2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【含答案】

2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算-专项训练【A级基础巩固】1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb2．如图所示，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))等于()A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))3．矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点．若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A．eq\f(5,8) B．eq\f(1,4)C．1 D．eq\f(5,16)4．(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M在边BC的延长线上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，则点M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．6．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，给出下列命题：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正确命题有________(填序号).7．如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)试用a，b表示eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))；(2)证明：B，E，F三点共线．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．(多选)下列命题中正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反D．如果非零向量a，b的方向相同或相反，那么a＋b的方向与a，b之一的方向一定相同2．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CA,\s\up6(→))|)等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(4,3)3．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，且eq\o(FC,\s\up6(→))＝λeq\o(FD,\s\up6(→))＋μeq\o(FE,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．1 B．2C．3 D．44．已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则下列结论错误的是()A．eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))B．|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|C．eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))D．eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))5．已知直线l上有三点A，B，C，O为l外一点，又等差数列{an}的前n项和为Sn.若eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a1＋a3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋2a10eq\o(OC,\s\up6(→))，则S11＝()A．eq\f(11,4) B．3C．eq\f(11,2) D．eq\f(13,2)6．设P，Q为△ABC内的两点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为()A．eq\f(4,5) B．eq\f(8,5)C．eq\f(4,3) D．eq\f(3,10)7．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设在△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个结论正确的是________(填序号).①eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→))；②eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；③设BC边的中点为D，则有eq\o(AH,\s\up6(→))＝3eq\o(OD,\s\up6(→))；④eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).8．已知在△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB＝eq\f(π,3).若OC与线段AB交于点P，且满足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，则λ＋μ的最大值为________．9．如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点，eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GM,\s\up6(→))，过点G的直线分别交直线AB，AC于P，Q两点，eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AP,\s\up6(→))(x＞0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝yeq\o(AQ,\s\up6(→))(y＞0)，则eq\f(4,x)＋eq\f(1,y＋1)的最小值为________．10．如图，已知正六边形ABCDEF，M，N分别是对角线AC，CE上的点，使得eq\f(AM,AC)＝eq\f(CN,CE)＝r，当r＝________时，B，M，N三点共线．参考答案【A级基础巩固】1．解析：因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确．答案：D2．解析：根据正六边形的性质，易得eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CF,\s\up6(→)).答案：D3．解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，∴λ2＋μ2＝eq\f(1,16)＋eq\f(9,16)＝eq\f(5,8).答案：A4．解析：若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，则点M是边BC的中点，故A正确；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，则点M在边CB的延长线上，故B错误；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，则点M是△ABC的重心，故C正确；如图，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，设eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，则M为AN的中点，则△MBC的面积是△ABC面积的eq\f(1,2)，故D正确．答案：ACD5．解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0.又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，故①错误；eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，故②正确；eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，故③正确；eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a＝0，故④正确．答案：②③④7．(1)解：在△ABC中，因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b.(2)证明：因为eq\o(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,3)b，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(1,3)b))，所以eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))与eq\o(BE,\s\up6(→))共线，且有公共点B，所以B，E，F三点共线．INCLUDEPICTURE"B组.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF"INET【B级能力提升】1．解析：对于A选项，0平行于任何向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一定满足a∥c，故A错误；对于B选项，首尾顺次相接，故B正确；对于C选项，两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向相反)，故C正确；对于D选项，当a＋b＝0时，零向量的方向是任意的，故D错误．答案：BC2．解析：由eq\o(OA,\s\up6(→))－4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝3(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，即eq\o(BA,\s\up6(→))＝3eq\o(CB,\s\up6(→))，所以eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(CA,\s\up6(→))|，即eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(CA,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4).答案：B3．解析：∵eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(FO,\s\up6(→))＝4×eq\f(1,2)(eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(FE,\s\up6(→)))＝2eq\o(FD,\s\up6(→))＋2eq\o(FE,\s\up6(→))，∴λ＝μ＝2，∴λ＋μ＝4.答案：D4．解析：依题意，显然△APB∽△CPD，故有eq\f(AB,CD)＝eq\f(AP,PC)＝eq\f(PB,PD)＝eq\f(2,1)，即AP＝2PC，PB＝2PD，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，故A正确；又四边形ABCD是等腰梯形，故AP＝PB，即|eq\o(AP,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PD,\s\up6(→))|，故B正确；在△ABD中，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，故C正确；又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以D错误．答案：D5．解析：∵点A，B，C是直线l上不同的三点，∴存在非零实数λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))⇒eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))⇒eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OC,\s\up6(→)).∵若eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a1＋a3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋2a10eq\o(OC,\s\up6(→))，∴1＋λ＝a1＋a3，－λ＝2a10，∴a1＋a3＋2a10＝1.∵数列{an}是等差数列，∴2a2＋2a10＝1⇒a2＋a10＝eq\f(1,2)＝a1＋a11，∴S11＝eq\f(11(a1＋a11),2)＝eq\f(11,4).答案：A6．解析：如图，设eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AN,\s\up6(→)).由平行四边形法则知NP∥AB，∴△ABP的面积与△ABC的面积之比为eq\f(1,5).同理，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得△ABQ的面积与△ABC的面积之比为eq\f(2,3)，∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为eq\f(1,5)∶eq\f(2,3)＝eq\f(3,10).答案：D7．解析：由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线．由题意得，eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))，OD⊥BC，AH⊥BC，所以OD∥AH，所以eq\o(GH,\s\up6(→))＝2eq\o(OG,\s\up6(→))，所以①正确；由题意得，eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝2eq\o(GD,\s\up6(→))＝－eq\o(GA,\s\up6(→))，所以eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，所以②正确；由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO，所以△AGH∽△DGO，所以eq\o(AH,\s\up6(→))＝2eq\o(OD,\s\up6(→))，故③错误；向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的模相等，方向不同，故④错误．答案：①②8．解析：∵线段OC与线段AB交于点P，设eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OP,\s\up6(→))(x≥1)，则xeq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(λ,x)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,x)eq\o(OB,\s\up6(→)).又∵P，A，B三点共线，则eq\f(λ,x)＋eq\f(μ,x)＝1，即λ＋μ＝x.∵OA＝OB＝1，∴当P为AB中点时，|eq\o(OP,\s\up6(→))|最小，此时x最大．又∠AOB＝eq\f(π,3)，故此时|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2).又因为|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OP,\s\up6(→))，即x＝2，即λ＋μ的最大值为2.答案：29．解析：因为M为线段BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))).又因为eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(GM,\s\up6(→))，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝xeq\o(AP,\s\up6(→))(x＞0)，eq