。。的半径是一元二次方程Z.3=0的一个根，

圆心O到直线/的距离d=4,则直线/与的位置关系是相离.

【分析】解一元二次方程可得XI=-1,&=3,由题意得0。的半径为r=3,再根

据4>厂，可得：直线/与OO的位置关系是相离.

【解答】解：Vx2-2A--3=0,

:.(x+1)(x-3)=0,

/.XI=-I,4=3,

••・。0的半径为r=3,

・.・圆心O到直线/的距离J=4.

：.d>r,

・•・直线/与OO的位置关系是相离；

故答案为：相离.

易错点二：切线的性质

一、切线的性质

定义当直线与圆有且仅有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线

性质经过切点的半径垂直于圆的切线

切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等

二、切线的性质问题解题常用方法一见切点，连半径，得垂直！

易错提醒：①切线的性质问题中，通常只指明切线，做题中常需要自己连结过切点的半

径，所以看到切线的性质类问题，第一步就连对应半径；

②因为切线所得结论为垂直，故后续问题常以直角三角形展开，要多想直角三角形的对

应性质；

例1.（2024•浙江模拟〕如图，AB切圆O于点连接OA交圆O于点C,BD//OA

交圆。于点。，连接C。，若NA=34°,则NOCD的大小为（）

A.68°B.56°C.34°D.28°

【分析】连接。仄。。，则O6=O/)=OC,由切线的性质证明,

因为BD//OA,所以NQBE=NA=34°,则N0DB=N0BD=NOBE・N0BD=

56°,所以NCO8=NO8D=56°,NOO8=180°-ZODB-ZOBD=6SQ,求得

NCOQ=NCOB+NDO3=124°,则NOCQ=NODC=28°,于是得到问题的答案.

【解答】解：如图，连接08、0D,则03=。。=。。，

・・・48切圆0于点B,

・・・N0BA=N0BE=9(T,

'：BD//0M

：.ZDBE=ZA=34C,

：.NODB=NOBD=NOBE・NOBD=90°-34°=56°,

:・/COB=NOBD=56°,NQ(M=1800-ZODB-ZOBD=180<>-56°-56°

=68。,

:・/C0D=NCOB+/DOB=560+68°=124°,

AZOCD=ZODC=^-(1800-NCOD)=Ax(180°-124°)=28°，

22

故选：D.

例2.（2023秋•凉州区校级期末）如图，BC为。0的直径，尸为CB延长线上的一点,

过尸作O。的切线用，A为切点，PA=4,PB=2,则。。的半径等于3.

【分析】连接Q4,因为必是OO的切线，得/朋。=90°,结合已知在Rl△朋O

中运用勾股定理即可求解.

：.ZPAO=90°,:阴=4,PB=2,

在Rt△附。中，P61=PAL+AO1,

即（BO+2）2=42+AO2,

：.CAO+2）2=42+AO2,

解得AO=3,

故答案为：3.

例3.（2023秋•义乌市期末）如图，某小区打算进行公共设施改造，现有一块边长为

40〃?的正方形空地A8CO,点。在48边的中点处，计划在正方形空地内搭建一个以

。为圆心,A8为直径的半圆形儿童游乐场区域，过点C作半圆的切线交AO于点N.以

CN为正方形的区域分割线，位于分割线右下方的整个区域A3CN作为小区的休闲区，

则该休闲区的面积为（）加之.

B.140C.800D.60Ch/2

［分析］根据切线长定理和勾股定理求出AN的长，再根据梯形面积的计算公式进行

解答即可.

【解答】解：如图，由切线的性质可知，CM=CB=40/〃，MN=AN,

设则。N=(40-x)m,CN=(40+x)m,

在RtaCDN中，由勾股定理得，

CN1=CD2+DN2,

即(40+x)2=402+(40-x)2,

解得x=10,

即AN=10,

,该休闲区的面积为工义(10+40)X4O=IO(K)(in2),

2

故选：A.

例4.(2023秋•柯桥区期末)如图，C为平面直角坐标的原点，直线/W与两坐标轴交

于4,4两点，4C=8,若。。的圆心在直线y」x上，且。。与力3,AC

3

所在直线相切，则圆心。的坐标是(9,3)或(4,.

