2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-10.3-二项式定理-专项训练【A级基础巩固】1．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(24)的展开式中，x的指数是整数的项的个数是()A.2 B．3C.4 D．52．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)(x＋3)的展开式中，常数项为()A.－eq\f(15,2) B．eq\f(15,2)C.－eq\f(5,2) D．eq\f(5,2)3．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A.－960 B．960C.1120 D．16804．设a＝3n＋Ceq\o\al(1,n)3n-1＋Ceq\o\al(2,n)3n-2＋…＋Ceq\o\al(n-1,n)3，则当n＝2023时，a除以15所得余数为()A.3 B．4C.7 D．85．在(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是()A.120 B．－120C.60 D．306．(多选)对于二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))eq\s\up12(n)(n∈N*)，以下判断正确的有()A.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项7．(多选)在二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(6)的展开式中，正确的说法是()A.常数项是第3项B.各项的系数和是eq\f(1,64)C.第4项二项式系数最大D.奇数项二项式系数和为328．(多选)已知(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，则()A.展开式中所有项的二项式系数和为22023B.展开式中系数最大项为第1350项C.a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝eq\f(32023－1,2)D.eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－1.9．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))eq\s\up12(5)的展开式中，x2的系数是________．10．若x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则a1＝________，a1＋a2＋…＋a5＝________．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A.3 B．5C.6 D．72．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(n)(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A.1 B．±1C.2 D．±23．已知－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99＝()A.－1 B．－2C.299－1 D．eq\f(299－1,2)4．(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则()A.a0＝－32B.a2＝－80C.a3＋4a4＝0D.a0＋a1＋…＋a5＝15．(多选)对于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))eq\s\up12(6)的展开式，下列说法正确的是()A.所有项的二项式系数和为64B.所有项的系数和为64C.常数项为1215D.系数最大的项为第3项6．已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1－2x)2023＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2023x2023，数列{an}的首项a1＝eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(b2023,22023)，an＋1＝Sn·Sn＋1，则S2023等于()A.－eq\f(1,2023) B．eq\f(1,2023)C.2023 D．－20237．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为________，系数最大的项为________________．8．设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________．9．设(eq\r(2)＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．10．已知(1＋2023x)100＋(2023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R.若0≤k≤100且k∈N，当ak<0时，k的最大值为________．参考答案【A级基础巩固】1．解析：因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(24)的展开式的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,24)(eq\r(x))24-keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,24)x12-eq\f(5,6)k，所以当k＝0，6，12，18，24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项．答案：D2．解析：原式＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)，①而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2x)))eq\s\up12(6)的通项为Tk＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)Ceq\o\al(k,6)x6-2k.当6－2k＝－1时，k＝eq\f(7,2)∉Z，故①式中的前一项不会出现常数项；当6－2k＝0，即k＝3时，可得①式中的后一项即为所求，此时原式常数项为3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(3)×Ceq\o\al(3,6)＝－eq\f(15,2).答案：A3．解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝Ceq\o\al(4,8)(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.答案：C4．解析：∵Ceq\o\al(0,n)3n＋Ceq\o\al(1,n)3n-1＋Ceq\o\al(2,n)3n-2＋…＋Ceq\o\al(n-1,n)3＋Ceq\o\al(n,n)30＝(3＋1)n＝4n，∴a＝4n－1，当n＝2023时，a＝42023－1＝4×161011－1＝4×[(15＋1)1011－1]＋3，而(15＋1)1011－1＝Ceq\o\al(0,1011)151011＋Ceq\o\al(1,1011)151010＋…＋Ceq\o\al(1010,1011)15，故此时a除以15所得余数为3.答案：A5．解析：由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第k＋1项为Ceq\o\al(k,5)(x＋y)5-k(－2z)k，令k＝2，可得第3项为(－2)2Ceq\o\al(2,5)(x＋y)3z2，(x＋y)3的展开式的第m＋1项为Ceq\o\al(m,3)x3-mym，令m＝2，可得第3项为Ceq\o\al(2,3)xy2，所以(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(－2)2Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)＝120.答案：A6．解析：该二项展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(n－k)(x3)k＝Ceq\o\al(k,n)x4k－n，当n＝4k时，展开式中存在常数项，A正确，B错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误．