【分析】利用勾股定理求得相等BC的长度，利用分类讨论的思想方法分两种情况解

答：①设00与/W,AC所在直线相切于点D,E,连接OO,OE,OB,OA,过点

O作_LBC,设O(3x,x),WOOD=x,CD=3x,S^ABC=S^OBC+S^OAC^S^

OAB,列出关于x的方程解答即可；②设OO与AC所在直线相切于点MM,

连接。M,ON,OB,OA,设0(3x,x),则OM=x,CW=3x,利用S标形。MCB=S

MBC+S^,OAB+S^OAM^列出关于x的方程解答即可.

【解答】解：VAC=8,AB=10,NAC8=90°,

•,^C=VAB2-AC2=6-

①设O。与4LAC所在直线相切于点。，E,连接0。，OE,OB,0A,过点。作

OF1BC,如图，

•••。。与/W,AC所在直线相切于点。，E,

/.ODLAC,0E1AB,OE=OD,

•・・NACB=90°,OFIBC,

・•・四边形OQC尸为矩形，

：・OF=CD,

,/OO的圆心在直线y=A*上，

3

・••设O(3x,x),则。。=x,CD=3x,

:.0F=CD=3x,

■:S^ABC=S^OBC+S^OAC+S^OAB,

.•・■1X4C-4C=23C・OP+-Uc・OD+^AB*OE,

2222

.*.8X6=6X3,r+8A+10x,

.*.x=—.

3

・>3.E=4,

：.O(4,A)；

3

②设OO与AC所在直线相切于点N,M,连接OM,ON,OB,OA,如图，

•••。。与AB,AC所在直线相切于点MM,

AOMIAC,ON工AB,0M=0N,

'：OO的圆心在直线y1*上，

3

工设。(3x,x),则0M=x,CM=3x,

・・・AM=3x-8,ON=x,

*.*S梯形OMCB=S^ABC^-S^OAB+S^OAM,

/.A(BC+OM)=LC・5C+工AM・OM+-1A5・ON,

2222

:.(6+x)X3x=6X8+(3x-8)x+\Ox,

：.O（9,3）.

综上，圆心。的坐标是（9,3）或（4,-1）.

故答案为：（9,3）或（4,1）.

例5.（2024•湖州一模）如图，△A8C内接于。。，A6是。。的直径，过点A的切线交

3C的延长线于点。，E是上一点，点C,E分别位于直径A4异侧，连接AE,

BE,CE,且NADB=NDBE.

（1）求证：CE=CB；

（2）求证：^BAE=2ZABC；

（3）过点C作CRL/W,垂足为点人若S^BCF求tanNAAC的值.

SAABE8

【分析】（1）根据4B是。。的直径，AD为。0的切线，得NA/?B=90°,

贝|JNAZ）B+N4BO=90°,NAEC+NCEB=90°,再根据NABD=N4EC得NADB

=ZCEB,进而再由乙4。8=/。8£得/。£8=/08区据此可得出结论；

（2）连接C。并延长交BE于H,则N4OC=2NA8C,由（1）的结论可知CE=CB,

则直南，由垂径定理得再根据A3是。。的直径得NAE3=90",由此

可得AE〃C，，则NR4f=NA0C,据此可得出结论

（3）证ZLABE和△OCF相彳以得AE：OF=BE：CF=AB：。。=2,则AE=20几BE

=2CF,设OO的半径为小OF=x,MAE=2x,BF=OB+OF=r+x,由空

SAABE8

得五工二，由此解出贝ij。〃:,升八=如，然后在Rtz^oc”中，由勾股定理

4x877

求出CF=W运三，最后再根据锐角三角形的定义可得tan/ABC的值.

7

【解答】（1）证明：〈AB是。。的直径，A。为。。的切线，

：.AD±AB,ZAEB=90°,

••・NAQ8+NAB£）=90°,NAEC+NCEB=90",

NABD=NAEC,

••・NADB=NCEB,

*//ADB=/DBE,

：・/CEB=/DBE,

：.CE=CB；

（2）证明：连接CO并延长交BE于”，如下图所示：

・•・ZABC=ZOCBt

••・ZAOC=ZABC+ZOCB=2ZABC,

由（1）的结论可知：CE=CB,

.,⑧毋，

:・AH上BE,

是。。的直径，

•••NAEB=90°,

即AELBE,

：.AE//CH,

:・NBAE=ZAOC,

：・/BAE=2/ABC；

（3）解:・.・A4是。。的直径，CFYAB,

:・NBEA=NCFO=90°,Aff=2OC,

又,：AE〃CH,

・・・NBAE=NAOC,

J△ABEs△OCR

，AE：OF=BE：CF=AB：OC=2,

：,AE=2OF,BE=2CF,

设。。的半径为「，OF=x,

贝l」AE=2x,BF=OB+OF=r+x,

S^BCF=—BF*CF=-1（r+x>CF,Ax2.r*2CF=2r-CF,

2222

・・SABCF9

♦,

SAABE*

】（r+x）-CFQ

•乙y

2x<F一下

即王三，，

4x8

解得：x=生，

7

BF=r+x=r+^L=

77

在RtZ\OC户中，OF=X=2£,OC=r,

7

由勾股定理得：CF=VOC2-OF2=3^R>

a国

tanZ/4A?C==―1----=

BF9rR

7

变式1.（2023•瓯海区四模）如图，A3为。0的切线，点4为切点，04交。0于点C,

点。在。。上，连接A。、CD、04,若N4QC=30°,则NA6O的度数为（

（分析］根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：・・飞8为圆。的切线，

：.ABLOA,即NO4B=90°,

VZ4DC=30°,

/.ZAOB=2ZADC=60°,

，NA8O=90°-60°=30°.

故选：C.

变式2.（2024•浙江一模）如图，4。是。。的切线，点8是切点，连接CO交。。于

点。，延长CO交0。于点人，连接人8,若NC=30,，00=2,则/W的长为（）

A.2V2B.3V2C.2/3D.3^3

【分析】连接（明、DB,由AO是的直径，得/ABO=90°,AQ=2OO=4,由

切线的性质得NO8C=90°,而NC=30°,贝i"8OC=6（）°,所以是等边

三角形，则8。=0/）=2,所以43=在口2_8口2=2近，于是得到问题的答案.

【解答】解：连接OB、DB,则08=00=2,

'•4Q是OO的直径，

/.ZABD=90°,AD=2OD=4,

•・・8C与。。相切于点B,

・・・NO8c=90°,

VZC=30°,

••・/BOC=60°,

•••△80。是等边三角形,

：.BD=0D=2,

/M5=VAD2-BD2=V42-22=2V5，

变式3.（2023秋•东阳市期末）如图，已知。0,过圆外一点尸作圆的切线以，PB,

分别切O。于点A，B,点C在优弧AB上.若NP=40°,则N4CB=70°.

【分析】连接CM,。8,由切线的性质得到N%O=NP8O=9()°,而NP=40°,

即可求出NAO8=360°-90°-90°-40"=140°,由圆周角定理得到NAC8=』

2

N4O8=70°.

【解答】解：连接。4，OB，

VM,尸8分别切。。于点4,B,

：.OA1PA,OB1OP,

：,ZPAO=ZPBO=W,

VZP=40°,

•••NAO8=360°-90°-90°-40°=140°,

AZACT=-izAO^=70°.

2

故答案为:70.

变式4.（2023•乾安县模拟）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长

为半径画弧，恰好与4c边相切，分别交A/3,4C于。，E,则图中阴影部分的面积

兀

是V3

【分析】作”_LBC,由勾股定理求出”，然后根据5阴影=S"BC-S皿AOE得出

答案.

【解答】解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与8c边相切，

设切点为尸，连接AF,则A凡LBC,

等边△A8C中，AB=AC=BC=2,N8AC=60°,

:.CF=BF=1.

在Rt△人C尸中，

AF=7AB2-AF2=V^，

・1r-60KX)2/-兀

••S阴影:SAAK-S扇形ADE=2X2x-------荻------=V3

故答案为：V3-y-

变式5.(2023•金华)如图，点A在第一象限内，OA与x轴相切于点8,与y轴相交

于点C,D,连结48,过点A作AH_LCO于点”.

(1)求证：四边形480”为矩形.