答案：AD7．解析：二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(6)的展开式通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)·(eq\r(3,x))6-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(k)·xeq\s\up6(\f(6－2k,3)).对于A选项，令eq\f(6－2k,3)＝0，可得k＝3，故常数项是第4项，A错误；对于B选项，各项的系数和是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(6)＝eq\f(1,64)，B正确；对于C选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确．答案：BCD8．解析：易知(1－2x)2023的展开式中所有项的二项式系数和为22023，故A正确；由二项式通项，知Tk＋1＝Ceq\o\al(k,2023)(－2x)k＝(－2)kCeq\o\al(k,2023)xk，所以第1350项的系数为(－2)1349Ceq\o\al(1349,2023)<0，所以第1350项不是系数最大项，故B错误；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－1，①当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…＋a2022－a2023＝32023，②①－②，可得a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝－eq\f(1＋32023,2)，故C错误；当x＝0时，a0＝1，当x＝eq\f(1,2)时，a0＋eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝0，所以eq\f(a1,2)＋eq\f(a2,22)＋eq\f(a3,23)＋…＋eq\f(a2023,22023)＝－a0＝－1，故D正确．答案：AD9．解析：∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5-req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))eq\s\up12(r)＝2rCeq\o\al(r,5)x5-3r，令5－3r＝2，得r＝1，∴T2＝2Ceq\o\al(1,5)x2＝10x2，∴x2的系数是10.答案：1010．解析：因为x5＝[2＋(x－2)]5，则a1＝Ceq\o\al(1,5)·24＝80.令x＝3，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝35＝243；令x＝2，得a0＝25＝32，故a1＋a2＋…＋a5＝243－32＝211.答案：80211INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．解析：根据eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(n)的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,20)·(eq\r(3)x)20-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝(eq\r(3))20-k·Ceq\o\al(k,20)·xeq\s\up8(20－\f(4k,3))，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，∴k＝0，3，6，9，12，15，18，∴x的指数是整数的项共有7项．答案：D2．解析：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，则二项式的展开式通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(x))5-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(3,x))))eq\s\up12(k)＝akCeq\o\al(k,5)xeq\s\up6(\f(15－5k,6))，令eq\f(15－5k,6)＝0，得k＝3，则其常数项为Ceq\o\al(3,5)a3.根据题意，有Ceq\o\al(3,5)a3＝80，可得a＝2.答案：C3．解析：记f(x)＝1－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0.又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.答案：B4．解析：令x＝－1，得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确．令x＝0，得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确．令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2即二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)y5-k(－2)k，故a2＝Ceq\o\al(3,5)·(－2)3＝－80，B正确．a4＝Ceq\o\al(1,5)(－2)1＝－10，a3＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40，故C正确．答案：ABC5．解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))eq\s\up12(6)的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故A正确；在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,x)))eq\s\up12(6)中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故B正确；展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(x2)6-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,x)))eq\s\up12(k)＝(－3)kCeq\o\al(k,6)x12-3k(0≤k≤6，k∈N)，令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4Ceq\o\al(4,6)＝1215，故C正确；由C的分析可知第2，4，6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2Ceq\o\al(2,6)＝135，第5项系数为(－3)4Ceq\o\al(4,6)＝1215，第7项系数为(－3)6Ceq\o\al(6,6)＝729，则系数最大的项为第5项，故D不正确．答案：ABC6．解析：令x＝eq\f(1,2)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2×\f(1,2)))eq\s\up12(2023)＝b0＋eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(b2023,22023)＝0.令x＝0，得b0＝1，所以a1＝eq\f(b1,2)＋eq\f(b2,22)＋…＋eq\f(b2023,22023)＝－1.由an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，得eq\f(Sn＋1－Sn,SnSn＋1)＝eq\f(1,Sn)－eq\f(1,Sn＋1)＝1，所以eq\f(1,Sn＋1)－eq\f(1,Sn)＝－1，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))是首项为eq\f(1,S1)＝－1、公差为－1的等差数列，所以eq\f(1,Sn)＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，所以Sn＝－eq\f(1,n)，所以S2023＝－eq\f(1,2023).答案：A7．解析：T6＝Ceq\o\al(5,n)(2x)5，T7＝Ceq\o\al(6,n)(2x)6，依题意有