(2)已知OA的半径为4,。8=小，求弦C。的长.

【分析】（1）根据切线的性质得到AB_Lx轴根据垂直的定义得到NA”0=N〃08=

N084=90°,根据矩形的判定定理得到四边形AHO8是矩形；

（2）连接AD,根据矩形的性质得到AH=OB=®根据勾股定理得到DH=

VAD2-AH2=V42-（V7）2=3*根据垂径定理即可得到结论•

【解答】（1）证明：:OA与x轴相切于点8,

，A3_Lx轴

又•.•4〃_LCQ,HO±013,

•••NA"0=NH04=N084=90°,

•••四边形是矩形；

（2）解：连接AD,

•・•四边形4“。3是矩形，

：.AH=OB=y[l，

^AD=AB=4,

・•・DH=yJAD2-AH2=V42-（V7）2=3,

•・・4”_LCO,

:・CD=2DH=6.

1.（2023•杭州一模）如图，过。0外一点4作。。的切线A。，点。是切点，连结。4

交OO于点儿点C是。。上不与点3,。重合的点.若NA=a°,则NC的度数

C.2a°

D.（45卷a）°

【分析】由切线的性质定理，得到/4）。=9（）°,由直角三角形的性质得到，ZAOD

=90°-a°,由圆周角定理得到（45-Aa）°.

22

【解答】解：••SO切圆于。，

，半径OZ）J_AZZ

・・・/4。。=90°,

VZA=a0,

・・・NAOO=9(T-a0,

:.ZC=^ZAOD=(45-4)

22

故选：A.

2.（2024•镇海区校级模拟）如图，在。0中，£是直径A8延长线上一点，CE切0。

于点E,若CE=2BE,则NE的余弦值为（）

【分析】连接OC,由切线的性质得NOCE=9(T,则OC2+CE2=OE1,由CE=2BE,

得BE=1.CE,所以OC=OB=OE-1.CE,于是得(OE-』CE)2+CE2=OE2,即

222

可求得则cosE=SZ=-^a=~l于是得到问题的答案.

4OE|CE5

4

【解答】解：连接。C,

•••CE切。。于点E,

：.CE.LOC,

：・NOCE=90°,

/.OC2+CE1=OE2,

•；CE=2BE,

;.BE=LE,

2

：.OC=OB=OE-BE=OE-2CE,

2

・•・(OE-ACE)2+CE2=OE1,

2

整理得CE($CE-OE)=0,

4

•ICE#。，

：.^-CE-OE=(),

4

；.OE=3CE,

4

・•.2四=4生

OE|cE5

4

•••NE的余弦值为‘，

5

故选：B.

3.（2023•诸暨市模拟）如图，在R5BC中，ZC=90°,BC=4,AC=4近.0c

的半径长为2,P是aABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到。。的切线

长为机.若满足条件的点。有4个，则机的取值范围是（）

A.2V3<m<4B.2V2<m<2V3

C.2<m<2V3D.V3<m<2V3

【分析】过点C作CE_L43于点&过点七作OC的切线ER切点为P,连接CF,

利用直角三角形的边角关系定理求得NA,CE的值，利用切线的性质定理和勾股定

理求得EE过点B作0C的切线8。，切点为。，连接CO,利用切线的性质定理和

勾股定理求得B。，观察图象可得E尸则结论可得.

【解答】解：过点C作CE_LA8于点E,过点E作。C的切线EF,切点为凡连接

CF,如图,

VZC=90°,8c=4,4c=4时,

:.tan/\=—=_

AC4V33

/.ZA=30",

・・・£C=AC・sin300=2近.

•••E尸为OC的切线，

：・CFtEF,

・，・^=VCE2-CF2=V（2V3）2-22=2^2，

过点B作。C的切线80,切点为。，连接CQ,则CO_LBO.

・•・^=VBC2-CD2=^42-22=»

TP是△ABC边上一动点（可以与顶点重合），并且点P到OC的切线长为〃?，且满

足条件的点P的位置有4个，

：,EF<m<BD,

故选：B.

4.（2023•西湖区校级二模）如图，菱形。48C的顶点A,B,。在。。上，过点3作0。

的切线交。人的延长线于点。.若。。的半径为2,则8。的长为（）

C.272D.如

【分析】连接08,根据切线的性质定理得到NOBD=90°,根据菱形的性质、等边

三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到NAO8=60°,根据直角三凭形

的性质、勾股定理计算，得到答案.

【解答】解：连接0B,

•••8D是。0的切线,

・・・NOBZ)=90°,

•・•四边形04BC为菱形,

••OA-ABt

：.OA=OB=AB,

•••△04B为等边三角形,

・・・NAOB=60°,

・・・NOOB=30°,

，。。=208=4,

由勾股定理得，BD=^Qj)2_Qg2=2V3'

5.（2023秋•赵县期末）如图，5是。。外一点,A8,AC分别与0。相切于点8,C.P

是弧BC上任意一点，过点P作。。的切线，交于点M,交AC于点MAO=8,

BO=6,则△人MN的周长是4A/7>若N84C=40°,则NBPC=110°.

【分析】由AB,AC分别与。。相切于点B,C,得NA8O=90°,则AB=AC=

7A02-B02=2^,由切线长定理得PM=BM,PN=BN,可求得AM+MN+AN=

AB+AC=4^f7,所以的周长是4小；连结OC,在优弧BC上取一点。，连

结80、CD,由/OCA=NOBA=90°,NB4C=40°,得NBOC=360°-ZOCA

-AOBA-Z5AC=140°,所以/80C=2N80C=70°,则N8PC=180°-Z

2

BDC=\\0°,于是得到问题的答案.

【解答】解：:AB,AC分别与。。相切于点8,C,AO=8,8。=6,

：.ABVOB,

，N/WO=90°,

：.AB=AC=^]AO2-B02=V82-62=2V7，

〈MN与OO相切于点见,

；・PM=BM,PN=BN,

：,AM+MN+AN=AM^PM+PN+AN=AM+BM+BN+AN=AB+AC=247+'2^/7=4^/7,

:.△4MN的周长是4小；

连结0C,在优弧8c上取一点。，连结B。、CD,贝|JAC_LOC,

•••NOC4=NO84=90°,

VZ/MC=40°,

AZBOC=3600-/OCA-NOBA-ZBAC=\W,

Z^DC=AZBOC=70°,

2

AZ^PC=1800-ZBDC=110°，

6.（2023•邺州区校级模拟）如图，在矩形48C7）中，C7）是。0直径，E是BC的中点，

P是直线4E上任意一点，AB=4,BC=6,PM、PN相切于点M、N,当NM/W最

大时，PM的长为空叵.

【分析】先判断出OP_L4E时，NMPN最大,判断出法部△GCE,求出CG=4,

再用勾股定理求出AE=5,再判断出△48ES/\G尸0,求出0P,最后用勾股定理求

解，即可得出结论.

【解答】解：如图1，•••四边形A8CD是矩形，

：,CD=AB=4,

AD

连接。P,OM,

•・•尸M,PN是。0的切线，

/.NOPM=±/MPN,

2

要NMPN最大，则NOPM最大，

•・・RW是。。的切线：

AZOMP=90°,

在RtaPMO中，OM=OD=2CD=2,

2

・•・sinZOPM=&L=2,

OPOP

・••要NOPM最大，则OP最短，

BPOPLAE,

如图2,延长QC交直线AE于G,

•・•四边形ABC。是矩形，

.\ZS=90°=/ECG,AB//CD,

：,ZBAE=ZG,

•・•点E是8c的中点，

・・・BE=1^C=3,

2

:.丛ABEm丛GCE(AAS),

:.CG=AB=4,

•・・C。是OO的直径,

：.OC=^-CD=2,

2

；・OG=OC+CE=6,

在RlZXABE中,AB=4,BE=3,

：.AE=5,

•・・NOPG=90°=N8,NG=NBAE,

・•・XABEsRGPO,

•・•OP~OG~g

BEAE

・OP6

••''二,

35

：.OP=^,

5

、2八2=WH

在Rt^PM。中，PM=)一2-T"

故答案为：噜

7.（2023•湖州）如图，在RtZXABC中，NAC8=90。，点。在边AC上，以点。为圆

心，OC为半径的半圆与斜边4B相切于点。，交OA于点E,连结OB.

(1)求证：BD=BC.

(2)已知OC=1,乙4=30°,求A8的长.

【分析】（1）根据切线性质得到NOO8=NOCB=90。，再根据"L证明RtAODB

gRt/XOCB,从而得到结论；

（2）分别在Rl^OEC中，利用三角函数求出BC的长，和在中，利庄三

角函数求出即可求出A3的长.

【解答】（1）证明如图，连结OO,

•・•半圆。与48相切于点切

J.ODA.AB.

VZACB=90°,

；・NODB=NOCB=90°,

在RtAODB和RtAOCfi中，

rOB=OB,

'OD=OC,

ARtAODB^RtAOCB(HL),

:・BD=BC；

(2)解如图，VZA=30°,NACB=90°,

・・・NABC=60°,

VRtAOD^RtAOCB,

AZCB0=ZDB0-|ZABC=30o*

乙

在Rt^OBC中，

'：OC=\,

-Be，-/

在RtAABC+,

2.%二击•

sm3U

易错点三：切线的判定与性质的应用

一、切线的判定方法：

①圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；

②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

二、切线类问题常见方法：

①有切点，连半径，证垂直！

②无切点，作垂直，证半径！

易错提醒：综合问题中切线的判定和性质通常结合出题，所以要综合考虑切线的性质和

判定规律；

@@®®

例1.（2023•拱墅区二模）如图，点4在Q4上，点。在。A外，以卜.条件不能判定BC

是OA切线的是（）

A

BC

A.NA=50°,NC=400

B.NB-ZC=ZA

C.AB2+BC2=AC2

D.OA与4c的交点是AC中点

【分析】根据切线的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论.

【解答】解:A、・・・乙4=50°,ZC=40°,

AZB=180o-ZA-ZC=90°,

.•・4CJ_A3,

•・•点8在OA上，

・・・4B是0A的半径，

・・・BC是OA切线；

B、VZfi-ZC=ZA,

：.ZB=ZA+ZC,

VZA+ZB+ZC=180°,

••・NB=9()°,

•・•点B在OA上，

是04的半径，

・・・BC是。A切线；

c、,:AB2+BC2=AC2,

...△44。是直角三角形，NA=90°,

•・•点B在OA上,

・・・A8是OA的半径，

・・・BC是。A切线；

D、・・・OA与AC的交点是AC中点，

：.AB=^AC,但不能证出/B=9(T,

2

•••不能判定是04切线;

故选：D.

例2.（2023•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A（2,0）,点8是直线y=・

x上的一个动点，以A为圆心，以线段A8的长为半径作OA,当OA与直线），=・x

相切时，点B的坐标为（1,-1）.

【分析】过点8作垂足为M,当0A与直线），=-x相切时，则人81.08,

根据已知可设点B的坐标为（〃［，-m）,从而可得OM=BM=m,进而可得NM0B

=45°,然后再证AAOB是等腰直角三角形，从而利用等腰三角形的三线合一性质

可得0M=4M,最后根据直角三角形的斜边上的中线性质可得即可

2

解答.

【解答】解：如图：过点B作8M_LQ4,垂足为M,

当0A与直线)，=-/相切时，

贝ljABLOB,

•・•点A(2,0),

：.0A=2,

•・•点B是直线y=上的一个动点,

，设点8的坐标为(m,-w),

•••NMO8=45°,

••・NOA8=90°-NMO8=45°,

•••△A08是等腰直角三角形，

：.AB=OB,

：.OM=AM=1.OA,

2

：.BM=1-OA=\,

2

・•・点8的坐标为（1,-I）,

例3.（2023•金东区一模）如图，A8为。。的直径，CD为弦，且CO_LA8于E,尸为

BA延长线上一点，CA恰好平分NFCE.

（1）求证：bC与。。相切；

（2）连接OQ,若OQZMC,求空的值.

【分析】（I）连接OC,则NOC4=NQAC,由CA）J_A8于E,得NAEC=90°,而

ZACF=ZACE,则NOC/n/OCA+NAC尸=NQAC+N4C£：=90°,即可证明FC

与OO相切；

（2）由等腰三角形的“三线合一”得NCO/=NOOF,由OQ〃AC,得NDOF=N

OAC,所以NCO尸=NO4C=NOCA=60°,则/尸=30°,所以04=0。=2。凡

2

贝I人/二0八二工八兄即可求得生!="1.

2AB2

【解答】（1）证明：连接OC、则OC=O4,

：.ZOCA=ZOAC,

•・・CO_LA8于E,

/.ZAEC=90°,

•••。平分//。石，

/.ZACF=NACE,

，40CF=ZOCA+^ACF=ZOAC+ZACE=90Q

;尸。经过00的半径OC的外端，MFCXOC,

C与。O相切.

(2)解：：.OC=OD,OFLCD,

：./COF=/DOF,

*：OD//AC,

：.ZDOF=ZOAC,

：.ZCOF=ZOAC=ZOCA=60°,

/.ZF=30°,

：.OA=OC=1.OF,

2

1

8

♦2

1

--

・AF

而2

的值是」.

・AF

AB2

例4.(2023•龙游县校级一模)已知：如图，△ABC中，A8=AC,以48为直径的OO

交AC于点P,2。_14。于点。.

(1)求证：PD是0。的切线;

(2)若NCAB=120°,A8=6,求8C的值.

【分析】(1)利用等腰三角形的性质得到N8=/C和N8=/OPB,则/OP8=NC,

于是可判断OP〃AC,由于HXLAC,所以OP_L尸。，然后根据切线的判定定理可得

到。。是OO的切线;

(2)由为直径得乙仔8=90°,根据等腰三角形的性质得BP=CP,所以N朋P

=60°,在RtABAP中，根据含30度的直角三角形三边的关系得4尸=工A4=3,

2

BP=*AP=3近,所以BC=2BP="f§.

【解答】（1）证明：・・・AB=AC,

・・・NB=NC,

•：OP=OB,

:.NB=NOPB,

：・/OPB=NC,

：.OP//AC,

\'PD±AC,

：.OP1PD,

•・・0尸为。0的半径，

・・・尸。是。。的切线；

（2）解：连接4P,如图,

•・・A5为直径,

/.ZAPB=90°,

:.BP=CP,

•・•/048=120°,

AZBAP=60°,

在RtZ\ZMP中，AB=6,ZB=30°,

，AP=-LAB=3,

2

：.BP=^3AP=3^3,

:・BC=2BP=6M.

C_

变式1.（2023•龙游县一模）如图，在平面直角坐标系x0y中，半径为2的OP的圆心

P的坐标为（-3,0）,将。尸沿x轴正方向以0.5个单位/秒的速度平移，使0P与），

轴相切，则平移的时间为2或10秒.

【分析】平移分在），轴的左侧和），轴的右侧两种情况写出答案即可.

【解答】解：当OP位于y轴的左侧且与），轴相切忖，平移的距离为I；

当OP位于），轴的右侧且与），轴相切时，平移的距离为5.

故答案为2或10

变式2.（2023•新昌县模拟）如图，矩形ABC。中，AB=6,AD=\0.动点E在A8边

上，以点E为圆心，以BE为半径作弧，点G是弧上一动点.

（1）如图1,若点E与点A重合，且点〃在3c上，当。“与弧相切于点G时，则

的值是2；

（2）如图2,若AE=1连结CG,DG,分别取OG、CG的中点P、Q,连接PQ,

M为PQ的中点，则CM的最小值为J7T-2.5.

【分析】（1）连接AG,则AGJ_OP,勾股定理得。G=8,由切线长定理得

设尸8=FG=x,由勾股定理得（8+x）2=（10・幻2+62,求解即可：

（2）连接DE、GE,取。石的中点H,连接PH,由中位线性质得PH〃BE,PH=

2.5,连接CE,取CE的中点/,连接IQ,证四边形P”/Q是平行四边形，得"/=尸。，

取小的中点可证四边形M/PM是平行四边形，得JM=PH=2.5,确定点M在以

J为圆心，2.5为半径的圆弧上，由两点之间线段最短得，C,M,J三点共线时，CM

最短，延长〃/,JI，交AD,BC于点、K,L,求得儿=KL・KJ=4,由勾股定理计算

CJ即可.

【解